أ غطاء كروي و ال صلب هندسي يتم الحصول عليها عندما يتم اعتراض كرة بواسطة مستوى ، وتقسيمها إلى مادتين صلبتين هندسيتين. يعتبر الغطاء الكروي جسمًا مستديرًا لأنه ، مثل الكرة ، له شكل مستدير. لحساب مساحة وحجم الغطاء الكروي ، نستخدم صيغًا محددة.
اقرأ أيضا: جذع المخروط - المادة الصلبة الهندسية المتكونة من قاع المخروط عند عمل قسم موازٍ للقاعدة
ملخص حول غطاء كروي
- الغطاء الكروي عبارة عن مادة صلبة هندسية يتم الحصول عليها عند تقسيم الكرة بمستوى.
- العناصر الرئيسية للغطاء الكروي هي نصف قطر الكرة ونصف قطر الغطاء الكروي وارتفاع الغطاء الكروي.
- الغطاء الكروي ليس متعدد الوجوه ، ولكنه جسم دائري.
- إذا قسمت الطائرة الكرة إلى نصفين ، فإن الغطاء الكروي يشكل نصف كرة.
- من الممكن حساب نصف قطر الغطاء الكروي باستخدام نظرية فيثاغورس ، مرتبة على النحو التالي:
\ (\ يسار (R-h \ يمين) ^ 2 + r ^ 2 = R ^ 2 \)
- يمكن حساب مساحة الغطاء الكروي باستخدام الصيغة:
\ (أ = 2 \ بي rh \)
- يمكن حساب حجم الغطاء الكروي باستخدام الصيغة التالية:
\ (V = \ frac {\ pi h ^ 2} {3} \ cdot \ left (3r-h \ right) \)
ما هو غطاء كروي؟
غطاء كروي هي المادة الصلبة الهندسية التي تم الحصول عليها عند قسم من
كرة شائع مستوي. عندما نقطع الكرة بمستوى ، نقسم هذه الكرة إلى قطعتين كرويتين. عندما نقسم الكرة إلى نصفين ، يُعرف الغطاء الكروي بنصف الكرة.
عناصر غطاء كروي
في غطاء كروي ، العناصر الرئيسية هي نصف قطر الكرة ونصف قطر الغطاء الكروي وارتفاع الغطاء الكروي.
- R → نصف قطر الكرة.
- r → نصف قطر الغطاء الكروي.
- ح → ارتفاع الغطاء الكروي.
هل الغطاء الكروي متعدد الوجوه أم جسم دائري؟
يمكننا أن نرى أن الغطاء مادة صلبة هندسية. حيث أن لها قاعدة دائرية وسطح دائري ، يعتبر الغطاء الكروي أ الجسم المستدير، والتي تُعرف أيضًا باسم صلب الثورة. ومن الجدير بالذكر أن ملف متعدد الوجوه وقد تكونت الوجوه بواسطة المضلعات، وهذا ليس هو الحال بالنسبة للغطاء الكروي ، الذي يحتوي على قاعدة مكونة من a دائرة.
كيف تحسب نصف قطر الغطاء الكروي؟
لحساب طول نصف القطر للغطاء الكروي ، من الضروري معرفة طول الارتفاع h للغطاء الكروي وطول نصف القطر R للكرةلأنه ، كما نرى في الصورة التالية ، توجد علاقة فيثاغورس.
لاحظ أن لدينا ملف مثلث قائم، المثلث OO’B ، مع قياس الوتر R وقياس الأرجل R - h و r. تطبيق نظرية فيثاغورس، علينا أن:
\ (\ يسار (R-h \ يمين) ^ 2 + r ^ 2 = R ^ 2 \)
مثال:
ما نصف قطر غطاء كروي ارتفاعه 2 سم ، إذا كان نصف قطر الكرة 5 سم؟
دقة:
تطبيق علاقة فيثاغورس:
\ (\ يسار (R-h \ يمين) ^ 2 + r ^ 2 = R ^ 2 \)
\ (\ يسار (5-2 \ يمين) ^ 2 + r ^ 2 = 5 ^ 2 \)
\ (3 ^ 2 + ص ^ 2 = 25 \)
\ (9 + ص ^ 2 = 25 \)
\ (ص ^ 2 = 25-9 \)
\ (ص ^ 2 = 16 \)
\ (r = \ sqrt {16} \)
\ (ص = 4 \)
كيف تحسب مساحة الغطاء الكروي؟
لحساب مساحة الغطاء الكروي ، من الضروري معرفة قياس طول نصف القطر R للكرة وارتفاع h للغطاء. الصيغة المستخدمة لحساب مساحة السطح هي:
\ (A = 2 \ pi Rh \)
- R → نصف قطر الكرة.
- ح → ارتفاع الغطاء الكروي.
