ال الرياضيات المالية هي أحد مجالات الرياضيات المسؤولة عن الدراسة الظواهر المتعلقة بالعالم المالي. بالإضافة إلى ذلك ، فإن دراسة مفاهيمهم مهمة جدًا ، لأنها تزداد بشكل متزايد في حياتنا اليومية المزيد من الهدايا ، على سبيل المثال ، عندما نحصل على خصم عند شراء شيء ما نقدًا أو مبلغًا إضافيًا عند شراء شيء ما أقساط.
تتطلب دراسة الرياضيات المالية معرفة مسبقة بـ النسبة المئوية، سنرى أن جميع المفاهيم تستند إلى هذا الموضوع.
اقرأ أيضا:حساب النسبة المئوية بقاعدة من ثلاثة
ما هي الرياضيات المالية ل؟
يتم استخدام الرياضيات المالية يوميًا ، على سبيل المثال ، عندما نقوم بإجراء عملية شراء نقدية ويقدم البائع ملف خصم 5٪ على قيمة المنتج ، أو عندما نختار شراء منتج بالتقسيط ، وفي هذه العملية ، أ سعر الفائدة يتم إصدار فاتورة للمشتري بمرور الوقت.
يسمى مثال على أهمية فهم مفاهيم الرياضيات المالية حدود السحب. عند فتح حساب في بنك معين ، يتم تقديم أموال "إضافية" لحالات الطوارئ ، على سبيل المثال. ومع ذلك ، عند استخدام هذا الحد أو جزء منه ، يتم تحصيل رسوم يتم دفعها لاحقًا ، بالإضافة إلى الأموال المأخوذة. يسمى هذا المعدل بالفائدة ، ومن خلال فهم هذه المفاهيم بشكل أفضل ، يمكننا وضع استراتيجية أفضل لإدارة شؤوننا المالية.
مثال 1
يحتاج الشخص إلى 100 ريال للانتهاء من دفع فواتيره الشهرية ، ولكن تم إنفاق راتبه بالكامل بالفعل على الفواتير الأخرى. في التحليل ، وجد هذا الشخص أن لديه خيارين.
الخيار 1 - استخدم حد السحب على المكشوف المقدم من البنك ، بمعدل 0.2٪ في اليوم ، يتم دفعه في شهر واحد.
الخيار 2 - احصل على 100 ريال من صديق بمعدل 2٪ شهرياً تدفع لمدة شهرين.
باستخدام معرفة النسبة المئوية فقط ، دعنا نحلل الخيار الأفضل.
تحليل الخيار 1، لاحظ أن معدل 0.2٪ يتم تحصيله يوميًا ، أي يتم إضافة 0.2٪ من مبلغ القرض يوميًا ، على النحو التالي:
كيف يجب سداد القرض في شهر ، والنظر في الشهر 30 يوما, مقدار الفائدة الواجب دفعها هو:
0,2 ·30
6
وبالتالي ، يمكننا أن نستنتج أن المبلغ الواجب دفعه في نهاية الشهر هو:
100 + 6= 106 ريال
100 ← المبلغ الذي أقرضه البنك
6 ← مبلغ الفائدة
يتم الآن تحليل ملف الخيار 2، الرسوم المفروضة 2٪ شهريًا ويجب سدادها في غضون شهرين ، أي كل شهر يتم إضافة 2٪ من المبلغ المقترض إلى الدين ، على النحو التالي:
لاحظ أنه يجب إضافة 2 ريال شهريًا إلى مبلغ الدين:
2 · 2 = 4
لذلك ، فإن المبلغ الواجب دفعه في نهاية الفترة هو:
100+ 4 = 104 ريال
100 ← المبلغ الذي اقترضه الصديق
4 ← مبلغ الفائدة
لذلك ، يمكننا أن نستنتج أن أفضل خيار هو أخذ المال مع الصديق. هذا بسيط ومهم تطبيق الرياضيات الماليةبالطبع هناك مشاكل وأدوات ومفاهيم أكثر تعقيدًا ، ولكن مثل كل شيء آخر في الحياة ، قبل فهم الجزء المعقد ، من الضروري فهم الأساسيات.
أساسيات الرياضيات المالية
تتضمن المفاهيم الرئيسية للرياضيات المالية معرفة مسبقة بالنسب المئوية. بعد ذلك ، سنرى مفاهيم مثل الإضافة والخصم والفائدة البسيطة والفائدة المركبة.
إضافة
فكرة الإضافة مرتبطة بـ إضافة أو إضافة جزء من القيمة إلى قيمتها الأصلية، أي نضيف نسبة مئوية من قيمة معينة لنفسها. انظر المثال:
مثال 2
تكلفة المنتج 35 ريالا ، مع ارتفاع الدولار بنسبة 30٪. تحديد القيمة الجديدة لهذا المنتج.
في كثير من الأحيان ، عندما نذهب لإجراء الحسابات المتعلقة بالإضافة ، يتم إجراؤها بشكل خاطئ عن طريق الكتابة:
35 + 30%
تمثل النسبة المئوية جزءًا من شيء ما ، لذلك لكي يكون هذا الحساب صحيحًا ، يجب أن نحسب أولاً 30٪ من القيمة الأولية ، في هذه الحالة 35. هكذا:
35 + 30٪ من 35
حل النسبة المئوية أولاً ثم جمع القيم معًا ، سيتعين علينا:
لذلك ، مع الإضافة ، ستكون القيمة في المنتج 45.5 ريالاً (خمسة وأربعون ريالاً وخمسين سنتًا).
بشكل عام ، يمكننا استنتاج أ صيغة الجمع. ضع في اعتبارك قيمة x وأنها تزيد بمقدار p٪. وفقًا لما حددناه للتو ، يمكننا كتابة هذه الإضافة على النحو التالي:
س + ص٪ من س
عند تطوير هذا التعبير ، سيتعين علينا:
دعنا نعيد المثال 2 باستخدام الصيغة أعلاه. لاحظ أن x = 35 وأن الزيادة كانت 30٪ أي p = 30٪.
35 · (1 + 0,01 · 30)
35 · (1 + 0,3)
35 · 1,3
45,5
لاحظ أنه تم الحصول على نفس القيمة ، وهي خيار لاستخدام مثل هذه الصيغة.
نرى أيضا: كميات متناسبة عكسيا
خصم
تشبه فكرة الحسم فكرة الإضافة ، والفرق الوحيد هو أنه بدلاً من الإضافة ، يجب علينا ذلك طرح او خصم نسبة مئوية من المبلغ الأصلي.
مثال 3 - المنتج الذي يكلف 60 ريالا نقدا عند شرائه نقدا يكون له خصم 30٪. تحديد القيمة الجديدة لهذا المنتج.
على غرار الإضافة ، سيتعين علينا:
وبالمثل مع الإضافة ، يمكننا استنتاج أ صيغة الخصم. ضع في اعتبارك القيمة x وأنها تعاني من خصم p٪. حسب ما حددناه يمكننا كتابة هذه الإضافة على النحو التالي:
س - ع٪ من x
عند تطوير هذا التعبير ، سيتعين علينا:
دعنا نعيد المثال 3 باستخدام الصيغة أعلاه ، لاحظ أن x = 60 وأن الزيادة كانت 30٪ ، أي p = 30٪.
x · (1 - 0.01 بكسل)
60 · (1 – 0,01 · 30)
60 · (1 – 0,3)
60 · 0,7
42
لاحظ أنه ، باستخدام الصيغة ، حصلنا على نفس النتيجة ، لذلك في الخصم لدينا أيضًا خياران لتحديده.
مصلحة بسيطة
الفكرة من وراء مصلحة بسيطة انها أيضا على غرار فكرة الإضافة ، يتم تحديد الفرق بينهما من خلال الفترة التي يتم حسابها فيها. بينما يتم تطبيق معدل التكلفة الإضافية مرة واحدة ، يكون معدل الفائدة البسيط هو محسوبة في فترة زمنية. يمكننا حساب الفائدة البسيطة لرأس مال معين C ، مطبق بسعر معين بنظام فائدة بسيط (1) ، في فترة زمنية معينة t ، بواسطة معادلة:
J = C · i · t
يجب إعطاء المبلغ المدفوع في نهاية هذا الاستثمار من خلال الأموال المطبقة بالإضافة إلى مبلغ الفائدة ويسمى المبلغ (م). يتم إعطاء المبلغ بالتعبير:
م = ج + ي
م = ج + C · i · t
م = ج (1 + ذلك)
الشاغل الوحيد الذي يجب أن يكون لدينا فيما يتعلق بالمشاكل التي تنطوي على اهتمام بسيط هو مع وحدات القياس والوقت، يجب أن يكونوا دائمًا بوحدات متساوية.
مثال 4
تريد مارتا استثمار 6000 ريال برازيلي في شركة تعد بتحقيق أرباح بنسبة 20٪ سنويًا في ظل نظام فائدة بسيط. ينص العقد الذي أبرمته مارتا على أنها لا تستطيع سحب الأموال إلا بعد ستة أشهر ، وتحديد العائد على أموالها في نهاية تلك الفترة.
بمراقبة العبارة ، لاحظ أن رأس المال يساوي 6000 ، إذن لدينا C = 6000. معدل الفائدة 20٪ في السنة ، وسيتم استثمار الأموال لمدة ستة أشهر. لاحظ أنه تم إعطاء المعدل بالسنة ، والوقت بالأشهر ، ونعلم أن وحدة القياس لكليهما يجب أن تكون واحدة. لنجد الرسوم الشهرية ، انظر:
نعلم أن المعدل هو 20٪ سنويًا ، حيث أن السنة بها 12 شهرًا ، فيكون المعدل الشهري كما يلي:
20%: 12
1.66٪ شهريا
0.016 شهريا
لاستبدال هذه البيانات في الصيغة ، يتعين علينا:
J = C · i · t
J = 6000 · 0.016 · 6
J = 96 · 6
J = 576 ريال
وعليه فإن المبلغ المراد سحبه في نهاية الستة أشهر هو 576 ريالا ، والمبلغ هو:
م = 6000 + 576
م = 6576 ريال
اقرأ أكثر: فهم استخدام أ çالكولاتور Fالأمور المالية
الفائدة المركبة
في الفائدة البسيطة ، يتم احتساب قيمة معدل الفائدة دائمًا على رأس رأس المال الأولي ، والفرق بينهما هذان النظامان (الفائدة البسيطة والمركبة) يقعان على وجه التحديد في هذه المرحلة ، أي بالطريقة التي يكون بها المعدل محسوب. في الفائدة المركبة ، يتم احتساب معدل الفائدة دائمًا على رأس مال الشهر السابق، وهذا يجعل الفائدة تزيد من قيمتها بشكل كبير. ال معادلة لحساب الفائدة في نظام إطفاء الفائدة المركبة يتم تقديمه من خلال:
M = C · (1 + i)ر
على ماذا م هو المبلغ المتراكم ، ج هي قيمة رأس المال الأولي ، أنا هو معدل الفائدة المعطى كنسبة مئوية ، و ر هي الفترة التي تم فيها استثمار رأس المال في النظام. كما هو الحال مع الفائدة البسيطة ، في نظام الفائدة المركبة ، يجب أن يكون السعر والوقت في نفس الوحدة.
مثال 5
احسب مبلغ المبلغ الذي ستجمعه مارتا في نهاية الستة أشهر بتطبيق 6000 ريال بسعر فائدة 20٪ سنويًا في نظام الفائدة المركبة.
(معطى: 1.20,5 ≈ 1,095)
لاحظ أن البيانات هي نفسها الموجودة في المثال 4 ، لذلك يتعين علينا:
ج = 6000
أنا = 0.2 سنويًا
ر = 0.5 سنة
استبدال البيانات في صيغة الفائدة المركبة ، علينا:
م = 6000 · (1 + 0.2)0,5
م = 6000 · (1.2)0,5
م = 6000 · 1095
م = 6572.67 ريال
لذلك ، فإن المبلغ الذي يتعين على مارتا سحبه بنظام الفائدة البسيط هو 6572،67 ريال. لاحظ أن المبلغ في نظام الفائدة المركبة أكبر منه في نظام الفائدة البسيط ، وهذا يحدث في جميع الحالات. لفهم كيفية حساب هذا المعدل بشكل أفضل ، تفضل بزيارة: مصاريف çعكسأنت.
تمارين حلها
السؤال رقم 1 - (FGV - SP) رأس المال المطبق على الفائدة البسيطة ، بمعدل 2.5٪ شهريًا ، يتضاعف بمقدار ثلاثة أضعاف:
أ) 75 شهرًا
ب) 80 شهرًا
ج) 85 شهرًا
د) 90 شهرا
هـ) 95 شهرا
القرار
البديل ب.
يجب أن نجد الوقت الذي تكون فيه الفائدة مساوية لـ 2C ، لأنه مع الفائدة بهذه الطريقة مع رأس المال المطبق في البداية C ، سيكون لدينا مبلغ 3C (ثلاثة أضعاف رأس المال). هكذا:
J = 2C ؛ C = C ؛ أنا = 2.5٪ شهريًا ؛ ر =؟
J = C · i · t
2C = C · 0.025 · ر
وبالتالي ، فإن الوقت اللازم لتضاعف رأس المال هذا ثلاث مرات هو 80 شهرًا.
ملاحظة: 80 شهرًا تساوي 6.6 سنوات.
السؤال 2 - سلعة بعد أن عانت من زيادة بنسبة 24٪ تغير سعرها إلى 1041.60 ريال. حدد الكمية قبل الإضافة.
القرار
يمكننا استخدام صيغة الجمع العامة لتحديد قيمة البضائع قبل الإضافة.
x · (1 + 0.01 بكسل)
في الصيغة ، القيمة x هي ما نبحث عنه و p هي قيمة الإضافة ، وهذا التعبير يعطينا قيمة المنتج بعد الإضافة ، ومن ثم:
1041.60 = س · (1 + 0.01 بكسل)
1041.60 = س · (1 + 0.01 · 24)
1041.60 = x · (1 + 0.24)
1041.60 = x · 1.24
لاحظ أن لدينا معادلة من الدرجة الأولى ، لحلها ، يجب أن نعزل المجهول x ، ونقسم كلا طرفي المساواة على 1.24 ، أو ببساطة نمرر القسمة 1.24. هكذا:
لذلك كانت قيمة البضاعة قبل الإضافة 840 ريالا.
بواسطة روبسون لويز
مدرس مادة الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matematica-financeira.htm