ضرب المصفوفة: كيفية الحساب ، الأمثلة

ال مضرب المصفوفة تتم من خلال خوارزمية تتطلب الكثير من الاهتمام. لكي يوجد حاصل الضرب بين المصفوفة A والمصفوفة B ، فمن الضروري أن عدد الأعمدة يعطي أول مقر، في حالة أ ، يساوي عدد خطوط يعطي الاثنين مقر، في حالة B.

من عملية الضرب بين المصفوفات ، من الممكن أن نفهم ما هي مصفوفة الوحدة ، وهي العنصر المحايد في ضرب المصفوفة ، وما معكوس المصفوفة M ، وهي المصفوفة M^-1 الذي حاصل ضرب M بواسطة M^-1 يساوي مصفوفة الوحدة. من الممكن أيضًا ضرب مصفوفة في رقم حقيقي - في هذه الحالة ، نضرب كل حد من حدود مقر حسب الرقم.

اقرأ أيضا: ما هي المصفوفة المثلثية؟

شرط الوجود

الضرب بين المصفوفات عملية تتطلب الكثير من الاهتمام.

لضرب مصفوفتين ، من الضروري أولاً التحقق من شرط الوجود. من أجل وجود المنتج ، يجب أن يساوي عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى عدد الصفوف في المصفوفة الثانية. علاوة على ذلك ، فإن نتيجة الضرب هي مصفوفة لها نفس عدد الصفوف مثل المصفوفة الأولى ونفس عدد الأعمدة مثل المصفوفة الثانية.

على سبيل المثال ، حاصل الضرب AB بين المصفوفات A_{3 × 2} وب_{2 × 5} يوجد لأن عدد الأعمدة في A (عمودين) يساوي عدد الصفوف في B (صفان) ، والنتيجة هي المصفوفة AB

_{3 × 5}. المنتج بالفعل بين مصفوفات C._{3 × 5} والمصفوفة د_{2 × 5} غير موجود ، لأن C بها 5 أعمدة و D بها 3 صفوف.

كيف تحسب حاصل الضرب بين مصفوفتين؟

للقيام بضرب المصفوفة ، من الضروري اتباع بعض الخطوات. سنقدم مثالاً على ضرب المصفوفة الجبرية A_2x3 بواسطة المصفوفة ب_{3 × 2}

نحن نعلم أن المنتج موجود، لأن المصفوفة A بها 3 أعمدة والمصفوفة B على 3 صفوف. سوف نسمي C نتيجة الضرب A · B. بالإضافة إلى ذلك ، نعلم أيضًا أن النتيجة هي مصفوفة ج._{2 × 2}، لأن المصفوفة A بها صفان ، والمصفوفة B عمودان.

لحساب حاصل ضرب المصفوفة أ_2x3 والمصفوفة ب_3x2، دعنا نتبع بعض الخطوات.

أولًا ، نوجد كل حد من حدود المصفوفة C_{2 × 2}:

للعثور على الشروط ، دعنا اربط دائمًا صفوف المصفوفة A بأعمدة المصفوفة B:

ç₁₁ → السطر الأول من أ و العمود الأول من ب
ç₁₂ → السطر الأول من أ و العمود الثاني من ب
ç₂₁ → السطر الثاني من أ و العمود الأول من ب
ç₂₂ → السطر الثاني من أ و العمود الثاني من ب

نحسب كل من المصطلحات بضرب المصطلحات الموجودة في الصف A والمصطلحات الموجودة في العمود B. الآن يجب أن نضيف هذه المنتجات ، بدءًا من ç_11:

السطر الأول من أ
العمود الأول من ب

ç₁₁ = ال₁₁·ب₁₁ + ال₁₂·ب₂₁+ ال₁₃·ب₃₁

حساب ç₁₂:

السطر الأول من أ
العمود الثاني من ب

ç₁₂ = ال₁₁·ب₁₂ + ال₁₂·ب₂₂+ال₁₃·ب₃₂

حساب ç₂₁:

السطر الثاني من أ
العمود الأول من ب

ç₂₁ = ال₂₁·ب₁₁ + ال₂₂·ب₂₁+ال₂₃·ب₃₁

حساب المصطلح ç₂₂:

السطر الثاني من أ
العمود الثاني من ب

ç₂₂ = ال₂₁·ب₁₂ + ال₂₂·ب₂₂+ال₂₃·ب₃₂

وهكذا ، تتكون المصفوفة C من الشروط:

مثال:

لنحسب الضرب بين المصفوفتين A و B.

نحن نعلم ذلك في A_{2 × 2} وب_2x3، فإن عدد الأعمدة في الأول يساوي عدد الصفوف في الثاني ، لذلك المنتج موجود. إذن نجعل C = A · B ونعرف أن C_2x3.

المضاعفة ، علينا:

نرى أيضا: ما هي مصفوفة منقول؟

مصفوفة الهوية

في الضرب بين المصفوفات ، هناك بعض الحالات الخاصة ، مثل مصفوفة الوحدة ، وهي العنصر المحايد للضرب بين المصفوفات.. مصفوفة الوحدة عبارة عن مصفوفة مربعة ، أي أن عدد الصفوف يساوي دائمًا عدد الأعمدة. علاوة على ذلك ، فإن شروط القطر فقط هي التي تساوي 1 فيه ، والمصطلحات الأخرى كلها تساوي صفرًا. عندما نضرب مصفوفة M في مصفوفة الوحدة I_لا، يجب علينا:

م · أنا_لا = م

مصفوفات الهوية من الأمر 2 إلى الأمر 5

مثال:

ما هي معكوس المصفوفة؟

بالنظر إلى مصفوفة M ، نعرفها كمصفوفة معكوسة لـ M. المصفوفة م^-1منتجهم M · M^-1 يساوي à مصفوفة الهوية_لا. لكي يكون للمصفوفة معكوس ، يجب أن تكون مربعة ، ولها محدد يجب أن يكون مختلفًا عن 0. لنلقِ نظرة على أمثلة المصفوفات المعكوسة:

عند حساب المنتج أ · ب ، علينا:

نلاحظ أن الناتج بين A و B ولدت المصفوفة I₂. عندما يحدث هذا ، نقول إن B هو معكوس المصفوفة A. لمعرفة المزيد حول هذا النوع من المصفوفات ، اقرأ: مصفوفة معكوسة.

ضرب المصفوفة بعدد حقيقي

بخلاف الضرب بين المصفوفات ، يوجد أيضًا ضرب المصفوفة بواحد عدد حقيقي، وهي عملية أبسط بكثير لإيجاد الحل.

بالنظر إلى المصفوفة M ، يتم ضرب المصفوفة في عدد حقيقي ك يساوي المصفوفة كم. للعثور على هذه المصفوفة كم ، يكفي اضرب كل حدود المصفوفة في الثابت ك.

مثال:

إذا ك = 5 وبالنظر إلى المصفوفة M أدناه ، أوجد المصفوفة 5M.

ضرب:

تمارين حلها

السؤال رقم 1 - (Unitau) معطى المصفوفتان A و B ،

قيمة العنصر ج₁₁ من المصفوفة C = AB هو:

أ) 10.

ب) 28.

ج) 38.

د) 18.

هـ) 8.

القرار

البديل أ.

كيف نريد المصطلح ج₁₁، فلنضرب الحدود في الصف الأول و A مع الحدود الموجودة في العمود الأول من B.

حساب ج₁₁ = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 = 3 + 4 + 3 = 10

السؤال 2 - (Enem 2012) قام طالب بتسجيل الدرجات نصف الشهرية لبعض مواده في جدول. وأشار إلى أن المدخلات العددية في الجدول شكلت مصفوفة 4 × 4 ، وأنه يمكنه حساب المتوسطات السنوية لهذه التخصصات باستخدام حاصل ضرب المصفوفات. كان لجميع الاختبارات نفس الوزن ، والجدول الذي حصل عليه موضح أدناه.

للحصول على هذه المتوسطات ، قام بضرب المصفوفة التي تم الحصول عليها من الجدول بالمصفوفة:

القرار

البديل E.

المتوسط ​​ليس أكثر من مجموع العناصر مقسومًا على عدد العناصر. لاحظ أن هناك 4 ملاحظات في كل سطر ، وبالتالي فإن المتوسط ​​سيكون مجموع تلك الملاحظات مقسومًا على 4. القسمة على 4 هي نفسها الضرب في جزء ¼. أيضًا ، مصفوفة الدرجات عبارة عن مصفوفة 4x4 ، لذا علينا الضرب في مصفوفة 4x1 ، أي أنها تحتوي على 4 صفوف وعمود واحد ، لإيجاد المصفوفة التي بها متوسط ​​الدرجات.

بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm