طريقة إكمال المربع

من بين طرق إيجاد القيمة العددية لـ x ، عملية تعرف أيضًا باسم أوجد جذور المعادلة أو أوجد حل المعادلة، دافع عن كرامته: صيغة باسكارا انها ال عملية استكمال المربعات. هذا الأخير هو محور نص اليوم.

يتم تحديد عدد حلول المعادلة من خلال درجتها. لذلك ، معادلات الدرجة الأولى لها حل واحد فقط ، ومعادلات الدرجة الثالثة لها ثلاثة حلول ، و المعادلات التربيعية لها حلين ، يسمى أيضًا بالجذور.

يمكن كتابة معادلات الدرجة الثانية بصيغتها المختصرة على النحو التالي:

فأس² + ب س + ج = 0

طريقة إكمال المربع

في هذه الحالة تكون المعادلة التربيعية عبارة عن مربع كامل ثلاثي الحدود

تُعرف معادلات الدرجة الثانية الناتجة عن منتج رائع باسم ثلاثي الحدود المربع الكامل. للعثور على جذورها ، سنستخدم الطريقة الموضحة أدناه:

مثال: احسب جذور معادلة x² + 6 س + 9 = 0.

لاحظ أن المعامل b هو 6 = 2 · 3. لكتابتها في شكل منتج رائع ، فقط تحقق مما إذا كانت c = 3²وهذا صحيح منذ 3² = 9 = ج. بهذه الطريقة يمكننا أن نكتب:

x² + 6 س + 9 = (س + 3)² = 0

لاحظ أن المنتج البارز هو حاصل ضرب بين كثيرتي حدود متساويتين. في حالة هذه المعادلة ، سيكون لدينا:

(x + 3)² = (س + 3) (س + 3) = 0

المنتج يساوي الصفر فقط عندما يكون أحد عوامله يساوي صفرًا. لذلك ، من أجل (x + 3) (x + 3) = 0 ، من الضروري أن (x + 3) = 0 أو (x + 3) = 0. ومن ثم فإن النتيجتين المتساويتين لمعادلة x² + 6 س + 9 = 0 وهي: س = - 3 أو س = - 3.

باختصار: لحل معادلة x² + 6 س + 9 = 0 ، اكتب:

x² + 6 س + 9 = 0

(x + 3)² = 0

(س + 3) (س + 3) = 0

س = - 3 أو س = - 3

في هذه الحالة ، لا تكون المعادلة التربيعية عبارة عن مربع كامل ثلاثي الحدود

معادلة الثانية التي لا يلبي فيها المعامل b والمعامل c العلاقات المحددة أعلاه ليست ثلاثية الحدود التربيعية الكاملة. في هذه الحالة ، يمكن استخدام طريقة الحل الموضحة أعلاه مع إضافة بضع خطوات. لاحظ المثال التالي:

مثال: احسب جذور معادلة x² + 6 س - 7 = 0.

لاحظ أن هذه المعادلة ليست ثلاثية الحدود لمربع كامل. لكي يكون الأمر كذلك ، يمكننا استخدام العمليات التالية:

لاحظ أن b = 2 · 3 ، لذلك في العضو الأول ، يكون التعبير الذي يجب أن يظهر هو x² + 6x + 9 ، لأنه في هذا التعبير ب = 2 · 3 و ج = 3².

لهذا "التحول" ، أضف 3² على عضوين من هذه المعادلة ، "مرر" - 7 إلى العضو الثاني ، وقم بإجراء العمليات الممكنة ولاحظ النتائج:

x² + 6 س - 7 + 3² = 0 + 3²

x² + 6 س + 3² = 3² + 7

x² + 6 س + 9 = 9 + 7

x² + 6 س + 9 = 16

(x + 3)² = 16

√ (x + 3)² = √16

س + 3 = 4 أو س + 3 = - 4

يجب تقسيم هذه الخطوة الأخيرة إلى معادلتين ، حيث يمكن أن يكون جذر 16 إما 4 أو - 4 (يحدث هذا فقط في المعادلات. إذا سئل ما هو جذر 16 ، فإن الإجابة هي 4 فقط). لذلك ، من الضروري إيجاد كل النتائج الممكنة. استمرار:

س + 3 = 4 أو س + 3 = - 4

س = 4 - 3 أو س = - 4 - 3

س = 1 أو س = - 7

في هذه الحالة المعامل "أ" لا يساوي 1

الحالات السابقة مخصصة لمعادلات الدرجة الثانية حيث المعامل "a" يساوي 1. إذا كان المعامل "a" مختلفًا عن 1 ، فقط قسّم المعادلة بأكملها على قيمة "a" وتابع الحسابات بنفس الطريقة كما في الحالة السابقة.

مثال: احسب جذور 2x² + 16 س - 18 = 0

لاحظ أن أ = 2. لذا قسّم المعادلة بأكملها على 2 وقم بتبسيط النتائج:

2x² + 16 ضعفًا – 18 = 0
 2 2 2 2

x² + 8 س - 9 = 0

بمجرد الانتهاء من ذلك ، كرر إجراءات الحالة السابقة.

x² + 8 س - 9 = 0

x² + 8 س - 9 + 16 = 0 + 16

x² + 8 س + 16 = 9 + 16

(x + 4)² = 25

√ (س + 4)² = √25

س + 4 = 5 أو س + 4 = –5

س = 5 - 4 أو س = - 5 - 4

س = 1 أو س = - 9

المنتجات البارزة ومعادلات الدرجة الثانية: أصل طريقة إكمال المربع

المعادلات التربيعية تشبه إلى حد كبير المنتجات الرائعة مجموع مربع و مربع الفرق.

المجموع التربيعي ، على سبيل المثال ، هو مجموع اثنين من الأحاديات تربيع. يشاهد:

(س + ك)² = س² + 2kx + k²

يُعرف العضو الأول في المساواة المذكورة أعلاه باسم منتج رائع والثاني كيف ثلاثي الحدود المربع الكامل. هذا الأخير يشبه إلى حد كبير معادلة من الدرجة الثانية. يشاهد:

ثلاثي الحدود المربع المثالي: x² + 2kx + k²

معادلة الدرجة الثانية: فأس² + ب س + ج = 0

بهذه الطريقة ، إذا كان هناك أي طريقة لكتابة معادلة من الدرجة الثانية كمنتج رائع ، ربما توجد أيضًا طريقة للعثور على نتائجك دون الحاجة إلى استخدام صيغة باسكارا.

للقيام بذلك ، لاحظ أنه في المنتج البارز أعلاه ، أ = 1 ، ب = 2 · ك ، ج = ك². بهذه الطريقة ، من الممكن كتابة معادلات تفي بهذه المتطلبات في شكل منتج رائع.

لذا انظر إلى المعاملات في المعادلة. إذا كانت "a" مختلفة عن 1 ، قسّم المعادلة بأكملها على قيمة "a". خلاف ذلك ، لاحظ المعامل "ب". يجب أن تساوي القيمة العددية لنصف هذا المعامل القيمة العددية للجذر التربيعي للمعامل "ج". رياضيا ، مع الأخذ في الاعتبار الفأس المعادلة² + bx + c = 0 ، إذا كانت a = 1 بالإضافة إلى:

ب = ج
2

لذلك ، يمكنك كتابة هذه المعادلة على النحو التالي:

فأس² + ب س + ج = (س + ب) = 0
2

وستكون جذوره - ب و + ب.
2 2

ومن هنا فإن كل النظرية المستخدمة لحساب جذور المعادلات التربيعية بطريقة إكمال المربعات.

بقلم لويز باولو موريرا
تخرج في الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm