الأنظمة الخطية: ما هي ، كيفية حلها ، أنواعها

يحل الأنظمةخطي إنها مهمة متكررة جدًا للدراسات في مجالات العلوم الطبيعية والرياضيات. أدى البحث عن قيم غير معروفة إلى تطوير طرق لحل الأنظمة الخطية ، مثل طريقة الجمع والمساواة والاستبدال للأنظمة التي تحتوي على معادلتين واثنين من المجهول، وقاعدة Crammer وقياسها ، والتي تحل الأنظمة الخطية من معادلتين ، ولكنها أكثر ملاءمة للأنظمة التي تحتوي على معادلات أكثر. النظام الخطي هو مجموعة من معادلتين أو أكثر مع واحد أو أكثر من المعادلات.

اقرأ أيضا:ما هي العلاقة بين المصفوفات والأنظمة الخطية؟

الأنظمة الخطية.

معادلة خط مستقيم

العمل مع المعادلات موجود بسبب بحاجة إلى إيجاد قيم مجهولة غير معروفة. نسميها معادلة عندما يكون لدينا تعبير جبري بمساواة ، وتصنف على أنها خطية عندما يكون الأس الأكبر لمجهولها هو 1 ، كما هو موضح في الأمثلة التالية:

2x + y = 7 → معادلة خطية ذات مجهولين

a + 4 = -3 → معادلة خطية مجهول واحد

بشكل عام ، يمكن وصف المعادلة الخطية من خلال:

ال₁x₁ + ال₂x₂ + a3x3... + أ_لاx_لا = ج

نعرف كنظام معادلة عندما يكون هناك أكثر من معادلة خطية. سنبدأ بأنظمة خطية ذات مجهولين.

حل الأنظمة الخطية

• أنظمة خطية مع معادلتين من الدرجة الأولى ومجهولين

لحل نظام من معادلتين ومجهولين ، هناك العديد من المعادلات أساليب، الثلاثة الأكثر شهرة هم:

• طريقة المقارنة
• طريقة الجمع
• طريقة الاستبدال

يمكن لأي واحد من الثلاثة حل نظام خطي من معادلتين ومجهولين. هذه الطرق ليست فعالة لأنظمة مع المزيد من المعادلات، حيث توجد طرق أخرى محددة لحلها.

• طريقة الاستبدال

تتكون طريقة الاستبدال من عزل أحد المجهولين في إحدى المعادلات و إجراء الاستبدال في المعادلة الأخرى.

مثال:

الخطوة الأولى: عزل أحد المجهولين.

نسمي I المعادلة الأولى و II المعادلة الثانية. دعونا نحلل الاثنين اختر المجهول الذي يسهل عزله. لاحظ أنه في ملف معادلة أنا → س + 2 ص = 5 ، س ليس لها معامل ، مما يجعل عزله أسهل ، لذلك سنعيد كتابة المعادلة التي أحبها:

أنا → س + 2 ص = 5

أنا → س = 5-2 ص

الخطوة الثانية: استبدل I في II.

الآن بعد أن أصبح لدينا المعادلة I بـ x وحده ، في المعادلة II ، يمكننا التعويض عن x بـ5-2y.

II → 3x - 5y = 4

استبدال x بـ 5 - 2y:

3 (5 - 2y) - 5y = 4

الآن بما أن المعادلة بها مجهول واحد فقط ، فمن الممكن حلها لإيجاد قيمة y.

بمعرفة قيمة y ، سنجد قيمة x عن طريق استبدال قيمة y في المعادلة I.

أنا → س = 5-2 ص

س = 5 - 2 · 1

س = 5 - 2

س = 3

إذن حل النظام هو S = {3،1}.

• طريقة المقارنة

تتكون طريقة المقارنة من عزل المجهول في المعادلتين ومساواة هذه القيم.

مثال:

الخطوة الأولى: دعنا أكون المعادلة الأولى والثانية ، دعنا نعزل أحد المجهولين في I و II. باختيار عزل المجهول x ، علينا:

الخطوة الثانية: ساوي المعادلتين الجديدتين ، لأن x = x.

الخطوة الثالثة: استبدل قيمة y بـ -2 في إحدى المعادلات.

س = -4 - 3 ص

س = -4 - 3 (-2)

س = -4 + 6

س = 2

إذن حل هذا النظام هو المجموعة S = {2، -2}.

نرى أيضا: ما هي الفروق بين الدالة والمعادلة؟

• طريقة الجمع

تتكون طريقة الجمع من القيام بضرب جميع مصطلحات إحدى المعادلات ، بحيث ، عندما بإضافة المعادلة I إلى المعادلة II ، فإن أحد مجاهيلها يساوي صفرًا.

مثال:

الخطوة الأولى: اضرب إحدى المعادلات بحيث تكون المعاملات معاكسة.

لاحظ أنه إذا ضربنا المعادلة II في 2 ، فسيكون لدينا 4y في المعادلة II و -4y في المعادلة I ، وذلك في نضيف I + II ، ونحصل على 0y ، لذلك دعونا نضرب كل حدود المعادلة II في 2 بحيث يكون هذا يحدث.

أنا → 5 س - 4 ص = -5

2 · II → 2x + 4y = 26

الخطوة الثانية: نفذ المجموع I + 2 · II.

الخطوة الثالثة: استبدل قيمة x = 3 في إحدى المعادلات.

• أنظمة خطية بها ثلاث معادلات من الدرجة الأولى وثلاثة مجاهيل

عندما يكون للنظام ثلاثة مجاهيل ، فإننا نعتمد طرقًا أخرى للحل. كل هذه الطرق تربط المعاملات بالمصفوفات ، والطرق الأكثر استخدامًا هي قاعدة كرامر أو تحجيمها. من أجل الدقة في كلتا الطريقتين ، من الضروري تمثيل المصفوفة للنظام ، حتى نظام 2x2 يمكن تمثيله عن طريق مصفوفة. يوجد تمثيلان محتملان ، المصفوفة الكاملة والمصفوفة غير المكتملة:

مثال:

النظام 

يمكن أن يمثلها مصفوفة كاملة

ولل مصفوفة غير مكتملة

• قاعدة كرامر

لإيجاد حلول لنظام 3x3 ، مع المجهول x و y و z ، باستخدام حكم كرامر، من الضروري حساب محدد المصفوفة غير المكتملة وتغيراتها. لذلك علينا:

D → محدد المصفوفة غير المكتملة للنظام.

د_x → محدد المصفوفة غير المكتملة للنظام ، واستبدال عمود x بعمود المصطلحات المستقلة.

د_ذ → محدد المصفوفة غير المكتملة للنظام ، واستبدال عمود y بعمود المصطلحات المستقلة.

د_ض → محدد المصفوفة غير المكتملة للنظام ، مع استبدال عمود z بعمود المصطلحات المستقلة.

لذا ، لإيجاد قيمة المجهول ، نحتاج أولاً إلى حساب محدد د ، د_x، د_ذ المرتبطة بالنظام.

مثال:

الخطوة الأولى: احسب د.

الخطوة الثانية: احسب د_x.

الخطوة الثالثة: ثم يمكننا إيجاد قيمة x ، لأن:

الخطوة الرابعة: احسب د_ذ.

الخطوة الخامسة: ثم يمكننا حساب قيمة y:

الخطوة السادسة: الآن بعد أن عرفنا قيمة x و y ، يمكننا إيجاد قيمة z في أي من الخطين بالتعويض بقيمة x و y وعزل z. خيار آخر هو حساب د_ض.

استبدال x = 0 و y = 2 في المعادلة الأولى:

2 س + ص - ع = 3

2 · 0 + 2 - ع = 3

0 + 2 - ع = 3

-z = 2-3

-z = -1 (-1)

 ض = -1

لذلك ، فإن حل النظام هو العطاء (0.2 ، -1).

الوصول أيضًا إلى: حل المشكلات عن طريق أنظمة المعادلات

• التحجيم

طريقة أخرى لحل الأنظمة الخطية هي القياس ، حيث نستخدم فقط المصفوفة الكاملة والعمليات بين السطور من أجل عزل المجهول. دعنا نقيس النظام أدناه.

الخطوة الأولى: اكتب المصفوفة الكاملة التي تمثل النظام.

يكون لام₁، لام₂ و أنا₃ على التوالي الخطوط 1 و 2 و 3 من المصفوفة ، سنقوم بإجراء العمليات بين L.₁ و أنا₂ و أنا₁ و أنا₃، بحيث تجعل النتيجة الحدود في العمود الأول من الصف الثاني والثالث مساوية للصفر.

