ال دالة أسية يحدث عندما يكون المتغير ، في قانون التكوين الخاص به ، في الأس ، مع المجال والمجال المقابل في أرقام حقيقية. مجال الدالة الأسية هو الأعداد الحقيقية ، ومجال العداد هو الأعداد الحقيقية الموجبة غير الصفرية. يمكن وصف قانون التدريب الخاص بك بواسطة و (س) =الxعلى ماذا ال هو رقم حقيقي موجب بخلاف 1.
ا الرسم للدالة الأسية سيكون دائمًا في الربعين الأول والثاني من المستوى الديكارتي ، وقد يتزايد ، عندما ال هو رقم أكبر من 1 ، أو يتناقص عندما ال هو رقم موجب أقل من 1. ال وظيفة عكسية الدالة الأسية هي الدالة اللوغاريتمية ، مما يجعل الرسوم البيانية لهذه الوظائف متماثلة دائمًا.
اقرأ أيضا: ما هي الوظيفة؟
ما هي الوظيفة الأسية؟
كما يوحي الاسم ، فإن المصطلح الأسي مرتبط بالأس. إذن ، تعريف الدالة الأسية هو أ الوظيفة التي نطاق هي مجموعة الأرقام الحقيقية ، والمجال المقابل هو مجموعة الأرقام الحقيقية الموجبة غير الصفرية.، وصفها : ℝ → ℝ *+. يتم وصف قانون تكوينها بالمعادلة f (x) = الxعلى ماذا ال هو أي رقم حقيقي ، موجب ، غير فارغ ويعطى الاسم الأساسي.
أمثلة:
في قانون التكوين ، يمكن أيضًا وصف f (x) على أنها y ، وكما هو الحال في الوظائف الأخرى ، فهي كذلك يُعرف بالمتغير التابع ، لأن قيمته تعتمد على x ، والذي يُعرف بالمتغير. مستقل.
أنواع الوظائف الأسية
يمكن تصنيف الوظائف الأسية إلى حالتين مختلفتين. مع الأخذ في الاعتبار سلوك الوظيفة ، يمكن أن يكون تصاعدي أو تنازلي.
تسمى الدالة الأسية زيادة إذا زادت قيمة f (x) أيضًا. يحدث هذا عندما تكون القاعدة أكبر من 1 ، أي: ال > 1.
مثال:
تعتبر الدالة الأسية متناقصة إذا انخفضت قيمة f (x) كلما زادت قيمة x. يحدث هذا عندما يكون الأساس رقمًا بين 0 و 1 ، أي 0 < ال < 1.
مثال:
اقرأ أيضا: الفروق بين الدالة والمعادلة
الرسم البياني للوظيفة الأسية
من أجل رسم التمثيل الرسومي لوظيفة أسية ، من الضروري العثور على الصورة لبعض قيم المجال. يتميز الرسم البياني للدالة الأسية بخاصية نمو أكبر بكثير من وظائف خطية، في حالة الزيادة ، أو النقصان الأكبر ، عند النقصان.
أمثلة:
أ) بناء الرسم البياني للوظيفة: f (x) = 2x.
منذ> 1 ، ثم هذه الوظيفة تتزايد. لإنشاء الرسم البياني ، دعنا نخصص بعض القيم لـ x كما هو موضح في الجدول التالي:
الآن بعد أن عرفنا بعض نقاط الدالة ، من الممكن تحديدها في ملف فكرة مبدعة ورسم منحنى الدالة الأسية.
ب) بناء الرسم البياني للوظيفة التالية:
في هذه الحالة ، تكون الوظيفة تنازليًا ، نظرًا لأن الأساس هو رقم بين 0 و 1 ، فسيكون الرسم البياني تنازليًا.
بعد إيجاد بعض القيم العددية ، يمكن تمثيل الرسم البياني للدالة في المستوى الديكارتي:
خصائص الوظيفة الأسية
→ الملكية الأولى
في أي دالة أسية ، بغض النظر عن قيمتها الأساسية ال، يجب عليناو (0) = 1. بعد كل شيء ، نحن نعلم أن هذا هو ملف خاصية الفاعلية، أي أن كل رقم مرفوع إلى 0 هو 1. هذا يعني أن الرسم البياني سيتقاطع مع المحور الرأسي عند النقطة (0.1) في كل مرة.
→ الملكية الثانية
الدالة الأسية هي حاقن. البيانات x1 و x2 مثل هذا x1 ≠ x2، لذلك ستكون الصور مختلفة أيضًا ، مثل f (x1) ≠ و (س2) ، مما يعني أنه لكل قيمة صورة ، هناك قيمة واحدة في المجال تتوافق مع تلك الصورة.
