تعدد الجذر

في حل معادلة الدرجة الثانية س² - 6 س + 9 = 0 ، نجد جذرَين يساوي 3. باستخدام نظرية التحلل ، نحلل كثير الحدود ونحصل على:
x² - 6 س + 9 = 0 = (س - 3) (س - 3) = (س - 3)²
في هذه الحالة ، نقول إن 3 هو جذر مضاعفة 2 أو جذر مزدوج للمعادلة.
وبالتالي ، إذا نتج عن كثير الحدود المعامل في التعبير التالي:

يمكننا القول بأنه:
x = -5 هو جذر ذو تعدد 3 أو جذر ثلاثي للمعادلة p (x) = 0
س = -4 هو جذر ذو تعدد 2 أو جذر مزدوج للمعادلة ص (س) = 0
س = 2 جذر مع تعدد 1 أو جذر بسيط للمعادلة ص (س) = 0
بشكل عام ، نقول إن r هو جذر تعدد n ، مع n 1 ، للمعادلة p (x) = 0 ، إذا:

لاحظ أن p (x) قابلة للقسمة على (x - r)^م وأن الشرط q (r) ≠ 0 يعني أن r ليس جذرًا لـ q (x) ويضمن أن تعدد الجذر r ليس أكبر من m.
مثال 1. حل المعادلة x⁴ - 9x³ +23 ضعفًا² - 3 س - 36 = 0 ، علمًا أن 3 هو جذر مزدوج.
الحل: اعتبر أن p (x) هي كثيرة الحدود المعطاة. هكذا:

لاحظ أنه يتم الحصول على q (x) بقسمة p (x) على (x - 3)².
من خلال القسمة على جهاز Briot-Ruffini العملي ، نحصل على:

بعد إجراء القسمة ، نرى أن معاملات كثيرة الحدود q (x) هي 1 و -3 و -4. وبالتالي ، فإن q (x) = 0 ستكون: x

² - 3 س - 4 = 0
لنحل المعادلة أعلاه لتحديد الجذور الأخرى.
x² - 3 س - 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
س = -1 أو س = 4
لذلك ، S = {-1 ، 3 ، 4}
مثال 2. اكتب معادلة جبرية من الدرجة الصغرى مثل 2 جذر مزدوج و - 1 جذر واحد.
الحل: علينا:
(س - 2) (س - 2) (س - (-1)) = 0
أو

بقلم مارسيلو ريجوناتو
متخصص في الإحصاء والنمذجة الرياضية
فريق مدرسة البرازيل

كثيرات الحدود - رياضيات - مدرسة البرازيل

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicidade-uma-raiz.htm