عند تحليل السطر الثاني من المصفوفة ، لنستبدله بنتيجة L2 → -2 · L1 + L2 ، من أجل صفر من المصطلح a21.

ال₂₁ = -2 · 1 + 2 = 0

ال₂₂ = -2 · 2 + 1 = -3

ال₂₃ = -2 · (-3) + 1 = 7

ال₂₄ =-2 · 10 + 3 = -17

لذا فإن L.₂ سيكون 0 -3 7 -17.

عند تحليل الصف الثالث من المصفوفة ، فلنستبدله بنتيجة L3 → 3L1 + L_2, من أجل إعادة تعيين المصطلح إلى_31.

ال₃₁ = 3 · 1 – 3 = 0

ال₃₂ = 3 · 2 + 2 = 8

ال₃₃ = 3 · (-3) +1 = -8

ال₃₄ = 3 · 10 – 6 = 24

لذا فإن L.₃ سيكون 0 8 -8 24.

لاحظ أن جميعها قابلة للقسمة على 8 ، بحيث يكون الخط L.₃ اجعلها أبسط ، فلنقسمها على 8.

إل₃ → إل₃ : 8 سيكون: 0 1-1 3.

لذلك ستكون المصفوفة الجديدة للمعادلة المقاسة كما يلي:

الهدف الآن هو إعادة تعيين العمود y في الصف الثالث ، وسنقوم بإجراء العمليات بين L.₂ و أنا₃، بهدف إعادة تعيين العمود الثاني لأحدهم.

سنستبدل L3 بـ L3 → L₂ + 3 لتر₃.

ال₃₁ = 0 + 3 · 0 = 0

ال₃₂ = -3 + 3 · 1 = 0

ال₃₃ = 7 + 3 · (-1) = 4

ال₃₄ = -17 + 3 · 3 = -8

إذن L₃ سيكون: 0 0 4 -8.

ستكون المصفوفة المقاسة الجديدة:

الآن ، عندما نمثل هذه المصفوفة كنظام مرة أخرى ، بإضافة x و y و z إلى الأعمدة ، سنجد ما يلي:

يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة كل من المجهول. عند تحليل المعادلة الثالثة ، علينا:

إذا كانت z = -2 ، فلنعوض بقيمة z في المعادلة الثانية:

أخيرًا ، في المعادلة الأولى ، لنعوض بقيمة y و z لإيجاد قيمة x.

نرى أيضا: نظام عدم المساواة من الدرجة الأولى - كيفية حلها؟

تصنيف النظام الخطي

النظام الخطي عبارة عن مجموعة من المعادلات الخطية التي قد تحتوي على مجاهيل عديدة وعدة معادلات. هناك عدة طرق لحلها بغض النظر عن عدد المعادلات. هناك ثلاثة التقييمات لنظام خطي.

• تحديد النظام الممكن (SPD): عندما يكون لديك حل واحد.
• نظام ممكن غير محدد (SPI): عندما يكون لديها حلول لا نهائية.
• نظام مستحيل(النظام الدولي): عندما لا يكون هناك حل.

تمارين حلها

السؤال رقم 1 (IFG 2019) ضع في اعتبارك مجموع قياسات القاعدة والارتفاع بالنسبة إلى قاعدة المثلث تلك يساوي 168 سم والفرق يساوي 24 سم. من الصحيح أن نذكر أن قياسات القاعدة والارتفاع بالنسبة لهذا المقياس الأساسي ، على التوالي:

أ) 72 سم و 96 سم

ب) 144 سم و 24 سم

ج) 96 سم و 72 سم

د) 24 سم و 144 سم

القرار

البديل C.

دع h → الارتفاع و b → القاعدة ، ثم لدينا النظام التالي:

بطريقة الإضافة علينا:

لإيجاد قيمة h ، لنعوض ب = 96 سم في المعادلة الأولى:

ب + ح = 168

96 + ح = 168

ح = 168-96

ح = 72 سم

السؤال 2 المصفوفة غير المكتملة التي تمثل النظام الخطي التالي هي:

القرار

البديل C.

المصفوفة غير المكتملة هي التي تحتوي على معاملات x و y و z ، لذا ستكون مصفوفة 3x3. تحليل البدائل ، الذي يحتوي على مصفوفة 3x3 مع العلامات الصحيحة هو الحرف C.

بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm