التعبيرات الجبرية: ما هي ، كيفية حلها ، الأنواع

في تعبيرات جبرية هي تلك التعبيرات الرياضية ارقام وحروف، والمعروفة أيضًا باسم المتغيرات. نستخدم الحروف لتمثيل قيم غير معروفة أو حتى لتحليل سلوك التعبير وفقًا لقيمة هذا المتغير. التعبيرات الجبرية شائعة جدًا في دراسة المعادلات وفي كتابة الصيغ في الرياضيات والمجالات ذات الصلة.

إذا كان للتعبير الجبري مصطلح جبري واحد ، فإنه يُعرف باسم أحادي; عندما يكون لديه أكثر من واحد ، يطلق عليه متعدد الحدود. من الممكن أيضًا حساب العمليات الجبرية ، وهي العمليات بين التعبيرات الجبرية.

اقرأ أيضا: الكسور الجبرية - التعبيرات التي تقدم على الأقل واحدًا غير معروف في المقام

ما هو التعبير الجبري؟

تتكون التعبيرات الجبرية من أحرف وأرقام.

نعرّف بأنه تعبير جبري أ تعبير يحتوي على أحرف وأرقام مفصولة بعمليات حسابية أساسية ، مثل الجمع والضرب. تعتبر التعبيرات الجبرية ذات أهمية كبيرة للدراسات الأكثر تقدمًا في الرياضيات ، مما يجعل من الممكن حساب القيم غير المعروفة في المعادلات أو حتى دراسة الوظائف. لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة على التعبيرات الجبرية:

أ) 2x²b + 4ay² + 2
ب) 5 مليون⁸
ج) x² + 2x - 3

يتم إعطاء التعبيرات الجبرية أسماء معينة اعتمادًا على عدد المصطلحات الجبرية التي تحتوي عليها.

مونومال

يُعرف التعبير الجبري بالمونوميوم عندما يكون كذلك مجرد مصطلح جبري. المصطلح الجبري هو المصطلح الذي يحتوي على أحرف وأرقام مفصولة فقط بضرب بينهما.

المونوميوم ينقسم إلى قسمين: o معامل في الرياضيات او درجة، وهو الرقم الذي يضرب الحرف ، و الجزء الحرفي وهو المتغير مع الأس.

أمثلة:

أ) 2x³ → المعامل يساوي 2 والجزء الحرفي يساوي x³.
ب) 4ab → المعامل يساوي 4 والجزء الحرفي يساوي ab.
ج) m²n → المعامل يساوي 1 والجزء الحرفي يساوي m²n.

عندما تكون الأجزاء الحرفية من مونيومال متماثلة ، فإنها تُعرف باسم المونوميل المتشابهة.

أمثلة:

أ) 2x³ و 4x³ متشابهة.
ب) 3ab² و -7ab² متشابهة.
ج) 2mn و 3mn² لا متشابهة.
د) 5 سنوات و 5 x لا متشابهة.

نرى أيضا: جمع وطرح الكسور الجبرية - كيف نحسب؟

كثيرات الحدود

عندما يحتوي التعبير الجبري على العديد من المصطلحات الجبرية ، فإنه يُعرف باسم كثير الحدود. كثير الحدود ليس أكثر من مجموع أو الفرق بين المونومال. من الشائع استخدامه كثيرات الحدود في دراسة المعادلات والوظائف ، أو في الهندسة التحليليةلوصف معادلات عناصر الهندسة.

أمثلة:

أ) 2x² + 2x + 3
ب) 2ab - 4ab² + 2a - 4b + 1
ج) 5 مليون - 3
د) 4y² + x³ - 4x + 8

تبسيط التعابير الجبرية

في تعبير جبري ، عند وجود مصطلحات متشابهة ، من الممكن تبسيط هذا التعبير. من خلال عمليات ذات معاملات ذات شروط متشابهة.

مثال:

5xy² + 10x - 3xy + 4x²y - 2x²y² + 5x - 3xy + 9xy² - 4x²y + y

للتبسيط ، دعنا نحدد المصطلحات المتشابهة ، أي المصطلحات التي لها نفس الجزء الحرفي.

5xy²+ 10x- 3xy+ 4x²y - 2x²y² + 5x- 3xy+ 9xy² – 5x²y

سنجري العمليات بين المصطلحات المتشابهة ، ثم:

5xy² + 9xy² = 14xy²

10x + 5x = 15x

-3xy - 3xy = -6xy

4x²y -5x²y = -1x²y = -x²y

المصطلح -2x²y² ليس له مصطلح مشابه لذلك ، لذا فإن التعبير الجبري المبسط سيكون:

-2x²y² + 14xy² + 15x - 6xy -x²y

العمليات الجبرية

إن إضافة أو طرح المقادير الجبرية ما هو إلا تبسيط للتعبير من الممكن فقط العمل بمصطلحات جبرية متشابهة. ومع ذلك ، في الضرب ، من الضروري استخدام خاصية التوزيع بين المصطلحات ، كما هو موضح في الأمثلة التالية:

مثال على الجمع:

(2x² + 3xy - 5) + (3x² - xy + 2)

نظرًا لأنها إضافة ، يمكننا ببساطة إزالة الأقواس ، دون تغيير أي من المصطلحات:

2x² + 3xy - 5 + 3x² - xy + 2

الآن لنبسط التعبير:

5x² + 2xy - 3

مثال على الطرح:

(2x² + 3xy - 5) - (3x² - xy + 2)

لإزالة الأقواس ، من الضروري عكس علامة كل مصطلح جبري في التعبير الثاني:

2x² + 3xy - 5 –3x² + xy - 2

الآن لنبسط التعبير:

- x² + 4xy - 7

مثال الضرب:

(2x² + 3xy - 5) (3x² - xy + 2)

بتطبيق خاصية التوزيع نجد:

 6x⁴ - 2x³y + 4x² + 9x³y - 3x²y² + 6xy - 15x² - 5xy + 10

الآن لنبسط التعبير:

6x⁴ + 7x³y - 11x² –3x²y² + xy + 10

الوصول أيضًا إلى: كيفية تبسيط الكسور الجبرية؟

القيمة العددية للتعبيرات الجبرية

عندما نعرف القيمة المتغيرة لتعبير جبري ، يمكننا إيجاد قيمتها العددية. القيمة العددية للتعبير الجبري ليست أكثر من النتيجة النهائية عندما نستبدل المتغير بقيمة.

مثال:

إذا أخذنا التعبير x³ + 4x² + 3x - 5 ، فما القيمة الرقمية للتعبير عندما تكون x = 2.

لحساب قيمة التعبير ، دعنا نستبدل x بـ 2.

2³ + 4 · 2² + 3 · 2 – 5

8 + 4 · 4 + 6 – 5

8 + 16 + 6 – 5

30 – 5

25

تمارين حلها

السؤال رقم 1 - التعبير الجبري الذي يمثل محيط المستطيل التالي هو:

أ) 5x - 5
ب) 10x - 10
ج) 5x + 5
د) 8x - 6
هـ) 3x - 2

القرار

البديل ب.

لحساب المحيط ، دعونا نجمع الأضلاع الأربعة معًا. مع العلم أن الأضلاع المتوازية هي نفسها ، علينا أن:

ف = 2 (2 س - 4) + 2 (3 س - 1)

P = 4x - 8 + 6x - 2

P = 10x - 10 

السؤال 2 - (Enem 2012) تحمل البطانة القماشية المستطيلة على الملصق المعلومات التي تشير إلى أنها ستتقلص بعد الغسل الأول ، مع الحفاظ على شكلها. يوضح الشكل التالي قياسات السقف الأصلية وحجم الانكماش (x) في الطول و (y) في العرض. التعبير الجبري الذي يمثل مساحة السقف بعد غسله هو (5 - س) (3 - ص).

في ظل هذه الظروف ، سيتم التعبير عن المساحة المفقودة من البطانة ، بعد الغسل الأول ، من خلال:

أ) 2xy
ب) 15-3x
ج) 15-5 سنوات
د) -5 ص - 3 س
هـ) 5y + 3x - xy

القرار

البديل E.

لحساب مساحة أ مستطيل، نحسب المساحة بإيجاد حاصل الضرب بين قاعدة المستطيل وارتفاعه. عند تحليل الجزء المفقود من السقف ، من الممكن تقسيمه إلى مستطيلين ، لكن هناك منطقة تنتمي إلى المستطيلين ، لذلك علينا طرح المنطقة من هذه المنطقة.

يحتوي المستطيل الأكبر على قاعدته 5 وارتفاعه y ، لذا فإن مساحته تساوي 5y. المثلث الآخر قاعدته x وارتفاعه 3 ، إذن مساحته تساوي 3x. المنطقة التي تنتمي إلى المستطيلين لها القاعدة x والارتفاع y في آنٍ واحد ، لذا بما أنها تحسب في المستطيلين ، فلنطرحها من مجموع المساحتين. وبالتالي ، يتم إعطاء المنطقة المفقودة من خلال التعبير الجبري:

5y + 3x - xy

بقلم راؤول رودريغيز أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/expressao-algebrica.htm