مصفوفة متماثلة يكون مقر فيه كل عنصر \ (أ_ {ij} \) يساوي العنصر \ (a_ {ji} \) لجميع قيم i و j. وبالتالي ، فإن كل مصفوفة متماثلة تساوي مدورها. وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن كل مصفوفة متماثلة تكون مربعة وأن القطر الرئيسي يعمل كمحور تناظر.
اقرأ أيضا:الجمع والطرح المصفوفة - كيف تحسب؟
ملخص عن المصفوفة المتماثلة
في مصفوفة متماثلة \ (a_ {ij} = a_ {ji} \) للجميع أنا و ي.
كل مصفوفة متماثلة مربعة.
كل مصفوفة متماثلة تساوي مدورها.
تكون عناصر المصفوفة المتماثلة متماثلة حول القطر الرئيسي.
بينما في المصفوفة المتماثلة \ (a_ {ij} = a_ {ji} \) للجميع أنا و ي ؛ في مصفوفة غير متماثلة ، \ (a_ {ij} = - أ_ {ji} \) للجميع أنا و ي.
ما هي المصفوفة المتماثلة؟
المصفوفة المتماثلة هي حيث توجد مصفوفة مربعة \ (\ mathbf {a_ {ij} = a_ {ji}} \) لكل أنا وكل ي. هذا يعني ذاك \ (أ_ {12} = أ_ {21} ، أ_ {23} = أ_ {32} ، أ_ {13} = أ_ {13} \)، وما إلى ذلك ، لجميع القيم الممكنة لـ i و j. تذكر أن القيم المحتملة لـ i تتوافق مع صفوف المصفوفة والقيم المحتملة لـ j تتوافق مع أعمدة المصفوفة.
أمثلة على المصفوفات المتماثلة
\ (\ start {bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \ end {bmatrix} \)
, \ (\ start {bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \ end {bmatrix} \), \ (\ start {bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \ end {bmatrix} \)أمثلة على المصفوفات غير المتماثلة (ضع في الاعتبار \ (\ mathbf {b ≠ g} \))
\ (\ start {bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \ end {bmatrix} \), \ (\ start {bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \ end {bmatrix} \), \ (\ start {bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \ end {bmatrix} \)
مهم: إن القول بأن المصفوفة ليست متماثلة يعني إظهار ذلك \ (a_ {ij} ≠ a_ {ji} \) بالنسبة لبعض i و j على الأقل (والتي يمكننا رؤيتها بمقارنة الأمثلة السابقة). هذا يختلف عن مفهوم المصفوفة غير المتماثلة ، الذي سنراه لاحقًا.
ما هي خصائص المصفوفة المتماثلة؟
كل مصفوفة متماثلة مربعة
لاحظ أن تعريف المصفوفة المتماثلة يعتمد على المصفوفات المربعة. وبالتالي ، فإن كل مصفوفة متماثلة لها نفس عدد الصفوف مثل عدد الأعمدة.
كل مصفوفة متماثلة تساوي مدورها
إذا كانت A مصفوفة ، فهي منقول (\ (A ^ T \)) هي المصفوفة التي تكون صفوفها أعمدة A وأعمدتها هي صفوف A. لذا ، إذا كانت A مصفوفة متماثلة ، فلدينا \ (A = A ^ T \).
في المصفوفة المتماثلة ، "تنعكس" العناصر بالنسبة للقطر الرئيسي
مثل \ (a_ {ij} = a_ {ji} \) في المصفوفة المتماثلة ، العناصر الموجودة فوق القطر الرئيسي هي "انعكاسات" للعناصر أدناه للقطري (أو العكس) بالنسبة للقطر ، بحيث يعمل القطر الرئيسي كمحور تناظر.
ما الفرق بين المصفوفة المتماثلة والمصفوفة غير المتماثلة؟
إذا كانت A مصفوفة متماثلة ، إذن \ (a_ {ij} = a_ {ji} \) للجميع أنا وكل ي ، كما درسنا. في حالة المصفوفة غير المتماثلة ، يختلف الوضع. إذا كانت B مصفوفة غير متماثلة ، إذن \ (\ mathbf {b_ {ij} = - b_ {ji}} \) لكل أنا وكل ي.
لاحظ أن هذه النتائج في \ (ب_ {11} = ب_ {22} = ب_ {33} = ⋯ = ب_ {nn} = 0 \)، إنه، العناصر القطرية الرئيسية هي صفر. نتيجة لذلك أن تبديل المصفوفة غير المتماثلة يساوي عكسها ، أي إذا كانت B مصفوفة غير متماثلة ، إذن \ (B ^ T = -B \).
أمثلة على المصفوفات غير المتماثلة
\ (\ start {bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \ end {bmatrix} \), \ (\ start {bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \ end {bmatrix} \), \ (\ start {bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \ end {bmatrix} \)
نرى أيضا: مصفوفة الهوية - المصفوفة التي تكون فيها العناصر القطرية الرئيسية مساوية لـ 1 والعناصر المتبقية تساوي 0
تمارين حلها على مصفوفة متماثلة
السؤال رقم 1
(يونيسنترو)
إذا كانت المصفوفة \ (\ start {bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x + 5 \\ x & 7 & -1 \\ \ end {bmatrix} \) متماثل ، لذا فإن قيمة xy هي:
أ) 6
ب) 4
ج) 2
د) 1
هـ) -6
دقة:
البديل أ
إذا كانت المصفوفة المعطاة متماثلة ، فإن العناصر الموجودة في المواضع المتماثلة تكون متساوية (\ (a_ {ij} = a_ {ji} \)). لذلك علينا أن:
\ (س = ص - 1 \)
\ (س + 5 = 7 \)
استبدال الأول معادلة في الثانية ، نستنتج ذلك \ (ص = 3 \)، قريباً:
\ (س = 2 \) إنها \ (س ص = 6 \)
السؤال 2
(UFSM) مع العلم أن المصفوفة \ (\ begin {bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x ^ 2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \ end {bmatrix} \) يساوي منقولها ، قيمة \ (2 س + ص \) é:
أ) -23
ب) -11
ج) -1
د) 11
هـ) 23
دقة:
البديل ج
نظرًا لأن المصفوفة المعطاة تساوي مدورها ، فهي مصفوفة متماثلة. وبالتالي ، فإن العناصر الموجودة في المواضع المتماثلة متساوية (\ (a_ {ij} = a_ {ji} \))، أي:
\ (س ^ 2 = 36 \)
\ (4 ص = -7 \)
\ (- 30 = 5 س \)
بالمعادلة الأولى ، س = -6 أو س = 6. بالمعادلة الثالثة نحصل على الإجابة الصحيحة: س = -6. بالمعادلة الثانية ، ص = 11.
قريباً:
\ (2 س + ص = 2. (- 6) + 11 = -1 \)
بقلم ماريا لويزا ألفيس ريزو
مدرس رياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm