بناء خطوة بخطوة للرسم البياني لوظيفة الدرجة الثانية

في المدرسة الابتدائية، المهام هي صيغ رياضية تربط كل رقم في مجموعة عددية (المجال) برقم واحد ينتمي إلى مجموعة أخرى (المجال المقابل). عندما تكون هذه الصيغة ملف معادلة الدرجة الثانية، لدينا واحدة وظيفة المدرسة الثانوية.

يمكن تمثيل الوظائف بأشكال هندسية تتطابق تعريفاتها مع صيغها الرياضية. هذه هي حالة الخط المستقيم ، الذي يمثل وظائف من الدرجة الأولى ، و موعظةالتي تمثل وظائف الدرجة الثانية. تسمى هذه الأشكال الهندسية الرسومات.

الفكرة المركزية لتمثيل الوظيفة بالرسم البياني

ل رسم وظيفة، من الضروري تقييم عنصر المجال المضاد المرتبط بكل عنصر من عناصر المجال وتمييزه ، واحدًا تلو الآخر ، على مستوى ديكارت. عندما يتم تسجيل كل هذه النقاط ، ستكون النتيجة مجرد رسم بياني للدالة.

يشار إلى أن ملف وظائف المدرسة الثانوية، يتم تعريفها عادةً في مجال يساوي مجموعة الأرقام الحقيقية بأكملها. هذه المجموعة لا نهائية ، وبالتالي ، من المستحيل تحديد جميع نقاطها على مستوى ديكارتي. وبالتالي ، فإن البديل هو رسم رسم بياني يمكن أن يمثل جزئيًا الوظيفة المقيمة.

بادئ ذي بدء ، تذكر أن وظائف الدرجة الثانية تتخذ الشكل التالي:

ص = الفأس² + ب س + ج

لذلك نحن نقدم خمس خطوات تجعل من الممكن بناء رسم بياني للدالة من الدرجة الثانية، تمامًا مثل تلك المطلوبة في المدرسة الثانوية.

الخطوة 1 - التقييم الوظيفي العام

هناك بعض المؤشرات التي تساعدك في معرفة ما إذا كان يتم اتباع المسار الصحيح عند بناء الرسم البياني لوظيفة المدرسة الثانوية.

I - المعامل "a" من a وظيفة المدرسة الثانوية يشير إلى تقعره ، أي إذا كان> 0 ، فإن القطع المكافئ سيكون لأعلى وسيكون له أدنى نقطة. إذا كانت القيمة <0 ، فسيكون القطع المكافئ لأسفل وله نقطة قصوى.

II) النقطة الأولى أ من رسم بياني لمثل يمكن الحصول عليها بسهولة بمجرد النظر إلى قيمة المعامل "c". وهكذا ، أ = (0 ، ج). يحدث هذا عندما x = 0. يشاهد:

ص = الفأس² + ب س + ج

ص = أ · 0² + ب · 0 + ج

ص = ج

الخطوة 2 - ابحث عن إحداثيات الرأس

قمة أ موعظة هو الحد الأقصى (إذا كانت <0) أو الحد الأدنى (إذا كانت النقطة> 0). يمكن إيجاده عن طريق استبدال قيم المعاملات "أ" و "ب" و "ج" في الصيغ:

x_الخامس = - ب
الثاني

ذ_الخامس = –∆
الرابعة

وهكذا ، يُعطى الرأس V بالقيم العددية لـ x_الخامس و ذ_الخامس ويمكن كتابتها على النحو التالي: V = (x_الخامسس ص_الخامس).

الخطوة 3 - نقاط عشوائية على الرسم البياني

من الجيد دائمًا الإشارة إلى بعض النقاط العشوائية التي تكون قيمها المخصصة للمتغير x أكبر وأقل من x_الخامس. سيعطيك هذا نقاطًا قبل وبعد القمة وسيجعل رسم الرسم البياني أسهل.

الخطوة 4 - إن أمكن ، حدد الجذور

عندما تكون موجودة ، يمكن (ويجب) تضمين الجذور في تصميم رسم بياني لدالة من الدرجة الثانية. للعثور عليهم ، اضبط y = 0 للحصول على معادلة تربيعية يمكن حلها باستخدام صيغة Bhaskara. تذكر ذلك يحل المعادلة التربيعية هي نفسها إيجاد جذورها.

ال صيغة باسكارا ذلك يعتمد على صيغة المميز. هل هم:

س = - ب ± √∆
الثاني

∆ = ب² - 4 أ

الخطوة 5 - حدد جميع النقاط التي تم الحصول عليها على المستوى الديكارتي واربطها ببعضها البعض ، من أجل بناء القطع المكافئ

تذكر أن المستوى الديكارتي يتكون من سطري أرقام متعامدين. هذا يعني أنه بالإضافة إلى احتوائها على جميع الأرقام الحقيقية ، فإن هذه الخطوط تشكل زاوية 90 درجة.

مثال على خطة ديكارتية ومثال لمثل.

مثال

ارسم دالة الدرجة الثانية y = 2x² - 6x.

حل: لاحظ أن معاملات هذا القطع المكافئ هي أ = 2 ، ب = - 6 ، ج = 0. بهذه الطريقة ، من خلال الخطوة 1، يمكننا القول بأنه:

1 - سيكون القطع المكافئ لأعلى ، مثل 2 = أ> 0.

2 - إحدى نقاط هذا المثل ، ممثلة بالحرف A ، تُعطى بالمعامل c. هكذا، أ = (0.0).

خطوة 2، نلاحظ أن رأس هذا القطع المكافئ هو:

x_الخامس = - ب
الثاني

x_الخامس = – (– 6)
2·2

x_الخامس = 6
4

x_الخامس = 1,5

ذ_الخامس = – ∆
الرابعة

ذ_الخامس = – (ب² - 4 · أ · ج)
الرابعة

ذ_الخامس = – ((– 6)² – 4·2·0)
4·2

ذ_الخامس = – (36)
8

ذ_الخامس = – 36
8

ذ_الخامس = – 4,5

لذلك ، فإن إحداثيات الرأس هي: الخامس = (1.5 ، - 4.5)

باستخدام الخطوه 3، سنختار قيمتين فقط للمتغير x ، واحدة أكبر وأخرى أصغر من x_الخامس.

إذا كانت x = 1 ،

ص = 2 س² - 6x

ص = 2 · 1² – 6·1

ص = 2 · 1 - 6

ص = 2-6

ص = - 4

إذا كانت x = 2 ،

ص = 2 س² - 6x

ص = 2 · 2² – 6·2

ص = 2 · 4-12

ص = 8-12

ص = - 4

لذلك ، يتم الحصول على النقطتين ب = (1 ، - 4) وج = (2 ، - 4)

الفراء الخطوة 4، وهو ما لا يلزم القيام به إذا كانت الوظيفة ليس لها جذور ، نحصل على النتائج التالية:

∆ = ب² - 4 أ

∆ = (– 6)² – 4·2·0

∆ = (– 6)²

∆ = 36

س = - ب ± √∆
الثاني

س = – (– 6) ± √36
2·2

س = 6 ± 6
4

x '= 12
4

س '= 3

x '' = 6 – 6
4

س '' = 0

لذلك ، فإن النقاط التي تم الحصول عليها من خلال الجذور ، مع الأخذ في الاعتبار أنه للحصول على x = 0 و x = 3 ، كان من الضروري تعيين y = 0 ، هي: أ = (0 ، 0) ود = (3 ، 0).

وبذلك نحصل على ست نقاط لرسم التمثيل البياني للدالة y = 2x² - 6x. الآن فقط استيفاء الخطوة 5 بالتأكيد.

بقلم لويز باولو موريرا
تخرج في الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/passo-passo-para-construcao-grafico-funcao-segundo-grau.htm