الانحراف المعياري: ما هو ، كيف نحسبه ، أمثلة

ا الانحراف المعياري هو مقياس للتشتت ، وكذلك التباين ومعامل الاختلاف. عند تحديد الانحراف المعياري ، يمكننا إنشاء نطاق حول المتوسط ​​الحسابي (القسمة بين مجموع الأرقام في قائمة وعدد الأرقام المضافة) حيث تتركز معظم البيانات. كلما زادت قيمة الانحراف المعياري ، زاد تباين البيانات ، أي زاد الانحراف عن الوسط الحسابي.

اقرأ أيضا: الوضع والمتوسط ​​والوسيط - المقاييس الرئيسية للاتجاهات المركزية

ملخص الانحراف المعياري

• الانحراف المعياري هو مقياس للتغير.
• تدوين الانحراف المعياري هو الحرف اليوناني الصغير سيجما (σ) أو الحرف s.
• يستخدم الانحراف المعياري للتحقق من تنوع البيانات حول المتوسط.
• يحدد الانحراف المعياري النطاق \ (\ يسار [\ مو- \ سيجما ، \ مو + \ سيغما \ يمين] \)، حيث توجد معظم البيانات.
• لحساب الانحراف المعياري ، علينا إيجاد الجذر التربيعي للتباين:

\ (\ sigma = \ sqrt {\ frac {\ sum_ {i = 1} ^ {N} \ left (x_i- \ mu \ right) ^ 2} {N}} \)

ما هو الانحراف المعياري؟

الانحراف المعياري هو أ مقياس التشتت المعتمد في الإحصاء. يرتبط استخدامه بـ تفسير التباين، وهو أيضًا مقياس للتشتت.

في الممارسة العملية ، الانحراف المعياري

يحدد فترة ، تتمحور حول الوسط الحسابي ، حيث تتركز معظم البيانات. وبالتالي ، كلما زادت قيمة الانحراف المعياري ، زاد عدم انتظام البيانات (مزيد من المعلومات غير متجانسة) ، وكلما صغرت قيمة الانحراف المعياري ، قل عدم انتظام البيانات (مزيد من المعلومات متجانس).

كيف تحسب الانحراف المعياري؟

لحساب الانحراف المعياري لمجموعة البيانات ، يجب أن نجد الجذر التربيعي للتباين. إذن ، صيغة حساب الانحراف المعياري هي

\ (\ sigma = \ sqrt {\ frac {\ sum_ {i = 1} ^ {N} \ left (x_i- \ mu \ right) ^ 2} {N}} \)

• \ (x_1 ، x_2 ، x_3 ، \ ldots ، x_N \) → البيانات المعنية.
• μ → الوسط الحسابي للبيانات.
• N → كمية البيانات.
• \ (\ sum_ {i = 1} ^ {N} \ left (x_i- \ mu \ right) ^ 2 \ = \ \ left (x_1- \ mu \ right) ^ 2 + \ left (x_2- \ mu \ right) ) ^ 2 + \ يسار (x_3- \ mu \ right) ^ 2 +... + \ left (x_N- \ mu \ right) ^ 2 \)

يشير العنصر الأخير ، الذي يشير إلى بسط الجذر ، إلى مجموع مربعات الفرق بين كل نقطة بيانات والمتوسط ​​الحسابي. يرجى ملاحظة ذلك وحدة قياس الانحراف المعياري هي نفس وحدة القياس مثل البيانات x₁,x₂,x₃,…,x_لا.

على الرغم من أن كتابة هذه الصيغة معقدة بعض الشيء ، إلا أن تطبيقها أبسط وأكثر مباشرة. يوجد أدناه مثال على كيفية استخدام هذا التعبير لحساب الانحراف المعياري.

