ا حجم المجال هي المساحة التي يشغلها هذا صلب هندسي. من خلال شعاع كرة - أي من المسافة بين المركز والسطح - من الممكن حساب حجمه.
اقرأ أيضا: حجم المواد الصلبة الهندسية
ملخص حول حجم الكرة
الكرة هي الجسم المستدير تم الحصول عليها عن طريق تدوير نصف دائرة حول محور يحتوي على القطر.
تكون جميع النقاط الموجودة على الكرة على مسافة مساوية لمركز الكرة أو أقل منها.
يعتمد حجم الكرة على قياس نصف القطر.
صيغة حجم الكرة هي \ (V = \ فارك {4 · π · r ^ 3} 3 \)
درس فيديو عن حجم الكرة
ما هو اسفير؟
ضع في اعتبارك نقطة O في الفضاء ومقطع بقياس r. المجال هو مادة صلبة تتكون من جميع النقاط التي تقع على مسافة مساوية أو أقل من r من O. نسمي O مركز الكرة و r نصف قطر الكرة.
المجال يمكن وصفه أيضًا بأنه صلب للثورة. لاحظ أن تدوير نصف دائرة حول محور يحتوي على قطره يشكل كرة:
صيغة حجم المجال
لحساب الحجم V للكرة ، نستخدم الصيغة أدناه ، حيث r هو نصف قطر الكرة:
\ (V = \ frac {4 · π · r ^ 3} {3} \)
من المهم مراقبة وحدة قياس نصف القطر لتحديد وحدة قياس الحجم. على سبيل المثال ، إذا تم إعطاء r بالسم ، فيجب إعطاء الحجم بوحدة cm³.
كيف تحسب حجم الكرة؟
يعتمد حساب حجم الكرة على قياس نصف القطر فقط. لنلقي نظرة على مثال.
مثالباستخدام التقريب π = 3 ، أوجد حجم كرة سلة يبلغ قطرها 24 سم.
بما أن القطر ضعف نصف القطر ، فإن r = 12 سم. بتطبيق صيغة حجم الكرة ، لدينا
\ (V = \ فارك {4 · π · 12 ^ 3} 3 \)
\ (V = \ فارك {4 · π · 1728} 3 \)
\ (V = 6912 \ سم ^ 3 \)
مناطق المجال
ضع في اعتبارك كرة مركزها O ونصف قطرها ص. مثله، يمكننا النظر في ثلاث مناطق في هذا المجال:
تتكون المنطقة الداخلية من النقاط التي تكون بعدها عن المركز أقل من نصف القطر. إذا كان P ينتمي إلى المنطقة الداخلية للكرة ، إذن
\ (د (ف ، س)
تتكون منطقة السطح من النقاط التي تكون المسافة من المركز لها مساوية لنصف القطر. إذا كان P ينتمي إلى منطقة سطح الكرة ، إذن
\ (د (ف ، س) = ص \)
تتكون المنطقة الخارجية من النقاط التي تكون بعدها عن المركز أكبر من نصف القطر. إذا كان P ينتمي إلى المنطقة الداخلية للكرة ، إذن
\ (د (ف ، س)> ص \)
وبالتالي ، فإن النقاط الموجودة على المنطقة الخارجية للكرة لا تنتمي إلى الكرة.
تعرف أكثر: غطاء كروي - صلب يتم الحصول عليه عند تقاطع كرة بمستوى
صيغ أخرى في المجال
أ منطقة المجال - أي قياس سطحه - له أيضًا صيغة معروفة. إذا كان r هو نصف قطر الكرة ، يتم حساب مساحتها A بواسطة
\ (أ = 4 · π · ص ^ 2 \)
في هذه الحالة ، من المهم أيضًا ملاحظة وحدة قياس نصف القطر للإشارة إلى وحدة قياس المنطقة. على سبيل المثال ، إذا كانت r بوحدة cm ، فيجب أن يكون A بوحدة cm².
تمارين حلها على حجم الكرة
السؤال رقم 1
ما نصف قطر كرة حجمها 108 سنتيمترات مكعب؟ (استخدم π = 3).
أ) 2 سم
ب) 3 سم
ج) 4 سم
د) 5 سم
ه) 6 سم
دقة
البديل ب.
اعتبر ذلك ص هو نصف قطر الكرة. بمعرفة أن V = 108 ، يمكننا استخدام صيغة حجم الكرة:
\ (V = \ فارك {4 · π · r ^ 3} 3 \)
\ (108 = \ فارك {4 · 3 · r ^ 3} 3 \)
\ (108 = 4 · ص ^ 3 \)
\ (ص ^ 3 = 27 \)
\ (ص = 3 \ سم \)
السؤال 2
خزان كروي قديم يبلغ قطره 20 مترًا وحجمه V.1. من المرغوب فيه بناء خزان ثان بالحجم الخامس2بضعف حجم الخزان القديم. لذا ، ف2 انها نفس
ال) \ (\ frac {3000 · π} {8} م ^ 3 \)
ب) \ (\ frac {3000 · π} {4} م ^ 3 \)
ث) \ (\ frac {2000 · π} {3} م ^ 3 \)
د) \ (\ frac {4000 · π} {3} م ^ 3 \)
إنها) \ (\ frac {8000 · π} {3} م ^ 3 \)
دقة
البديل ه.
نظرًا لأن القطر يبلغ ضعف نصف القطر ، فإن نصف قطر الخزان القديم هو r = 10 أمتار. لذلك
\ (V_1 = \ frac {4 · π · r ^ 3} 3 \)
\ (V_1 = \ frac {4 · π · 10 ^ 3} 3 \)
\ (V_1 = \ فارك {4000 · π} 3 \ م ^ 3 \)
بالبيان ، \ (V_2 = 2 · V_1 \)، أي
\ (V_2 = \ frac {8000 · π} 3 م ^ 3 \)
بقلم ماريا لويزا ألفيس ريزو
مدرس رياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-da-esfera.htm