لحساب محددات المصفوفات المربعة من الرتبة أقل من أو تساوي 3 (ن 3) ، لدينا بعض القواعد العملية لإجراء هذه الحسابات. ومع ذلك ، عندما يكون الترتيب أكبر من 3 (ن> 3) ، فإن العديد من هذه القواعد لا تنطبق.
لذلك سنرى نظرية لابلاس ، والتي ، باستخدام مفهوم العامل المساعد ، تقود حساب المحددات إلى القواعد التي تنطبق على أي مصفوفات مربعة.
تتكون نظرية لابلاس من اختيار أحد الصفوف (صف أو عمود) من المصفوفة وإضافة منتجات عناصر هذا الصف من خلال العوامل المساعدة الخاصة بكل منها.
توضيح جبري:
لنلقي نظرة على مثال:
احسب محدد المصفوفة C باستخدام نظرية لابلاس:
وفقًا لنظرية لابلاس ، يجب أن نختار صفًا (صفًا أو عمودًا) لحساب المحدد. دعنا نستخدم العمود الأول:
نحتاج إلى إيجاد قيم العامل المساعد:
وهكذا ، من خلال نظرية لابلاس ، يتم إعطاء محدد المصفوفة C بالتعبير التالي:
لاحظ أنه لم يكن من الضروري حساب العامل المساعد لعنصر المصفوفة الذي كان يساوي صفرًا ، بعد كل شيء ، عندما نضرب العامل المساعد ، ستكون النتيجة صفرًا على أي حال. لذلك ، عندما نواجه مصفوفات بها العديد من الأصفار في أحد صفوفها ، فإن ملف يصبح استخدام نظرية لابلاس مثيرًا للاهتمام ، حيث لن يكون من الضروري حساب العديد العوامل المساعدة.
لنلقِ نظرة على مثال على هذه الحقيقة:
احسب محدد المصفوفة B باستخدام نظرية لابلاس:
لاحظ أن العمود الثاني هو الصف الذي يحتوي على أكبر قدر من الأصفار ، لذلك سنستخدم هذا الصف لحساب محدد المصفوفة من خلال نظرية لابلاس.
لذلك ، لتحديد محدد المصفوفة ب ، فقط أوجد العامل المساعد A22.
لذلك ، يمكننا إكمال حسابات المحدد:
Det ب = (- 1). (- 65) = 65
بقلم غابرييل أليساندرو دي أوليفيرا
تخرج في الرياضيات
فريق مدرسة البرازيل
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-laplace.htm