مساحة المعين: كيفية الحساب ، الصيغة ، القطر

أ منطقة الماس هو قياس منطقته الداخلية. طريقة واحدة لحساب المنطقة من المعين هو تحديد نصف المنتج بين القطر الأكبر والقطري الأصغر ، اللذين يتم تمثيل قياساتهما بواسطة د إنها د على التوالى.

اقرأ أيضا: كيف تحسب مساحة المربع؟

مواضيع هذا المقال

• 1 - ملخص عن مساحة المعين
• 2 - عناصر المعين
• 3 - خواص قطري المعين
• 4 - صيغة لمنطقة المعين
• 5 - كيف تحسب مساحة المعين؟
• 6 - تمارين على منطقة المعين

ملخص حول منطقة المعين

• المعين هو متوازي أضلاع له أربعة جوانب متطابقة وزوايا متقابلة متطابقة.

• يُعرف قطري المعين بالقطر الأكبر (د) وقطري أصغر (د).

• كل قطري من المعين يقسم ذلك المضلع إلى مثلثين متطابقين.

• قطري المعين متعامدين ويتقاطعان عند نقاط المنتصف.

• صيغة حساب مساحة المعين هي:

\ (A = \ frac {D \ times d} {2} \)

لا تتوقف الان... هناك المزيد بعد الدعاية ؛)

عناصر المعين

الألماس متوازي الأضلاع التي شكلتها أربعة أضلاع متساوية الطول وزوايا متقابلة من نفس المقياس. في الماس أدناه ، لدينا \ (\ overline {PQ} = \ overline {QR} = \ overline {RS} = \ overline {SP} \), \ (\ hat {P} = \ hat {R} \) إنها \ (\ hat {Q} = \ hat {S} \).

الأجزاء ذات النهايات عند الرؤوس المعاكسة هي قطري المعين. في الصورة أدناه نسمي المقطع 

\ (\ overline {PR} \) في قطري أكبر والجزء \ (\ overline {QS} \) في قطري أصغر.

الخصائص القطرية للمعين

دعنا نعرف خاصيتين مرتبطتين بأقطار المعين.

• خاصية 1: يقسم كل قطري المعين إلى مثلثين متطابقين متساوي الساقين.

 فكر أولاً في القطر الأكبر \ (\ overline {PR} \) من المعين PQRS بجانب ل.

أدرك ذلك \ (\ overline {PR} \) قسّم المعين إلى مثلثين: PQR إنها PSR. حتى الآن:

\ (\ overline {PQ} = \ overline {PS} = l \)

\ (\ overline {QR} = \ overline {SR} = l \)

\ (\ overline {PR} \) إنه جانب مشترك.

وهكذا ، وفقًا لمعيار LLL ، المثلثات PQR إنها PSR متطابقة.

فكر الآن في القطر الأصغر \ (\ overline {QS} \).

أدرك ذلك \ (\ overline {QS} \) قسّم المعين إلى مثلثين: PQS إنها RQS. حتى الآن:

\ (\ overline {PQ} = \ overline {RQ} = l \)

\ (\ overline {PS} = \ overline {RS} = l \)

\ (\ overline {QS} \) إنه جانب مشترك.

وهكذا ، وفقًا لمعيار LLL ، المثلثات PQS إنها RQS متطابقة.

• الخاصية 2: أقطار المعين متعامدة وتتقاطع عند نقطة منتصف بعضها البعض.

الزاوية التي شكلتها الأقطار \ (\ overline {PR} \) إنها \ (\ overline {QS} \) يقيس 90 درجة.

إنهاا نقطة التقاء الأقطار \ (\ overline {{PR}} \) إنها \ (\ overline {{QS}} \); مثله، ا هي نقطة المنتصف \ (\ overline {PR} \) وهي أيضًا نقطة المنتصف لـ \ (\ overline {QS} \). لو \ (\ overline {PR} \)أعطني د إنها \ (\ overline {QS} \) أعطني د، هذا يعني ذاك:

\ (\ overline {PO} = \ overline {OR} = \ frac {D} {2} \)

\ (\ overline {QO} = \ overline {OS} = \ frac {d} {2} \)

ملاحظة: قطري المعين يقسمان هذا الشكل إلى أربعة مثلثات قائمة متطابقة. تأمل المثلثات PQO, RQO, PSO إنها RSO. لاحظ أن لكل منها جانب قياس. ل (الوتر) قياس \ (\ frac {D} {2} \) وتدبير آخر \ (\ فارك {د} {2} \).

نرى أيضا: المقارنة والتشابه بين المثلثات

صيغة منطقة المعين

إنها د طول أكبر قطري و د قياس القطر الأصغر للمعين ؛ صيغة مساحة المعين هي:

\ (A = \ frac {D \ times d} {2} \)

يوجد أدناه عرض لهذه الصيغة.

وفقًا للخاصية الأولى التي درسناها في هذا النص ، القطر \ (\ overline {QS} \) قسّم الماس PQRS إلى مثلثين متطابقين (PQS إنها RQS). هذا يعني أن هذين المثلثين لهما نفس المساحة. بالتالي، مساحة المعين هي ضعف مساحة أحد هذين المثلثين.

\ (A _ {\ mathrm {Diamond}} = 2 \ times A_ {triangle} PQS \)

وفقًا للخاصية الثانية التي درسناها ، قاعدة المثلث PQS أعطني د ومقاييس الارتفاع د2. تذكر أنه يمكن حساب مساحة المثلث بالقاعدة × الارتفاع2. قريباً:

\ (A _ {\ mathrm {Diamond}} = 2 \ times A_ {triangle} PQS \)

\ (A _ {\ mathrm {diamond}} = 2 \ times \ left (\ frac {d \ times \ frac {D} {2}} {2} \ right) \)

\ (A _ {\ mathrm {diamond}} = 2 \ times \ left (\ frac {d \ times \ frac {D} {2}} {2} \ right) \)

\ (A _ {\ mathrm {Diamond}} = \ frac {D \ times d} {2} \)

كيف تحسب مساحة المعين؟

كما رأينا ، إذا تم الإبلاغ عن مقاييس الأقطار ، فهذا يكفي قم بتطبيق الصيغة لحساب مساحة المعين:

\ (A = \ frac {D \ times d} {2} \)

خلاف ذلك ، نحتاج إلى اعتماد استراتيجيات أخرى ، على سبيل المثال ، مع مراعاة خصائص هذا المضلع.

مثال 1: ما مساحة المعين الذي يبلغ قياس قطريه 2 سم و 3 سم؟

بتطبيق الصيغة ، لدينا:

\ (A _ {\ mathrm {Diamond}} = \ frac {D \ times d} {2} \)

\ (A _ {\ mathrm {diamond}} = \ frac {3 \ times2} {2} \)

\ (A _ {\ mathrm {diamond}} = 3 سم² \)

المثال الثاني: ما مساحة المعين الذي يقيس ضلعه وقطره الأصغر حجمًا على التوالي ، 13 سم و 4 سم؟

من خلال مراقبة الخاصية 2 ، تقسم أقطار المعين هذا المضلع إلى أربعة مثلثات قائمة تتطابق. كل مثلث قائم الزاوية له أرجل قياس \ (\ فارك {د} {2} \) إنها \ (\ frac {D} {2} \) وقياس الوتر ل. بواسطة نظرية فيثاغورس:

\ (l ^ 2 = \ left (\ frac {d} {2} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {D} {2} \ right) ^ 2 \)

استبدال \ (د = 4 سم \) إنها د = 4 سم ، علينا

\ (\ left (\ sqrt {13} \ right) ^ 2 = \ left (\ frac {4} {2} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {D} {2} \ right) ^ 2 \ )

\ (13 = 4 + \ فارك {D ^ 2} {4} \)

\ (د ^ 2 = 36 \)

مثل د هو مقياس قطعة ، يمكننا فقط النظر في النتيجة الإيجابية. أي:

د = 6

بتطبيق الصيغة ، لدينا:

\ (A _ {\ mathrm {Diamond}} = \ frac {D \ times d} {2} \)

\ (A _ {\ mathrm {diamond}} = \ frac {6 \ times4} {2} \)

\ (A _ {\ mathrm {diamond}} = \ 12 cm² \)

تعرف أكثر: تستخدم الصيغ لحساب مساحة الأشكال المستوية

تمارين في منطقة المعين

السؤال رقم 1

(فاول) في المعين ، قياس الأقطار 13 و 16 سم. ما هو قياس منطقتك؟

أ) 52 سم²

ب) 58 سم²

ج) 104 سم²

د) 208 سم²

هـ) 580 سم²

دقة: البديل ج

بتطبيق الصيغة ، لدينا:

\ (A _ {\ mathrm {Diamond}} = \ frac {D \ times d} {2} \)

\ (A _ {\ mathrm {diamond}} = \ frac {16 \ times13} {2} \)

\ (A _ {\ mathrm {diamond}} = \ 104 سم² \)

السؤال 2

(فيبيز) ينتج المصنع قطعًا خزفية على شكل ماسة ، يبلغ قطرها الأصغر ربع القطر الأكبر والقطري الأكبر يبلغ 84 سم.

وعليه فإن مساحة كل قطعة سيراميك ينتجها هذا المصنع بالمتر المربع هي:

أ) أكبر من 0.5.

ب) أكبر من 0.2 وأقل من 0.5.

ج) أكبر من 0.09 وأقل من 0.2.

د) أكبر من 0.07 وأقل من 0.09.

هـ) أقل من 0.07.

دقة: البديل د

لو د هو أكبر قطري و د هو القطر الأصغر ، إذن:

\ (د = \ فارك {1} {4} د \)

\ (د = \ فارك {1} {4} \ cdot84 \)

\ (د = 21 سم \)

بتطبيق الصيغة ، لدينا

\ (A _ {\ mathrm {Diamond}} = \ frac {D \ times d} {2} \)

\ (A _ {\ mathrm {diamond}} = \ frac {84 \ times21} {2} \)

\ (A _ {\ mathrm {diamond}} = 882 سم² \)

1 سم² يتوافق مع \ (1 \ cdot {10} ^ {- 4} متر مربع \)، ثم:

\ (\ frac {1 \ cm ^ 2} {882 \ cm ^ 2} = \ frac {1 \ cdot {10} ^ {- 4} \ m ^ 2} {x} \)

\ (س = 0.0882 م² \)

بقلم ماريا لويزا ألفيس ريزو
مدرس رياضيات

هل ترغب في الإشارة إلى هذا النص في مدرسة أو عمل أكاديمي؟ ينظر:

ريزو ، ماريا لويزا ألفيس. "منطقة المعين" ؛ مدرسة البرازيل. متوفر في: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-do-losango.htm. تم الوصول إليه في 12 مايو 2023.

تعرف على تعريف متوازي الأضلاع وخصائصه ، وكذلك تعرف على متوازيات الأضلاع الرئيسية وصيغها للمنطقة والمحيط.

تعرف على ما هي المضلعات وما هي عناصرها. تعرف على طريقة تسمية المضلعات وكيف نضيف الزوايا الداخلية والخارجية.

تعرف على الأشكال الرباعية والخصائص الأساسية التي تؤدي إلى تصنيفها على أنها متوازي أضلاع أو شبه منحرف أو لا شيء.

تحقق من الحالات التي يمكن فيها التحقق من تشابه المثلثات دون الحاجة إلى قياس جميع جوانبها وزواياها.

تعتبر نظرية فيثاغورس من أهم الأدوات في دراسة المثلثات. انقر هنا ، وتعرف على صيغتها واكتشف كيفية تطبيقها!

افهم ما هو المثلث وتعلم أيضًا كيفية حساب مساحته ومحيطه. انظر أيضًا إلى أنواع هذا الشكل وتعلم كيفية التعرف على كل واحد منهم.

تعلم كيفية حساب مساحة الشكل المستوي. تعرف على صيغ المساحة للأشكال المسطحة الرئيسية ، مثل المربع والمستطيل والمثلث والدائرة والمعين والأرجوحة.

انقر هنا ، وتعرف على كيفية حساب مساحة المثلث ومعرفة الصيغ المحددة لإجراء هذا الحساب وفقًا لكل حالة.