الفائدة المركبة: الصيغة ، كيفية الحساب ، الأمثلة

أنت الفائدة المركبة متكررة في العلاقات التجارية، في المشتريات طويلة الأجل على أقساط ، في استثمارات ، في قروض وحتى في التأخير البسيط في دفع الفواتير. يمكن أن تكون المصلحة حليفًا أو شريرًا. من المهم أن تتقن العوامل التي تؤثر على الحساب الخاص بك ، وهي القيمة الأساسية وسعر الفائدة والوقت والمبلغ.

عند مقارنة الفائدة المركبة بالفائدة البسيطة ، نحتاج إلى فهم أن الأول هو تحسب دائما على أساس قيمة العام السابق، يتم احتساب الثاني دائمًا أعلى القيمة الأولية. سيزداد الاهتمام المركب بمرور الوقت مقارنة بالفائدة البسيطة.

نرى أيضا: نسبة - المساواة بين سببين

صيغة الفائدة المركبة

يتم حساب الفائدة المركبة بهذه الصيغة:

م = ج (1 + أنا)^ر

كل من هذه الحروف هو مفهوم مهم ل الرياضيات المالية:

العاصمة (C): هو أول مبلغ مستثمر. نحن نعرف كرأس المال القيمة الأولية للتفاوض ، أي أنها القيمة المرجعية لحساب الفائدة بمرور الوقت.
الفائدة (ي): هي قيمة التعويض عن الدخل. عندما تقدم مؤسسة مالية قرضًا ، فإنها تتنازل عن الحصول على هذا المال في فترة معينة ، عندما تحصل عليه ، سيتم تصحيح قيمته بما نسميه الفائدة ، وبناءً على ذلك ترى الشركة تعويضًا عن يقرض. في الاستثمار ، هذه هي قيمة الدخل المكتسب.

instagram story viewer

سعر الفائدة (1): و ال النسبة المئوية المشحونة على رأس العاصمة في كل لحظة. يمكن أن يكون هذا المعدل يوميًا (م) ، شهريًا (صباحًا) ، كل شهرين (a.b.) أو سنويًا (a.a.). معدل الفائدة عبارة عن نسبة يتم تمثيلها عادةً كنسبة مئوية ، ومع ذلك ، لحساب الفائدة المركبة ، من المهم كتابتها دائمًا في شكل عشري.
الوقت (ر): هو الوقت الذي سيتم فيه استثمار رأس المال. من المهم أن يكون سعر الفائدة (1) والوقت (t) متماثلين دائمًا وحدة قياس.
المبلغ (مليون): هو مبلغ الصفقة النهائي. يتم حساب المبلغ عن طريق إضافة رأس المال بالإضافة إلى الفائدة - M = C + J.

كيف تحسب الفائدة المركبة؟

لتعرف التلاعب بالصيغة من الضروري دراسة الفائدة المركبة. كما هناك أربعة المتغيرات (المبلغ ورأس المال وسعر الفائدة والوقت) ، يمكن أن تعطي المشاكل التي تنطوي على هذا الموضوع قيمة ثلاثة منهم وتطلب دائمًا حساب المتغير الرابع ، والذي يمكن أن يكون أيًا منهم. ومن هنا مجال المعادلات من الأهمية بمكان حل المشكلات التي تنطوي على فائدة مركبة.

ويشار إلى أنه لحساب الفائدة لا بد من معرفة رأس المال والمبلغ حيث تعطى الفائدة بفرق الاثنين أي:

J = م - ج

إيجاد المبلغ والفائدة

مثال

تم تطبيق رأس مال قدره 1400 ريال برازيلي للفائدة المركبة في صندوق استثمار ينتج عنه 7٪ سنويًا. ما الفائدة التي ستتراكم بعد 24 شهرًا؟

القرار

بيانات مهمة: C = 1400 ؛ أنا = 7٪ سنوياً ؛ ر = 24 شهرًا.

لاحظ أن الوقت والمعدل بوحدتين مختلفتين ، لكننا نعلم أن 24 شهرًا تساوي سنتين ، لذا t = سنتان ، ويجب كتابة هذا المعدل في شكل عشري ، i = 0.07.

م = ج (1 + أنا) ^ر

م = 1400 (1 + 0.07) ²

م = 1400 (1.07) ²

م = 1400. 1,1449

م = 1602.86.

للعثور على الفائدة علينا:

J = م - ج

1602,86 – 1400 = 202,86

تزيد الفائدة المركبة بشكل أسرع من الفائدة البسيطة.

إيجاد الوقت

مثال

كم من الوقت يستغرق تطبيق رأس مال قدره 1500 ريال برازيلي على الفائدة المركبة ، بمعدل 10٪ سنويًا ، لتوليد مبلغ قدره 1996.50 ريال برازيلي؟

القرار

بما أن t قوة ، فسنجد أ المعادلة الأسية والتي يمكن حلها عن طريق التحليل أو ، في كثير من الحالات ، فقط عن طريق اللوغاريتم. نظرًا لأن هذه ليست دائمًا أرقامًا صحيحة ، فمن المستحسن استخدام آلة حاسبة علمية لهذه المشكلات. في حالة امتحانات القبول وامتحانات المنافسة ، يتم إعطاء قيمة اللوغاريتم في السؤال.

البيانات:

C = 1500 م = 1996.50 ط = 10٪ = 0.01

إيجاد سعر الفائدة

مثال

ما هو معدل الفائدة المطبق سنويًا على رأس مال قدره 800 ريال برازيلي لتوليد فائدة قدرها 352 ريالاً برازيليًا في عامين؟

القرار

البيانات: C = 800 ؛ ر = سنتان ؛ J = 352.

