نظام معادلة الدرجة الأولى والثانية

أنظمة المعادلات ليست أكثر من استراتيجيات تسمح لنا حل المشاكل والحالات التي تتضمن أكثر من متغير واحد ومعادلتين على الأقل. إذا كانت المعادلات الموجودة في النظام تتضمن فقط إضافة و ال الطرح من المجهول ، نقول إنه أ نظام معادلة الدرجة الأولى. يمكننا حل هذا النظام بطريقتين ، من خلال التمثيل البياني أو جبريًا. في الصورة الجبرية ، لدينا بديلان ، طريقة إضافة او من إستبدال.

في حالة أ عمليه الضرب بين المجهول أو ببساطة أن أحدهم يظهر كقوة أس 2، نقول أن النظام يتضمن أيضًا معادلات من الدرجة الثانية. لحل مثل هذا النظام ، فإن الاستراتيجيات هي نفسها المذكورة أعلاه ، ولكن قد يكون هناك المزيد من الحلول في هذه الحالة.

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة لحل أنظمة معادلات الدرجة الأولى والثانية:

المثال الأول:

لاحظ أن المعادلة في هذا المثال س · ص = 15 يوفر منتج بين المجهول x و ذ، إذن فهذه معادلة من الدرجة الثانية. لحلها ، دعنا نستخدم طريقة الاستبدال. في المعادلة الثانية ، سنعزل x:

2 س - 4 ص = - 14
2 س = 4 ص - 14
س = 4 سنوات - 14
2
س = 2 ص - 7

الآن سوف نستبدل س = 2 ص - 7 في المعادلة الأولى:

س · ص = 15
(2 س - 7) · ص = 15
2 س 2 - 7 س - 15 = 0

للعثور على القيم الممكنة ل ذ سوف نستخدم صيغة Bhaskara:

Δ = ب² - 4.a.c
Δ = (– 7)² – 4.2.(– 15)
Δ = 49 + 120
Δ = 169

ص = - ب ± √Δ​
الثاني

ص = – (– 7) ± √169
2.2

ص = 7 ± 13
4

ذ1 = 7 + 13 4 ذ1 = 20 4 ذ1 = 5

ذ2 = 7 – 13 4 ذ2 = – 6 4 ذ2 = – 3 2

الآن يمكننا استبدال القيم التي تم العثور عليها لـ ذ في س · ص = 15 من أجل تحديد قيم x:

x1 · ذ1 = 15 x1 · 5 = 15 x1 = 15 5 x1 = 3

x2 · ذ2 = 15 x2 · (– 3) = 15 2  x2 = 15. (– 2) 3 x2 = – 10

يمكننا القول إن المعادلة لها حلين من النوع (س ، ص)، هل هم: (3, 5) و (– 10, ^{– 3}/₂).

المثال الثاني:

لحل هذا النظام ، سنستخدم طريقة الجمع. للقيام بذلك ، دعونا نضرب المعادلة الأولى في – 2. سيبدو نظامنا كما يلي:

(- 2x² + 2x²) + (- 4y² - 3y²) = (- 178 + 150)
0x² - 7y² = - 28
7 س² = 28
ص² = 28
7
ص = ± √4
ذ₁ = + 2
ذ₂ = – 2

الآن يمكننا استبدال القيم التي تم العثور عليها لـ ذ في المعادلة الأولى من أجل الحصول على قيم x:

x² + 2y1² = 89 x² + 2. (2) ² = 89 س² + 8 = 89 ײ = 81 س = ±√81 x1 = + 9 x2 = – 9

x² + 2y2² = 89 س² + 2. (- 2) ² = 89 س² + 8 = 89 ײ = 81 س = ±√81 x3 = + 9 ​x4 = – 9

يمكننا القول أن للمعادلة أربعة حلول: (9, 2), (– 9, 2), ( 9, – 2) و (– 9, – 2).

المثال الثالث:

في حل نظام المعادلات هذا ، سنستخدم طريقة الاستبدال. في المعادلة الثانية ، دعنا نفصل x:

2 س - 3 ص = 2
2 س = 3 ص + 2
س = 3 سنوات + 2
2
س = 3 س + 1
2

سوف نستبدل x في المعادلة الأولى:

x² + 2y² = 1
(^{3 س}/₂ + 1) ² + 2y² = 1
9 سنوات² + 3y + 1 + 2y² = 1
4

سنضرب المعادلة بأكملها في 4:

9 س² + 12 ص + 4 + 8 ص² = 4
17 س² + 12 ص = 0

للعثور على القيم الممكنة ل ذ دعنا نستخدم صيغة Bhaskara:

Δ = ب² - 4.a.c
Δ = 12² – 4.17. 0
Δ = 144
ص = - ب ± √Δ​
الثاني
ص = – 12 ± √144
2.17
ص = – 12 ± 12
34

ص1 = – 12 + 12 34 ذ1 = 0 34 ذ1 = 0

ذ2 = – 12 – 12 34 ذ2 = – 24 34 ذ2 = – 12 17

استبدال القيم التي تم العثور عليها لـ ذ في 2 س - 3 ص = 2، يمكننا تحديد قيم x:

2x - 3 سنوات1 = 2 2x - 3 · 0 = 2 2 س - 0 = 2 س = 2 2 x1 = 1

2x - 3 سنوات2 = 2 2x - 3 · (^– 12/17)= 2 2x + 36 = 2  17 2x = 2 – 36 17 2x = - 2 17 x2 = – 1 17

يمكننا القول إن المعادلة لها حلين من النوع (س ، ص)، هل هم: (1, 0) و (^{– 1}/₁₇, ^{– 12}/₁₇).

بقلم أماندا غونسالفيس
تخرج في الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-equacoes-1-o-2-o-grau.htm