• مثال:

لمدة أسبوعين ، تم تسجيل درجات الحرارة التالية في مدينة:

أسبوع / يوم	الأحد	ثانية	ثالث	الرابعة	الخامس	جمعة	السبت
الأسبوع 1	29 درجة مئوية	30 درجة مئوية	31 درجة مئوية	31.5 درجة مئوية	28 درجة مئوية	28.5 درجة مئوية	29 درجة مئوية
الأسبوع 2	28.5 درجة مئوية	27 درجة مئوية	28 درجة مئوية	29 درجة مئوية	30 درجة مئوية	28 درجة مئوية	29 درجة مئوية

في أي الأسبوعين كانت درجة الحرارة أكثر انتظامًا في هذه المدينة؟

دقة:

لتحليل انتظام درجة الحرارة ، يجب أن نقارن الانحرافات المعيارية لدرجات الحرارة المسجلة في الأسبوعين 1 و 2.

• لنلق نظرة أولاً على الانحراف المعياري للأسبوع 1:

لاحظ أن المتوسط μ₁ إنها لا₁ هم

\ (\ mu_1 = \ frac {29 + 30 + 31 + 31.5 + 28 + 28.5 + 29} {7} \ حوالي 29.57 \)

\ (N_1 = 7 \) (7 أيام في الأسبوع)

نحتاج أيضًا إلى حساب مربع الفرق بين كل درجة حرارة ومتوسط ​​درجة الحرارة.

\ (\ يسار (29-29.57 \ يمين) ^ 2 = 0.3249 \)

\ (\ يسار (30-29.57 \ يمين) ^ 2 = 0.1849 \)

\ (\ يسار (31-29.57 \ يمين) ^ 2 = 2.0449 \)

\ (\ يسار (31.5-29.57 \ يمين) ^ 2 = 3.7249 \)

\ (\ يسار (28-29.57 \ يمين) ^ 2 = 2.4649 \)

\ (\ يسار (28.5-29.57 \ يمين) ^ 2 = 1.1449 \)

\ (\ يسار (29-29.57 \ يمين) ^ 2 = 0.3249 \)

بجمع النتائج ، يكون بسط الجذر في معادلة الانحراف المعياري هو

\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)

إذن ، الانحراف المعياري الأسبوع 1 هو

\ (\ sigma_1 = \ sqrt {\ frac {\ sum_ {i = 1} ^ {7} \ left (x_i- \ mu_1 \ right) ^ 2} {N_1}} = \ sqrt {\ frac {10،2143} {7}} \ \ almost1.208 \ ° C \)

ملاحظة: تعني هذه النتيجة أن معظم درجات حرارة الأسبوع الأول تقع في الفترة [28.36 درجة مئوية ، 30.77 درجة مئوية] ، أي الفترة \ (\ يسار [\ mu_1- \ sigma_1 ، \ mu_1 + \ sigma_1 \ يمين] \).

• الآن دعونا نلقي نظرة على الانحراف المعياري الأسبوع 2:

باتباع نفس المنطق ، لدينا

\ (\ mu_2 = \ frac {28.5 + 27 + 28 + 29 + 30 + 28 + 29} {7} = 28.5 \)

\ (N_2 = 7 \)

\ (\ يسار (28.5-28.5 \ يمين) ^ 2 = 0 \)

\ (\ يسار (27-28.5 \ يمين) ^ 2 = 2.25 \)

\ (\ يسار (28-28.5 \ يمين) ^ 2 = 0.25 \)

\ (\ يسار (29-28.5 \ يمين) ^ 2 = 0.25 \)

\ (\ يسار (30-28.5 \ يمين) ^ 2 = 2.25 \)

\ (\ يسار (28-28.5 \ يمين) ^ 2 = 0.25 \)

\ (\ يسار (29-28.5 \ يمين) ^ 2 = 0.25 \)

\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)

إذن الانحراف المعياري الأسبوع 2 هو

\ (\ sigma_2 = \ sqrt {\ frac {\ sum_ {i = 1} ^ {7} \ left (x_i- \ mu_1 \ right) ^ 2} {N_2}} = \ sqrt {\ frac {5،5} {7}} \ \ حوالي 0.89 \ درجة مئوية \)

هذه النتيجة تعني أن معظم درجات الحرارة في الأسبوع الثاني تقع في النطاق \ (\ اليسار [\ mu_2- \ sigma_2 ، \ mu_2 + \ sigma_2 \ right] \)، هذا هو النطاق \ (\ اليسار [\ mu_2- \ sigma_2 ، \ mu_2 + \ sigma_2 \ right] \).

أدرك ذلك \ (\ سيجما_2 ، أي أن الانحراف المعياري الأسبوع 2 أقل من الانحراف المعياري الأسبوع 1. لذلك ، قدم الأسبوع الثاني درجات حرارة منتظمة أكثر من الأسبوع الأول.

ما هي أنواع الانحراف المعياري؟

ترتبط أنواع الانحراف المعياري بنوع تنظيم البيانات. في المثال السابق ، عملنا مع الانحراف المعياري للبيانات غير المبوبة. لحساب الانحراف المعياري لمجموعة من البيانات المنظمة بطريقة أخرى (البيانات المجمعة ، على سبيل المثال) ، ستحتاج إلى ضبط الصيغة.

ما الفرق بين الانحراف المعياري والتباين؟

الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي من التباين:

\ (\ sigma = \ sqrt {\ frac {\ sum_ {i = 1} ^ {N} \ left (x_i- \ mu \ right) ^ 2} {N}} \)

\ (V = \ frac {\ sum_ {i = 1} ^ {N} \ left (x_i- \ mu \ right) ^ 2} {N} \)

عند استخدام التباين لتحديد تباين مجموعة بيانات ، فإن النتيجة تحتوي على وحدة البيانات في التربيع ، مما يجعل تحليلها صعبًا. وبالتالي ، فإن الانحراف المعياري ، الذي له نفس وحدة البيانات ، هو أداة ممكنة لتفسير نتيجة التباين.

تعرف أكثر:التردد المطلق - عدد المرات التي ظهرت فيها نفس الاستجابة أثناء جمع البيانات

تمارين حلها على الانحراف المعياري

السؤال رقم 1

(FGV) في فصل من 10 طلاب ، كانت درجات الطلاب في التقييم كما يلي:

6

7

7

8

8

8

8

9

9

10

الانحراف المعياري لهذه القائمة تقريبًا

أ) 0.8.

ب) 0.9.

ج) 1.1.

د) 1.3.

هـ) 1.5.

دقة:

البديل C.

وبحسب البيان ، N = 10. متوسط ​​هذه القائمة هو

\ (\ mu = \ frac {6 + 7 + 7 + 8 + 8 + 8 + 8 + 9 + 9 + 10} {10} = 8 \)

بالإضافة إلى،

\ (\ يسار (6-8 \ يمين) ^ 2 = 4 \)

\ (\ يسار (7-8 \ يمين) ^ 2 = 1 \)

\ (\ يسار (8-8 \ يمين) ^ 2 = 0 \)

\ (\ يسار (9-8 \ يمين) ^ 2 = 1 \)

\ (\ يسار (10-8 \ يمين) ^ 2 = 4 \)

\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)

لذا فإن الانحراف المعياري لهذه القائمة هو

\ (\ sigma = \ sqrt {\ frac {\ sum_ {i = 1} ^ {10} \ left (x_i-8 \ right) ^ 2} {10}} = \ sqrt {\ frac {12} {10} } \ حوالي 1.1 \)

السؤال 2

ضع في اعتبارك العبارات أدناه وصنف كل منها على أنها T (صواب) أو F (خطأ).

أنا. الجذر التربيعي للتباين هو الانحراف المعياري.

ثانيًا. لا علاقة للانحراف المعياري بالمتوسط ​​الحسابي.

ثالثا. يعد التباين والانحراف المعياري أمثلة على مقاييس التشتت.

الترتيب الصحيح ، من أعلى إلى أسفل ، هو

أ) V-V-F

ب) F-F-V

ج) F-V-F

د) F-F-F

ه) V-F-V

دقة:

البديل ه.

أنا. الجذر التربيعي للتباين هو الانحراف المعياري. (حقيقي)

ثانيًا. لا علاقة للانحراف المعياري بالمتوسط ​​الحسابي. (خطأ شنيع)
يشير الانحراف المعياري إلى فاصل زمني حول المتوسط ​​الحسابي يقع فيه معظم البيانات.

ثالثا. يعد التباين والانحراف المعياري أمثلة على مقاييس التشتت. (حقيقي)

بقلم ماريا لويزا ألفيس ريزو
مدرس رياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/desvio-padrao.htm