لإيجاد المعدل ، علينا أولًا إيجاد المقدار.

م = ج + ي

800 + 352 = 1152

الآن علينا:

كنسبة مئوية ، يمكننا القول أيضًا أن i = 20٪

اقرأ أيضا: الكميات المتناسبة عكسيًا - علاقة مثل السرعة والوقت

الفرق بين الفائدة البسيطة والفائدة المركبة

تستخدم الفائدة البسيطة معادلة مختلفة عن تلك الموضحة للفائدة المركبة:

J = ج. أنا. ر

الفرق بين سلوك الفائدة البسيطة وسلوك الفائدة المركبة ، على المدى القصير ، دقيق تمامًا ، ولكن بمرور الوقت ، تكون الفائدة المركبة أكثر فائدة.

تبين ذلك ا يأوروس سبسيط و دائما محسوبة على القيمة الأولية من الصفقة. على سبيل المثال ، إذا قمت بتطبيق 500 دولار بفائدة بسيطة 10٪ شهريًا ، فهذا يعني أن رأس المال هذا سيحقق كل شهر 10٪ من 500 دولار ، أي 50 دولارًا ، بغض النظر عن مدة بقائه هناك. الفائدة البسيطة شائعة بالنسبة للفواتير المتأخرة ، مثل المياه والطاقة. في كل يوم تأخير ، يتم إعطاء المبلغ بمبلغ ثابت محسوب أعلى الحساب.

بالفعل يأوروسمجمع، التفكير بنفس المبلغ وبنفس المعدل ، في الشهر الأول ، دخلك يتم احتسابها فوق القيمة السابقة. على سبيل المثال ، في الشهر الأول ، سيتم احتساب 10٪ علاوة على 500 دولار أمريكي ، مما يؤدي إلى توليد 50 دولارًا أمريكيًا فائدة ومبلغًا قدره 550 دولارًا أمريكيًا. في الشهر القادم ، سيتم احتساب 10٪ أعلى القيمة الحالية للمبلغ ، أي 10٪ من 550 ريالاً برازيليًا ، مما يولد فائدة قدرها 55 ريالاً برازيليًا ، وهكذا. وبالتالي ، بالنسبة للاستثمارات ، تكون الفائدة المركبة أكثر فائدة. من الشائع تمامًا في هذا القطاع الاستثماري ، مثل المدخرات.

انظر الجدول المقارن لنفس القيمة التي تنتج 10 ٪ صباحا لمدة سنة واحدة مصلحة بسيطة والفائدة المركبة.

شهر	مصلحة بسيطة	الفائدة المركبة
0	1000 ريال برازيلي	1000 ريال برازيلي
1	1100 ريال برازيلي	1100 ريال برازيلي
2	1200 ريال برازيلي	1210 ريال برازيلي
3	1300 ريال برازيلي	ريال برازيلي 1331
4	1400 ريال برازيلي	1464.10 ريال برازيلي
5	1500 ريال برازيلي	1610.51 ريال برازيلي
6	1600 ريال برازيلي	1771.56 ريالاً برازيليًا
7	1700 ريال برازيلي	BRL 1948.72.00
8	1800 ريال برازيلي	2143.59 ريال برازيلي
9	1900 ريال برازيلي	2357.95 ريال برازيلي
10	2000 ريال برازيلي	2593.74 ريال برازيلي
11	2100 ريال برازيلي	BRL 2853.12.00 ريال برازيلي
12	2200 ريال برازيلي	BRL 3138.43.000 ريال برازيلي

تمارين حلها

السؤال رقم 1 - كم سأتمكن من الاستثمار إذا استثمرت رأس مال قدره 2000 ريال برازيلي بفائدة مركبة ، بنسبة 3٪ سنويًا ، خلال فترة 48 شهرًا؟

القرار
البيانات: C = 2000.00

أنا = 3٪ سنوياً

t = 48 شهرًا = 4 سنوات (لاحظ أن المعدل بالسنوات)

السؤال 2 - لاستثمار 25000 ريال برازيلي ، اقتبست ماريا خيارين:

5٪ شهريًا بفائدة بسيطة
4٪ شهريًا بفائدة مركبة

إلى متى يكون الخيار الثاني أكثر فائدة؟

القرار
لإجراء المقارنة ، يتبع جدول احتساب فائدة الخيار الأول والثاني:

شهر	الخيار الأول	الخيار الثاني
0	25000 ريال برازيلي	25000 ريال برازيلي
1	26250 ريال برازيلي	26000 ريال برازيلي
2	27500 ريال برازيلي	27.040 ريال برازيلي
3	28750 ريال برازيلي	28121.60 ريال برازيلي
4	30 ألف ريال برازيلي	29246.46 ريال برازيلي
5	31250 ريال برازيلي	30416.32 ريال برازيلي
6	32500 ريال برازيلي	31632.98 ريال برازيلي
7	33750 ريال برازيلي	32898.29 ريال برازيلي
8	35000 ريال برازيلي	34214.23 ريال برازيلي
9	36250 ريال برازيلي	3582.80 ريال برازيلي
10	37500 ريال برازيلي	37006.11 ريال برازيلي
11	38750 ريال برازيلي	38486.35 ريال برازيلي
12	40000 ريال برازيلي	40،025.81 ريال برازيلي