واحد الجذر التربيعي التقريبي هو تمثيل محدود لـ عدد غير نسبي. في كثير من الحالات ، عند العمل مع الجذور التربيعية، يكفي تقدير ببضع منازل عشرية لحساباتنا.
الآلة الحاسبة هي أداة مهمة في هذه العملية. تشير شاشة العرض ، ذات المساحة المحدودة ، إلى تقريب جيد للجذور التربيعية غير الدقيقة. ولكن من الممكن أيضًا العثور على هذه التقديرات بدون مساعدة الآلة الحاسبة ، كما سنرى أدناه.
اقرأ أيضا: التجذير - كل شيء عن عملية التقوية العكسية
ملخص الجذر التربيعي التقريبي
الجذر التربيعي غير الدقيق هو عدد غير نسبي.
يمكننا إيجاد قيم تقريبية للجذور التربيعية غير الدقيقة.
تعتمد دقة التقريب على عدد المنازل العشرية المستخدمة.
يمكن إجراء التقريب بطرق مختلفة ، بما في ذلك بمساعدة الآلة الحاسبة.
إيجاد تقريب y للجذر التربيعي لـ x يعني أن y² قريبة جدًا من x ، لكن y² لا تساوي x.
درس فيديو عن الجذر التربيعي التقريبي
كيف تحسب الجذر التربيعي التقريبي؟
هناك طرق مختلفة لحساب تقريب الجذر التربيعي. واحد منهم هو الآلة الحاسبة! على سبيل المثال ، عندما نكتب \ (\ sqrt {2} \) على الآلة الحاسبة وانقر فوق = ، الرقم الناتج هو رقم تقريبي. الشيء نفسه ينطبق مع
\ (\ sqrt {3} \) إنها \ (\ sqrt {5} \)، وهي أيضًا جذور تربيعية غير دقيقة ، أي أنها أعداد غير منطقية.طريقة أخرى هي استخدام الجذور الدقيقة بالقرب من الجذر غير الدقيق المدروس. يتيح لك هذا مقارنة التمثيلات العشرية وإيجاد نطاق للجذر غير الدقيق. وبالتالي ، يمكننا اختبار بعض القيم حتى نجد تقريبًا جيدًا.
يبدو الأمر صعبًا ، لكن لا تقلق: إنها عملية اختبار. لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة.
أمثلة
ابحث عن تقريب لأقرب منزلتين عشريتين لـ \ (\ mathbf {\ sqrt {5}} \).
أدرك ذلك \ (\ sqrt {4} \) إنها \ (\ sqrt {9} \) هي أقرب جذور \ (\ sqrt {5} \). تذكر أنه كلما زاد حجم الجذر ، زادت قيمة الجذر التربيعي. وبالتالي ، يمكننا أن نستنتج ذلك
\ (\ sqrt {4}
\ (2
أي، \ (\ sqrt5 \) هو رقم بين 2 و 3.
حان الوقت الآن للاختبار: نختار بعض القيم بين 2 و 3 ونتحقق مما إذا كان كل رقم مربع يقترب من 5. (تذكر ذلك \ (\ sqrt5 = أ \) لو \ (أ ^ 2 = 5 \)).
من أجل التبسيط ، لنبدأ بالأرقام ذات منزلة عشرية واحدة:
\(2,1^2=4,41\)
\(2,2^2=4,84\)
\(2,3^2=5,29\)
لاحظ أننا لا نحتاج حتى إلى الاستمرار في تحليل الأرقام إلى منزلة عشرية واحدة: الرقم الذي نبحث عنه بين 2.2 و 2.3.
\ (2،2
الآن ، نظرًا لأننا نبحث عن تقريب بأقرب منزلتين عشريتين ، فلننتقل إلى الاختبارات:
\(2,21^2=4,8841\)
\(2,22^2=4,9284\)
\(2,23^2=4,9729\)
\(2,24^2=5,0176\)
مرة أخرى ، يمكننا إيقاف التحليل. الرقم الذي تبحث عنه بين 2.23 و 2.24.
\ (2.23
لكن والآن؟ أي من هذه القيم ذات منزلتين عشريتين نختارها كتقريب لها \ (\ sqrt5 \)? كلاهما خياران جيدان ، لكن لاحظ أن الأفضل هو الذي يكون مربعه أقرب إلى 5:
\(5–2,23^2=5-4,9729=0,0271\)
\(2,24^2-5=5,0176-5=0,0176\)
أي، \(2,24^2 \) أقرب إلى 5 من \(2,23^2\).
وبالتالي ، فإن أفضل تقريب لأقرب منزلتين عشريتين لـ \ (\ sqrt5 \) é 2,24. نكتب ذلك \ (\ sqrt5≈2.24 \).
ابحث عن تقريب لأقرب منزلتين عشريتين لـ \ (\ mathbf {\ sqrt {20}} \).
يمكننا أن نبدأ بنفس الطريقة كما في المثال السابق ، أي البحث عن الجذور الدقيقة التي الجذر قريب من 20 ، لكن لاحظ أنه من الممكن تقليل قيمة الجذر وتسهيل حسابات:
\ (\ sqrt {20} = \ sqrt {4 · 5} = \ sqrt4 · \ sqrt5 = 2 \ sqrt5 \)
لاحظ أننا أجرينا تحلل الجذر و 20 واستخدمنا خاصية التجذير.
الآن كيف \ (\ مربع 20 = 2 \ مربع 5 \)، يمكننا استخدام التقريب مع منزلتين عشريتين ل \ (\ sqrt5 \) من المثال السابق:
\ (\ الجذر التربيعي {20} ≈2.2،24 \)
\ (\ الجذر التربيعي {20} ≈4.48 \)
ملاحظة: حيث نستخدم رقمًا تقريبيًا (\ (\ sqrt5≈2.24 \)) ، قد لا تكون القيمة 4.48 أفضل تقريب مع منزلتين عشريتين لـ \ (\ sqrt {20} \).
اقرأ أيضا: كيف تحسب الجذر التكعيبي لعدد؟
الاختلافات بين الجذر التربيعي التقريبي والجذر التربيعي الدقيق
الجذر التربيعي الدقيق هو أ رقم منطقي. أدرك ذلك \ (\ sqrt9 \),\ (\ sqrt {0،16} \) إنها \ (\ sqrt {121} \) هي أمثلة للجذور التربيعية الدقيقة ، مثل \ (\ الجذر التربيعي {9} = 3 \), \ (\ الجذر التربيعي {0،16} = 0،4 \) إنها \ (\ الجذر التربيعي {121} = 11 \). علاوة على ذلك ، عندما نطبق العملية العكسية (أي ، التقوية مع الأس 2) نحصل على الجذر. في الأمثلة السابقة لدينا \(3^2=9\), \(0,4^2=0,16\) إنها \(11^2=121\).
الجذر التربيعي غير الدقيق هو عدد غير نسبي (أي رقم به منازل عشرية لانهائية غير متكررة). وبالتالي ، فإننا نستخدم التقريبات في تمثيلها العشري. أدرك ذلك \ (\ sqrt2 \), \ (\ sqrt3 \) إنها \ (\ sqrt6 \) هي أمثلة على الجذور غير الدقيقة ، لأن \ (\ sqrt2≈1.4142135 \), \ (\ sqrt3≈1.7320508 \) إنها \ (\ sqrt6≈2.44949 \). علاوة على ذلك ، عندما نطبق العملية العكسية (أي التقوية مع الأس 2) ، نحصل على قيمة قريبة من الجذر ، ولكنها ليست متساوية. في الأمثلة السابقة لدينا \(1,4142135^2=1,999999824\), \(1,7320508^2=2,999999974\) إنها \(2,44949^2=6,00000126\).
تمارين محلولة على الجذر التربيعي التقريبي
السؤال رقم 1
رتب الأرقام التالية بترتيب تصاعدي: \ (13، \ sqrt {150}، \ sqrt {144}، 14 \).
دقة
أدرك ذلك \ (\ sqrt {150} \) هو جذر تربيعي غير دقيق و \ (\ sqrt {144} \) هو بالضبط (\ (\ الجذر التربيعي {144} = 12 \)). وبالتالي ، نحتاج فقط إلى تحديد موقف \ (\ sqrt {150} \).
.لاحظ أن \ (13 = \ sqrt {169} \). بالنظر إلى أنه كلما زاد الجذر ، زادت قيمة الجذر التربيعي ، لدينا ذلك
\ (\ sqrt {144}
لذلك ، لدينا ترتيب الأرقام بترتيب تصاعدي
\ (\ sqrt {144}
السؤال 2
من بين البدائل التالية ، وهو أفضل تقريب مع منزلة عشرية واحدة للرقم \ (\ sqrt {54} \)?
أ) 6.8
ب) 7.1
ج) 7.3
د) 7.8
هـ) 8.1
دقة
البديل ج
.لاحظ أن \ (\ sqrt {49} \) إنها \ (\ sqrt {64} \) هي أقرب الجذور التربيعية الدقيقة لـ \ (\ sqrt {54} \). مثل \ (\ الجذر التربيعي {49} = 7 \) إنها \ (\ الجذر التربيعي {64} = 8 \)، علينا أن
\ (7
دعونا نرى بعض احتمالات التقريب مع منزلة عشرية واحدة لـ \ (\ sqrt {54} \):
\(7,1^2=50,41\)
\(7,2^2=51,84\)
\(7,3^2=53,29\)
\(7,4^2=54,76\)
لاحظ أنه ليس من الضروري الاستمرار في الاختبارات. أيضًا ، من بين البدائل ، يمثل 7.3 أفضل تقريب لمكان عشري واحد لـ \ (\ sqrt {54} \).
بقلم ماريا لويزا ألفيس ريزو
مدرس رياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/raiz-quadrada-aproximada.htm
