النظرية الأساسية في الجبر لـ معادلات كثيرة الحدود يضمن ذلك "كل درجة كثيرة الحدود لا 1 له جذر معقد واحد على الأقل ". تم إثبات هذه النظرية من قبل عالم الرياضيات فريدريش جاوس في عام 1799. من ذلك ، يمكننا أن نظهر نظرية التحلل متعدد الحدود، مما يضمن إمكانية تحلل أي كثير حدود إلى عوامل من الدرجة الأولى. خذ كثيرة الحدود التالية ص (خ) من الدرجة ن ≥ 1 ولا ≠ 0:
ص (س) = ألا xلا + الن -1 xن -1 +… + ال1x1 + ال0
من خلال النظرية الأساسية للجبر ، يمكننا القول أن كثير الحدود هذا له جذر مركب واحد على الأقل. ش1، مثل ذلك ص (ش1) = 0. ا نظرية دالمبرت الى تقسيم كثيرات الحدود تنص على أنه إذا ص (ش1) = 0, ومن بعد ص (خ) يقبل القسمة على (س - ش1)، مما أدى إلى حاصل القسمة ماذا او ما1(خ)، وهي درجة متعددة الحدود (ن - 1) ، مما يقودنا إلى القول:
ص (س) = (س - ش1). ماذا او ما1(خ)
من هذه المعادلة ، من الضروري إبراز احتمالين:
إذا كانت u = 1 و ماذا او ما1(خ) هي كثيرة الحدود من الدرجة (ن - 1)، ومن بعد ماذا او ما1(خ) حاصل على درجة 0. باعتباره المعامل المهيمن ص (خ) é اللا, ماذا او ما1(خ) هي كثرة حدود ثابتة من النوع ماذا او ما1(خ)=اللا. اذا لدينا:
ص (س) = (س - ش1). ماذا او ما1(خ)
(س) = (س - ش1). اللا
ص (س) = ألا . (س - ش1)
لكن اذا ش ≥ 2، ثم كثير الحدود ماذا او ما1 حاصل على درجة ن - 1 1 وتنطبق النظرية الأساسية للجبر. يمكننا القول أن كثير الحدود ماذا او ما1 له جذر واحد على الأقل لا2، الأمر الذي يقودنا لقول ذلك ماذا او ما1 يمكن كتابتها على النحو التالي:
ماذا او ما1(س) = (س - ش2). ماذا او ما2(خ)
ولكن كيف ص (س) = (س - ش1). ماذا او ما1(خ) ، يمكننا إعادة كتابته على النحو التالي:
ص (س) = (س - ش1). (س - ش2). ماذا او ما2(خ)
بتكرار هذه العملية بشكل متتالي ، سيكون لدينا:
ص (س) = ألا. (س - ش1). (س - ش2)... (س - شلا)
| وهكذا ، يمكننا أن نستنتج أن كل معادلة كثيرة الحدود أو كثيرة الحدود ص (س) = 0 من الدرجة لا 1 الخاصة بالضبط لا جذور معقدة. |
مثال: يكون ص (خ) كثير الحدود من الدرجة 5، بحيث تكون جذوره – 1, 2, 3, – 2 و 4. اكتب كثير الحدود هذا متحللًا إلى عوامل من الدرجة الأولى ، مع الأخذ في الاعتبار المعامل السائد يساوي 1. يجب أن تكون مكتوبة بصيغة موسعة:
إذا – 1, 2, 3, – 2 و 4 هي جذور كثير الحدود ، وبالتالي فإن حاصل ضرب الاختلافات x لكل من هذه الجذور ص (خ):
ص (س) = ألا(س + 1). (س - 2). (س - 3). (س + 2). (س - 4).
إذا كان المعامل السائد اللا = 1، نحن لدينا:
ص (س) = 1. (س + 1). (س - 2). (س - 3). (س + 2). (س - 4)
ص (س) = (س + 1). (س - 2). (س - 3). (س + 2). (س - 4)
ص (س) = (س² - س - 2). (س - 3). (س + 2). (س - 4)
ص (س) = (س³ - 4x² + س + 6). (س + 2). (س - 4)
ص (س) = (س4 - 2x³ - 7x² + 8x + 12) (x - 4)
ص (س) = س5 - 6x4 + x³ + 36x² - 20x - 48
بقلم أماندا غونسالفيس
تخرج في الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-decomposicao-um-polinomio.htm