يعني الحقن أنه بالنسبة للقيم الأخرى غير y ، ستكون هناك قيمة واحدة لـ x تجعل f (x) مساوية لـ y.
→ الملكية الثالثة
من الممكن معرفة سلوك الوظيفة وفقًا لقيمتها الأساسية. سوف ينمو الرسم البياني إذا كانت القاعدة أكبر من 1 (ال > 1) وتتناقص إذا كانت القاعدة أقل من 1 وأقل من 0 (0
→ الملكية الرابعة
ا يكون الرسم البياني للدالة الأسية دائمًا في الربعين الأول والثاني ، لأن المجال المقابل للوظيفة هو الحقيقيات الموجبة غير الصفرية.
اقرأ أيضا: كيف ترسم دالة؟
الدالة الأسية والدالة اللوغاريتمية
نظرًا لأن الوظيفة الأسية هي وظيفة تسمح بالعكس ، فإن هذه المقارنة بين الوظيفة الأسية والدالة اللوغاريتمية أمر لا مفر منه. تبين ذلك الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية للأس. الرسوم البيانية لهذه الوظائف متماثلة حول منصف المحور السيني. كونها دالة عكسية يعني أن دالة لوغاريتمية تفعل عكس ما تفعله الدالة الأسية ، أي في الدالة الأسية ، إذا كانت f (x) = y ، فسيتم الإشارة إلى الدالة اللوغاريتمية ، كونها معكوسة ، بواسطة f-1 و-1 (ص) = س.
تمارين حلها
(Enem 2015) تقترح نقابة العمال بإحدى الشركات أن الحد الأدنى لراتب الفصل هو 1،800.00 ريال برازيلي ، مع اقتراح زيادة بنسبة مئوية ثابتة لكل عام مخصص للعمل. التعبير الذي يتوافق مع عرض (عروض) الراتب ، كدالة لطول الخدمة (t) ، بالسنوات ، هو s (t) = 1800 · (1،03)ر.
وفقًا لاقتراح النقابة ، سيكون راتب المحترف من هذه الشركة مع عامين من الخدمة ، بالريال العماني ،
أ) 7416.00
ب) 819.24 3
ج) 3709.62 3
د) 3،708.00
ه) 1909.62
القرار:
نريد حساب صورة الوظيفة عندما يكون t = 2 ، أي s (2). بالتعويض عن t = 2 في الصيغة ، سنجد ما يلي:
ق (2) = 1800 · (1.03) ²
ق (2) = 1800 · 1.0609
ق (2) = 1909.62
البديل ه
2) (Enem 2015) تهدف إضافة التقنيات في نظام الإنتاج الصناعي إلى خفض التكاليف وزيادة الإنتاجية. في السنة الأولى من التشغيل ، صنعت الصناعة 8000 وحدة من منتج معين. في العام التالي ، استثمرت في التكنولوجيا واكتسبت آلات جديدة وزادت الإنتاج بنسبة 50٪. وتشير التقديرات إلى أن هذه النسبة المئوية ستتكرر في السنوات القادمة ، مما يضمن نموًا سنويًا بنسبة 50٪. لنفترض أن P هي الكمية السنوية للمنتجات المصنعة في العام t من تشغيل الصناعة.
إذا تم الوصول إلى التقدير ، فما هو التعبير الذي يحدد عدد الوحدات المنتجة صفي وظيفة ر، ل ر ≥ 1?
ال) ص(ر) = 0.5 · ر -1 + 8 000
ب)ص(ر) = 50 · ر -1 + 8000
ç)ص(ر) = 4000 طن-1 + 8 000
د)ص(ر) = 8 000 · (0,5)ر 1
و)ص(ر) = 8 000 · (1,5)ر 1
القرار:
لاحظ أن هناك علاقة بين العام ر وكمية منتج معين ص. مع العلم أن هناك زيادة بنسبة 50٪ عن كل عام ، وهذا يعني أنه عند مقارنة إنتاج عام قبل وبعد عام ، فإن قيمة الثانية تقابل 150٪ ، ويمثلها 1.5. مع العلم أن الإنتاج الأولي هو 8000 وأنه في السنة الأولى كان هذا الإنتاج ، يمكننا وصف هذا الوضع من خلال:
في السنة الأولى ، إذا كانت t = 1 → s (t) = 8000.
في السنة الثانية ، إذا كانت t = 2 → ص(2) = 8 000 · 1,5.
في السنة الثالثة ، إذا كانت t = 3 → ص(3) = 8 000 · 1,5 · 1,5 = 8 000 · 1,5².
بعد ر سنوات ، سيكون لدينا ص(ر) = 8 000 · (1,5)ر 1.
البديل ه
بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-exponencial-1.htm