التسلسل الرقمي: ما هو ، أنواعه ، تمارينه

ال تسلسل رقمي، كما يوحي الاسم ، هي سلسلة من الأرقام وعادة لديه قانون التكرار ، مما يجعل من الممكن التنبؤ بالشروط التالية التعرف على أسلافك. يمكننا تجميع التسلسلات الرقمية بمعايير مختلفة ، مثل تسلسل الأرقام الزوجية أو تسلسل الأرقام قابلة للقسمة على 4 ، تسلسل الأعداد الأولية ، تسلسل المربعات الكاملة ، أخيرًا ، هناك عدة احتمالات للتسلسلات عددي.

عندما نصنف التسلسل حسب مقدار المصطلحات ، يمكن أن يكون التسلسل محدودًا أو غير محدود. عندما نصنف التسلسل من حيث سلوك المصطلحات ، يمكن أن يكون هذا التسلسل تصاعدي أو تنازلي أو متذبذب أو ثابت. هناك حالات خاصة من التسلسلات تُعرف بالتعاقب الحسابي والتعاقب الهندسي.

اقرأ أيضا: كيف تحسب soma من شروط أ المتوالية العددية؟

ملخص التسلسل الرقمي

• التسلسل العددي ليس أكثر من سلسلة من الأرقام.

• بعض أمثلة التسلسل العددي:

  • تسلسل الأرقام الزوجية (0،2،4،6،8 ...) ؛

  • تسلسل المواد الطبيعية أقل من 6 (1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5) ؛

  • تسلسل الأعداد الأولية (2،3،5،7،11 ، ...).

• قانون تشكيل التقدم هو القاعدة التي تحكم هذا التسلسل.

• يمكن أن يكون التسلسل محدودًا أو غير محدود.

  • محدود: عندما يكون لديك قدر محدود من الشروط.

  • لانهائي: عندما يكون لديك عدد غير محدود من الشروط.

• يمكن أن يكون التسلسل متزايدًا أو غير مصدق أو ثابتًا أو متقلبًا.

  • الهلال: عندما يكون المصطلح دائمًا أصغر من المصطلح الذي يليه.

  • تنازليًا: عندما يكون المصطلح دائمًا أكبر من المصطلح الذي يليه.

  • ثابت: عندما يكون المصطلح دائمًا مساويًا لخليفته.

  • تتأرجح: عندما تكون هناك حدود أكبر وأصغر من خليفتها.

• هناك حالات خاصة من التسلسل تُعرف بالتقدم الحسابي أو التقدم الهندسي.

قانون حدوث التسلسل الرقمي

نحن نعرف التسلسل العددي أي تسلسل مكون من أرقام. عادةً ما نعرض التسلسلات من خلال سرد مصطلحاتها ، محاطة بأقواس ومفصولة بفاصلة. تُعرف هذه القائمة باسم قانون حدوث التسلسل الرقمي.

(ال₁، أ₂، أ_3, …، أ_لا)

ال₁ → 1st مصطلح من التسلسل

ال₂ → المصطلح الثاني من التسلسل

ال₃ → المصطلح الثالث من التسلسل

ال_لا → الحد النوني من التسلسل

دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة أدناه.

مثال 1:

قانون حدوث تسلسل الأرقام مضاعفات من 5:

(0, 5, 10, 15, 20, 25, …)

المثال 2:

قانون حدوث تسلسل الأعداد الأولية:

(2,3,5,7,11,13,17,19,23 … )

المثال 3:

قانون حدوث كل نفي:

( – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, – 6, – 7...)

المثال 4:

تسلسل الأعداد الفردية الأقل من 10:

(1, 3, 5, 7, 9)

اقرأ أيضا: ما هي خصائص الأعداد الفردية والزوجية؟

تصنيف التسلسل العددي

هناك طريقتان مختلفتان لتصنيف سلسلة. اول واحد هو من حيث مقدار الشروط، الطريقة التي يمكن أن يكون فيها التسلسل محدودًا أو لا نهائيًا. الطريقة الأخرى لتصنيف التسلسلات هي فيما يتعلق بسلوكهم. في هذه الحالة ، يتم تصنيفها على أنها متزايدة أو متناقصة أو ثابتة أو متقلبة.

• التصنيف حسب مقدار الشروط

→ تسلسل رقمي محدد

التسلسل محدود عندما يكون لديه كمية محدودة من الشروط.

أمثلة:

• (1, 2, 3, 4, 5)

• (– 16, – 8, – 4, – 2, – 1)

→ تسلسل رقمي لانهائي

يكون التسلسل لانهائيًا عندما يحتوي على عدد غير محدود من المصطلحات.

أمثلة:

• (10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000 … )

• (– 5, – 8, – 11, – 14, – 17, – 20, – 23 … )

• تقييم السلوك

→ تسلسل رقمي تصاعدي

التسلسل تصاعدي عندما يكون أي مصطلح أصغر دائمًا من المصطلح الذي يليه في تسلسل.

أمثلة:

• (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … )

• ( – 5, – 3, – 1, 1, 3, 5, 7)

→ تسلسل رقمي تنازلي

تسلسل تنازلي عندما يكون أي مصطلح دائمًا أكبر من الكلمة التي تليها في تسلسل.

أمثلة:

• (10, 7, 4, 1, – 2, – 5, – 8 … )

• (4, – 8, – 16, – 32, – 64 )

→ تسلسل رقمي ثابت

التسلسل ثابت عندما جميع المصطلحات في التسلسل هي نفسها:

أمثلة:

• (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,)

• ( – 4, – 4, – 4, – 4 … )

→ تسلسل رقمي متذبذب

تسلسل يتأرجح عندما تكون هناك مصطلحات أكبر وشروط أصغر أن خلفائهم في التسلسل:

أمثلة:

• (1,-2,4,-8,16,-32,64...)

• (1, – 1, 1, – 1, 1, – 1)

قانون تكوين تسلسل الأرقام

يمكن وصف بعض التسلسلات بواسطة ملف الصيغة التي تولد الشروط الخاصة بك. تُعرف هذه الصيغة بقانون التكوين. نستخدم قانون التكوين لإيجاد أي حد في المتتابعة عندما نعرف سلوكه.

مثال 1:

التسلسل التالي يتكون من المربعات المثالية:

(0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 64, … )

يمكننا وصف هذا التسلسل بقانون التكوين:

ال_لا = (ن - 1) ²

n → رقم المصطلح

ال_لا → مصطلح المنصب لا

باستخدام هذه الصيغة ، من الممكن معرفة ، على سبيل المثال ، المصطلح الذي يشغل الموضع رقم 10 في التسلسل:

ال₁₀ = ( 10 – 1) ²

ال₁₀ = 9²

ال₁₀ = 81

المثال 2:

اكتب شروط التسلسل الذي قانون تشكيله هو_لا = 2 ن - 5.

للقائمة ، سنجد أول حد في المتسلسلة:

الفترة الأولى:

ال_لا = 2 ن - 5

ال₁ = 2·1 – 5

ال₁ = 2 – 5

ال₁ = – 3

الفصل الثاني:

ال_لا = 2 ن - 5

ال₂ = 2·2 – 5

ال₂ = 4 – 5

ال₂ = – 1

الفصل الثالث:

ال_لا = 2 ن - 5

ال₃ = 2·3 – 5

ال₃ = 6 – 5

ال₃ = 1

الفصل الرابع:

ال_لا = 2 ن - 5

ال₄ = 2·4 – 5

ال₄ = 8 – 5

ال₄ = 3

الفصل الخامس:

ال₅ = 2 ن - 5

ال₅ = 2·5 – 5

ال₅ = 10 – 5

ال₅ = 5

لذا فإن التسلسل هو:

(– 1, 1, 3, 5 … )

نرى أيضا: الأرقام الرومانية — نظام عددي يستخدم الحروف لتمثيل القيم والكميات

التقدم الحسابي والتقدم الهندسي

انهم موجودين حالات خاصة من التسلسلات والتي تعرف بالتقدم الحسابي والتقدم الهندسي. التسلسل هو تقدم عندما يكون هناك سبب لمصطلح خليفته.

• المتوالية العددية

عندما نعرف الحد الأول في المتتالية ، ولإيجاد الثاني ،نضيف أول قيمة ص ولإيجاد الحد الثالث ، نضيف الثاني إلى نفس القيمة. صوهكذا ، يتم تصنيف السلسلة على أنها a المتوالية العددية.

مثال:

(1, 5, 9, 13, 17, 21, …)

هذا تقدم حسابي لنسبة تساوي 4 والحد الأول يساوي 1.

لاحظ أنه للعثور على خليفة رقم في المتسلسلة ، ما عليك سوى إضافة 4 ، لذلك نقول إن 4 هو سبب هذا التقدم الحسابي.

• المتوالية الهندسية

في المتوالية الهندسية، هناك سبب أيضًا ، ولكن في هذه الحالة ، لإيجاد خليفة المصطلح ، علينا ضرب الحد في النسبة.

مثال:

(2, 6, 18, 54, 162, … )

هذا تقدم هندسي لنسبة تساوي 3 والحد الأول يساوي 2.

لاحظ أنه للعثور على خليفة رقم في هذه المتسلسلة ، اضرب ببساطة في 3 ، مما يجعل نسبة هذا التقدم الهندسي تساوي 3.

تمارين حلهاحول التسلسل الرقمي

السؤال رقم 1 - عند تحليل التسلسل (1 ، 4 ، 9 ، 16 ، 25 ، ...) ، يمكننا القول أن الرقمين التاليين سيكونان:

أ) 35 و 46.

ب) 36 و 49.

ج) 30 و 41.

د) 41 و 66.

القرار

البديل ب.

للعثور على شروط التسلسل ، من المهم إيجاد انتظام في التسلسل ، أي فهم قانون حدوثه. لاحظ أنه من المصطلح الأول إلى المصطلح الثاني ، نضيف 3 ؛ من الحد الثاني إلى الحد الثالث ، نضيف 5 ؛ من الحد الثالث إلى الحد الرابع ومن الحد الرابع إلى الحد الخامس ، نضيف ، على التوالي ، 7 و 9 ، وبالتالي يزيد المجموع بمقدار اثنين وحدة لكل حد من المتتالية ، أي في المرحلة التالية ، سنضيف 11 ، ثم 13 ، ثم 15 ، ثم 17 ، وهكذا. على التوالي. لإيجاد خليفة 25 ، سنجمع 11.

25 + 11 = 36.

لإيجاد خلف 36 ، نضيف 13.

36 + 13 = 49

إذن ، الحدين التاليين سيكونان 36 و 49.

السؤال 2 - (معهد AOCP) بعد ذلك ، يتم تقديم تسلسل رقمي ، بحيث تكون عناصر هذا التسلسل مرتبة وفقًا لقانون التكوين (المنطقي) ، حيث x و y عددان صحيحان: (24 ، 13 ، 22 ، 11 ، 20 ، 9 ، س ، ص). مراقبة هذا التسلسل وإيجاد قيم x و y ، باتباع قانون تشكيل التسلسل المحدد ، من الصحيح ذكر ذلك

أ) س هو رقم أكبر من 30.

ب) ص هو رقم أصغر من 5.

ج) مجموع x و y ينتج عنه 25.

د) حاصل ضرب x و y يعطي 106.

هـ) الفرق بين y و x بهذا الترتيب هو رقم موجب.

القرار

البديل C.

نريد إيجاد الحد السابع والثامن من هذه المتتابعة.

بتحليل قانون حدوث المتتالية (24 ، 13 ، 22 ، 11 ، 20 ، 9 ، س ، ص) ، من الممكن أن نرى أن هناك منطقًا للمصطلحات الفردية (الحد الأول ، الحد الثالث ، الحد الخامس... ). لاحظ أن المصطلح الثالث يساوي الحد الأول ناقص 2 ، لأن 24-2 = 22. باستخدام هذا المنطق نفسه ، سيكون الحد السابع ، الذي يمثله x ، هو الحد الخامس ناقص 2 ، أي x = 20-2 = 18.

يوجد منطق مماثل للمصطلحات الزوجية (الحد الثاني ، الحد الرابع ، الحد السادس ...): الحد الرابع هو الحد الثاني ناقص 2 ، حيث أن 13-2 = 11 ، وهكذا. نريد الحد الثامن ، الذي يمثله y ، والذي سيكون الحد السادس ناقص 2 ، لذا y = 9-2 = 7.

إذن لدينا x = 18 و y = 7. عند تحليل البدائل ، لدينا أن x + y = 25 ، أي مجموع x و y ينتج عنه 25.

بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sequencia-numerica.htm