أ التسلسل العددي هي مجموعة من الأرقام منظمة بطريقة منظمة. يمكن تجميع التسلسل الرقمي باستخدام معايير مختلفة - على سبيل المثال، تسلسل الأرقام الزوجية أو تسلسل مضاعفات الرقم 3. عندما نتمكن من وصف هذا المعيار بصيغة، فإننا نسمي هذه الصيغة قانون تكوين التسلسل العددي.
إقرأ أيضاً: الاختلافات بين الرقم والرقم والرقم
ملخص عن التسلسل العددي
التسلسل الرقمي عبارة عن قائمة من الأرقام مرتبة بالترتيب.
يمكن أن يتبع التسلسل الرقمي معايير مختلفة.
قانون حدوث التسلسل الرقمي هو قائمة العناصر الموجودة في التسلسل.
يمكن تصنيف التسلسل بطريقتين. أحدهما يأخذ في الاعتبار عدد العناصر، والآخر يأخذ في الاعتبار السلوك.
أما بالنسبة لعدد العناصر، فيمكن أن يكون التسلسل محدودًا أو لا نهائيًا.
أما السلوك فيمكن أن يكون التسلسل متزايدا أو ثابتا أو متناقصا أو متذبذبا.
عندما يمكن وصف التسلسل الرقمي بمعادلة، تُعرف هذه المعادلة بقانون تكوين التسلسل الرقمي.
ما هي التسلسلات؟
التسلسلات هي مجموعات من العناصر مرتبة بترتيب معين. في حياتنا اليومية، يمكننا أن ندرك عدة مواقف تنطوي على تسلسلات:
تسلسل الأشهر: يناير، فبراير، مارس، أبريل،...، ديسمبر.
تسلسل سنوات أول 5 كؤوس عالم في القرن الحادي والعشرين: 2002, 2006, 2010, 2014, 2018.
هناك العديد من التسلسلات المحتملة الأخرى، مثل تسلسل الاسم أو التسلسل العمري. كلما كان هناك أمر ثابت، هناك تسلسل.
يُعرف كل عنصر من عناصر التسلسل بأنه حد من التسلسل، لذلك يوجد في التسلسل الحد الأول والحد الثاني وما إلى ذلك. عمومًا، يمكن تمثيل التسلسل بواسطة:
\((a_1,a_2,a_3,…,a_n )\)
\(إلى 1\) → الفصل الأول.
\(a_2\) → المصطلح الثاني.
\(a_3\) → الحد الثالث.
\(a_n\) → أي مصطلح.
قانون حدوث التسلسل العددي
يمكننا الحصول على تسلسلات من عناصر مختلفة، مثل الأشهر والأسماء وأيام الأسبوع وغيرها. أالتسلسل هو تسلسل رقمي عندما يتضمن أرقامًا. يمكننا تكوين تسلسل من الأرقام الزوجية والأرقام الفردية الأعداد الأولية، مضاعفات 5 الخ
يتم تمثيل التسلسل باستخدام قانون الحدوث. قانون الحدوث ليس أكثر من قائمة عناصر التسلسل الرقمي.
أمثلة:
(1، 3، 5، 7، 9، 11، 13، 15) → تسلسل الأرقام الفردية من 1 إلى 15.
(0، 5، 10، 15، 20، 25، 30، ...) → تسلسل الأرقام التي هي مضاعفات الرقم 5.
(-1، 1، -1، 1، -1، 1) → التسلسل المتناوب بين 1 و -1.
ما هو تصنيف التسلسل العددي؟
يمكننا تصنيف التسلسلات بطريقتين مختلفتين. أحدهما يأخذ في الاعتبار عدد العناصر والآخر يأخذ في الاعتبار سلوك هذه العناصر.
→ تصنيف التسلسل العددي حسب عدد العناصر
عندما نصنف التسلسل حسب عدد العناصر، هناك تصنيفان محتملان: التسلسل المحدود والتسلسل اللانهائي.
◦ تسلسل عددي منته
يكون التسلسل محدودًا إذا كان يحتوي على عدد محدود من العناصر.
أمثلة:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
(-4, -6, -8, -10, -12)
◦ تسلسل عددي لا نهائي
يكون التسلسل لا نهائيًا إذا كان يحتوي على عدد غير محدود من العناصر.
أمثلة:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...)
(3, 0, -3, -6, -9, -12, ...)
( -1, 2, -4, 8, -16, ...)
→ تصنيف التسلسل العددي حسب سلوك التسلسل
الطريقة الأخرى للتصنيف هي السلوك التسلسلي. في هذه الحالة، يمكن أن يكون التسلسل متزايدًا أو ثابتًا أو متذبذبًا أو متناقصًا.
◦ زيادة تسلسل الأرقام
تكون المتتابعة متزايدة إذا كان الحد دائمًا أكبر من سابقه.
أمثلة:
(1, 5, 9, 13, 17, ...)
(10, 11, 12, 13, 14, 15, ...)
◦ تسلسل رقم ثابت
يكون التسلسل ثابتًا عندما تكون جميع الحدود لها نفس القيمة.
أمثلة:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
(-1, -1, -1, -1, -1, ...)
◦ تسلسل رقمي تنازلي
تكون المتتابعة متناقصة إذا كانت الحدود في المتتابعة دائمًا أصغر من سابقاتها.
أمثلة:
(-1, -2, -3, -4, -5, ...)
(19, 16, 13, 10, 8, ...)
◦ تتأرجح تسلسل الأرقام
ويكون التسلسل متأرجحا إذا كانت هناك مصطلحات أكبر من التي سبقتها و مصطلحات أصغر من التي سبقتها بالتناوب.
أمثلة:
(1, -3, 9, -27, 81, ...)
(1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...)
قانون تكوين التسلسل العددي
في بعض الحالات، من الممكن وصف التسلسل باستخدام صيغة، علي أية حال هي ليست دائما "ممكنة. على سبيل المثال، تسلسل الأعداد الأولية هو تسلسل محدد جيدًا، ولكن لا يمكننا وصفه باستخدام صيغة. بمعرفة الصيغة، تمكنا من بناء قانون حدوث التسلسل العددي.
مثال 1:
تسلسل الأعداد الزوجية الأكبر من الصفر.
\(a_n=2n\)
لاحظ أنه عند الاستبدال ن لواحد عدد طبيعي (1، 2، 3، 4، ...) سنجد عدداً زوجياً:
\(a_1=2⋅1=2\)
\(a_2=2⋅2=4\)
\(a_3=2⋅3=6\)
\(a_4=2⋅4=8\)
لذا، لدينا صيغة تولد حدود التسلسل المكون من أرقام زوجية أكبر من الصفر:
(2, 4, 6, 8, ...)
مثال 2:
تسلسل الأعداد الطبيعية أكبر من 4
\(a_n=4+n\)
وبحساب حدود المتتابعة نحصل على:
\(a_1=4+1=5\)
\(a_2=4+2=6\)
\(a_3=4+3=7\)
\(a_4=4+4=8\)
كتابة قانون الحدوث:
(5, 6, 7, 8,…)
نرى أيضا: التقدم الحسابي – حالة خاصة من التسلسل العددي
تمارين محلولة على التسلسل العددي
السؤال رقم 1
التسلسل العددي له قانون تكوين يساوي \(a_n=n^2+1\). وبتحليل هذه المتتابعة يمكننا القول أن قيمة الحد الخامس من المتتابعة ستكون:
أ) 6
ب) 10
ج) 11
د) 25
ه) 26
دقة:
البديل ه
وبحساب قيمة الحد الخامس من المتتابعة نحصل على:
\(a_5=5^2+1\)
\(a_5=25+1\)
\(a_5=26\)
السؤال 2
تحليل المتتابعات العددية التالية:
أنا. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
ثانيا. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
ثالثا. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
يمكننا القول أن التسلسلات I و II و III مصنفة على التوالي على النحو التالي:
أ) التزايد والتذبذب والتناقص.
ب) التناقص والزيادة والتذبذب.
ج) متذبذبة وثابتة ومتزايدة.
د) متناقصة ومتذبذبة وثابتة.
ه) التذبذب والتناقص والزيادة.
دقة:
البديل ج
وبتحليل التسلسل يمكننا القول أن:
أنا. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
وهي متأرجحة، إذ أن هناك مصطلحات أكبر من التي سبقتها، وأخرى أصغر من التي سبقتها.
ثانيا. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
إنه ثابت، لأن شروط التسلسل هي نفسها دائمًا.
ثالثا. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
وهي آخذة في الازدياد، حيث أن المصطلحات دائما أكبر من سابقاتها.
