المصفوفة المتماثلة: ما هي ، أمثلة ، خصائص

مصفوفة متماثلة يكون مقر فيه كل عنصر \ (أ_ {ij} \) يساوي العنصر \ (a_ {ji} \) لجميع قيم i و j. وبالتالي ، فإن كل مصفوفة متماثلة تساوي مدورها. وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن كل مصفوفة متماثلة تكون مربعة وأن القطر الرئيسي يعمل كمحور تناظر.

اقرأ أيضا:الجمع والطرح المصفوفة - كيف تحسب؟

مواضيع هذا المقال

1 - ملخص عن المصفوفة المتماثلة
2 - ما هي المصفوفة المتماثلة؟
3 - ما هي خصائص المصفوفة المتماثلة؟
4 - ما هي الاختلافات بين المصفوفة المتماثلة والمصفوفة غير المتماثلة؟
5 - تمارين حلها على المصفوفة المتماثلة

ملخص عن المصفوفة المتماثلة

في مصفوفة متماثلة \ (a_ {ij} = a_ {ji} \) للجميع أنا و ي.
كل مصفوفة متماثلة مربعة.
كل مصفوفة متماثلة تساوي مدورها.
تكون عناصر المصفوفة المتماثلة متماثلة حول القطر الرئيسي.
بينما في المصفوفة المتماثلة \ (a_ {ij} = a_ {ji} \) للجميع أنا و ي ؛ في مصفوفة غير متماثلة ، \ (a_ {ij} = - أ_ {ji} \) للجميع أنا و ي.

ما هي المصفوفة المتماثلة؟

المصفوفة المتماثلة هي حيث توجد مصفوفة مربعة \ (\ mathbf {a_ {ij} = a_ {ji}} \) لكل أنا وكل ي. هذا يعني ذاك \ (أ_ {12} = أ_ {21} ، أ_ {23} = أ_ {32} ، أ_ {13} = أ_ {13} \)

instagram story viewer

، وما إلى ذلك ، لجميع القيم الممكنة لـ i و j. تذكر أن القيم المحتملة لـ i تتوافق مع صفوف المصفوفة والقيم المحتملة لـ j تتوافق مع أعمدة المصفوفة.

أمثلة على المصفوفات المتماثلة

\ (\ start {bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \ end {bmatrix} \), \ (\ start {bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \ end {bmatrix} \), \ (\ start {bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \ end {bmatrix} \)

أمثلة على المصفوفات غير المتماثلة (ضع في الاعتبار \ (\ mathbf {b ≠ g} \))

\ (\ start {bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \ end {bmatrix} \), \ (\ start {bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \ end {bmatrix} \), \ (\ start {bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \ end {bmatrix} \)

مهم: إن القول بأن المصفوفة ليست متماثلة يعني إظهار ذلك \ (a_ {ij} ≠ a_ {ji} \) بالنسبة لبعض i و j على الأقل (والتي يمكننا رؤيتها بمقارنة الأمثلة السابقة). هذا يختلف عن مفهوم المصفوفة غير المتماثلة ، الذي سنراه لاحقًا.

لا تتوقف الان... هناك المزيد بعد الدعاية ؛)

ما هي خصائص المصفوفة المتماثلة؟

كل مصفوفة متماثلة مربعة

لاحظ أن تعريف المصفوفة المتماثلة يعتمد على المصفوفات المربعة. وبالتالي ، فإن كل مصفوفة متماثلة لها نفس عدد الصفوف مثل عدد الأعمدة.

كل مصفوفة متماثلة تساوي مدورها

إذا كانت A مصفوفة ، فهي منقول (\ (A ^ T \)) هي المصفوفة التي تكون صفوفها أعمدة A وأعمدتها هي صفوف A. لذا ، إذا كانت A مصفوفة متماثلة ، فلدينا \ (A = A ^ T \).

في المصفوفة المتماثلة ، "تنعكس" العناصر بالنسبة للقطر الرئيسي

مثل \ (a_ {ij} = a_ {ji} \) في المصفوفة المتماثلة ، العناصر الموجودة فوق القطر الرئيسي هي "انعكاسات" للعناصر أدناه للقطري (أو العكس) بالنسبة للقطر ، بحيث يعمل القطر الرئيسي كمحور تناظر.

ما الفرق بين المصفوفة المتماثلة والمصفوفة غير المتماثلة؟

إذا كانت A مصفوفة متماثلة ، إذن \ (a_ {ij} = a_ {ji} \) للجميع أنا وكل ي ، كما درسنا. في حالة المصفوفة غير المتماثلة ، يختلف الوضع. إذا كانت B مصفوفة غير متماثلة ، إذن \ (\ mathbf {b_ {ij} = - b_ {ji}} \) لكل أنا وكل ي.

لاحظ أن هذه النتائج في \ (ب_ {11} = ب_ {22} = ب_ {33} = ⋯ = ب_ {nn} = 0 \)، إنه، العناصر القطرية الرئيسية هي صفر. نتيجة لذلك أن تبديل المصفوفة غير المتماثلة يساوي عكسها ، أي إذا كانت B مصفوفة غير متماثلة ، إذن \ (B ^ T = -B \).

أمثلة على المصفوفات غير المتماثلة

\ (\ start {bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \ end {bmatrix} \), \ (\ start {bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \ end {bmatrix} \), \ (\ start {bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \ end {bmatrix} \)

نرى أيضا: مصفوفة الهوية - المصفوفة التي تكون فيها العناصر القطرية الرئيسية مساوية لـ 1 والعناصر المتبقية تساوي 0

تمارين حلها على مصفوفة متماثلة

السؤال رقم 1

(يونيسنترو)

إذا كانت المصفوفة \ (\ start {bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x + 5 \\ x & 7 & -1 \\ \ end {bmatrix} \) متماثل ، لذا فإن قيمة xy هي:

أ) 6

ب) 4

ج) 2

د) 1

هـ) -6

دقة:

البديل أ

إذا كانت المصفوفة المعطاة متماثلة ، فإن العناصر الموجودة في المواضع المتماثلة تكون متساوية (\ (a_ {ij} = a_ {ji} \)). لذلك علينا أن:

\ (س = ص - 1 \)

\ (س + 5 = 7 \)

استبدال الأول معادلة في الثانية ، نستنتج ذلك \ (ص = 3 \)، قريباً:

\ (س = 2 \) إنها \ (س ص = 6 \)

السؤال 2

(UFSM) مع العلم أن المصفوفة \ (\ begin {bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x ^ 2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \ end {bmatrix} \) يساوي منقولها ، قيمة \ (2 س + ص \) é:

أ) -23

ب) -11

ج) -1

د) 11

هـ) 23

دقة:

البديل ج

نظرًا لأن المصفوفة المعطاة تساوي مدورها ، فهي مصفوفة متماثلة. وبالتالي ، فإن العناصر الموجودة في المواضع المتماثلة متساوية (\ (a_ {ij} = a_ {ji} \))، أي:

\ (س ^ 2 = 36 \)

\ (4 ص = -7 \)

\ (- 30 = 5 س \)

بالمعادلة الأولى ، س = -6 أو س = 6. بالمعادلة الثالثة نحصل على الإجابة الصحيحة: س = -6. بالمعادلة الثانية ، ص = 11.

قريباً:

\ (2 س + ص = 2. (- 6) + 11 = -1 \)

بقلم ماريا لويزا ألفيس ريزو
مدرس رياضيات

هل ترغب في الإشارة إلى هذا النص في مدرسة أو عمل أكاديمي؟ ينظر:

ريزو ، ماريا لويزا ألفيس. "مصفوفة متماثلة" ؛ مدرسة البرازيل. متوفر في: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm. تم الوصول إليه في 18 يوليو 2023.

افهم هنا تعريفات وتشكيلات بنية المصفوفة. انظر أيضًا إلى كيفية تشغيل عناصرها وأنواع المصفوفات المختلفة.

انقر هنا وتعرف على مصفوفة الوحدة ، العنصر المحايد لضرب المصفوفة. تعلم أيضًا كيفية بناء هذا النوع الخاص من المصفوفات.

افهم ما هي مدور المصفوفة. تعرف على خصائص منقول مصفوفة. تعرف على كيفية إيجاد المصفوفة المنقولة لمصفوفة معينة.

تعرف على ماهية التناظر واعرف أنواعه. انظر أيضا أمثلة وأهمية هذه الظاهرة.

المصفوفة ، نوع المصفوفات ، ترتيب المصفوفات ، مصفوفة الصف ، مصفوفة العمود ، المصفوفة الخالية ، المصفوفة مربع ، المصفوفة القطرية ، مصفوفة الهوية ، المصفوفة المقابلة ، المصفوفة ، المصفوفة المتساوية ، المساواة في المصفوفات.