مثال:
تم الحصول على غطاء كروي من كرة نصف قطرها 6 سم وارتفاعها 4 سم. إذن ما هي مساحة سطح هذا الغطاء الكروي؟
دقة:
بحساب مساحة الغطاء الكروي ، لدينا:
\ (A = 2 \ pi Rh \)
\ (A = 2 \ cdot \ بي \ cdot6 \ cdot4 \ \)
\ (أ = 48 \ بي \ سم ^ 2 \)
كيف تحسب حجم الغطاء الكروي؟
حجم الغطاء الكروي يمكن حسابها بطريقتين. تعتمد الصيغة الأولى على نصف القطر R للكرة والارتفاع h:
\ (V = \ frac {\ pi h ^ 2} {3} \ left (3 R-h \ right) \)
مثال:
ما حجم الغطاء الكروي المأخوذ من كرة نصف قطرها 8 cm ويبلغ ارتفاع الغطاء الكروي 6 cm؟
دقة:
نظرًا لأننا نعرف قيمة R و h ، فسنستخدم الصيغة الأولى.
ص = 8
ح = 6
\ (V = \ frac {\ pi h ^ 2} {3} \ left (3 R-h \ right) \)
\ (V = \ frac {\ pi6 ^ 2} {3} \ left (3 \ cdot8-6 \ right) \)
\ (V = \ frac {36 \ pi} {3} \ left (24-6 \ right) \)
\ (الخامس = 12 \ بي \ يسار (18 \ يمين) \)
\ (V = 216 \ بي \ سم ^ 3 \)
تأخذ صيغة حجم الغطاء الكروي الأخرى في الاعتبار نصف قطر الغطاء الكروي r وارتفاع الغطاء h:
\ (V = \ frac {\ pi h} {6} \ left (3r ^ 2 + h ^ 2 \ right) \)
مثال:
ما حجم غطاء كروي نصف قطره 10 سم وارتفاعه 4 سم؟
دقة:
في هذه الحالة ، لدينا r = 10 cm و h = 4 cm. بما أننا نعرف قيمة نصف قطر الغطاء الكروي والارتفاع ، سنستخدم الصيغة الثانية:
\ (V = \ frac {\ pi h} {6} \ left (3r ^ 2 + h ^ 2 \ right) \)
\ (V = \ frac {4 \ pi} {6} \ left (3 {\ cdot10} ^ 2 + 4 ^ 2 \ right) \)
\ (V = \ frac {4 \ pi} {6} \ يسار (3 \ cdot100 + 16 \ right) \)
\ (V = \ frac {4 \ pi} {6} \ left (300 + 16 \ right) \)
\ (V = \ frac {4 \ pi} {6} \ left (316 \ right) \)
\ (V = \ frac {1264 \ pi} {6} \)
\ (V \ حوالي 210.7 \ \ بي \ سم³ \)
نرى أيضا: جذع الهرم - صلب هندسي يتكون من قاع الهرم عند أخذ مقطع عرضي
تمارين حلها على غطاء كروي
السؤال رقم 1
(Enem) لتزيين طاولة حفلات الأطفال ، سيستخدم الطاهي بطيخًا كرويًا يبلغ قطره 10 سم ، والذي سيكون بمثابة دعم لأسياخ الحلويات المختلفة. يقوم بإزالة غطاء كروي من البطيخ كما هو مبين في الشكل ولضمان ثبات هذا الدعم ، مما يجعل من الصعب على البطيخ أن يتدحرج عبر الطاولة ، سيقطع الطاهي بحيث يكون نصف القطر r لقسم القطع الدائري على الأقل ناقص 3 سم. من ناحية أخرى ، سيرغب المدير في الحصول على أكبر مساحة ممكنة في المنطقة التي سيتم فيها نشر الحلويات.
من أجل تحقيق جميع أهدافه ، يجب على الطاهي قطع الجزء العلوي من البطيخ على ارتفاع h بالسنتيمتر يساوي
أ) \ (5- \ frac {\ sqrt {91}} {2} \)
ب)\ (10- \ sqrt {91} \)
ج) 1
د) 4
هـ) 5
دقة:
البديل ج
نعلم أن قطر الكرة يساوي 10 سم ، لذا فإن نصف قطرها يساوي 5 سم ، إذن OB = 5 سم.
إذا كان نصف قطر المقطع 3 سم بالضبط ، فلدينا:
AO² + AB² = OB²
AO² + 3² = 5²
AO² + 9 = 25
AO² = 25-9
AO² = 16
AO = \ (\ sqrt {16} \)
AO = 4 سم
لذلك:
ح + 4 = 5
ح = 5-4
ح = 1
السؤال 2
غطاء كروي مساحته ١٤٤ سنتمتر مربع. مع العلم أن نصف قطرها 9 سم ، فإن ارتفاع هذا الغطاء الكروي هو:
أ) 8 سم
ب) 10 سم
ج) 14 سم
د) 16 سم
ه) 22 سم
دقة:
البديل أ
نحن نعرف ذلك:
\ (A = 2 \ pi Rh \)
\ (144 \ بي = 2 \ بي \ cdot9 \ cdot ح \)
\ (144 \ بي = 18 \ بي ح \)
\ (\ frac {144 \ pi} {18 \ pi} = h \)
\ (8 = ح \)
الارتفاع 8 سم.
بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm