معادلة الدرجة الأولى: ما هي وكيف تحسب

ال معادلة الدرجة الأولى هي معادلة لا تعرف الدرجة 1. المعادلات عبارة عن جمل رياضية بها مجاهيل ، وهي أحرف تمثل قيمًا غير معروفة ، والمساواة. الجملة الرياضية لمعادلة الدرجة الأولى هي الx + ب = 0 أين ال و ب هي أرقام حقيقية ، و ال يختلف عن 0. الغرض من كتابة معادلة من الدرجة الأولى هو إيجاد قيمة المجهول التي تحقق المعادلة. تُعرف هذه القيمة بالحل أو جذر المعادلة.

اقرأ أيضا: المعادلة الأسية - المعادلة التي تحتوي على واحد على الأقل غير معروف في أحد الأسس

مواضيع في هذا المقال

• 1 - ملخص معادلة الدرجة الأولى
• 2 - ما هي معادلة الدرجة الأولى؟
• 3 - كيف تحسب معادلة الدرجة الأولى؟
  • → معادلة من الدرجة الأولى مع مجهول
  • ? معادلة من الدرجة الأولى مع مجهولين
• 4 - معادلة الدرجة الأولى في العدو
• 5 - تمارين حلها على معادلة الدرجة الأولى

ملخص معادلة الدرجة الأولى

• معادلة الدرجة الأولى هي جملة رياضية بها درجة واحدة غير معروفة.

• معادلة الدرجة الأولى مع مجهول لها حل فريد.

• الجملة الرياضية التي تصف معادلة الدرجة الأولى مع مجهول واحد هي الx + ب = 0.

• لحل معادلة من الدرجة الأولى مع غير معروف ، نقوم بإجراء عمليات على جانبي المساواة ، من أجل عزل المجهول وإيجاد قيمته.

• معادلة الدرجة الأولى مع مجهولين لها حلول لا نهائية.

• الجملة الرياضية التي تصف معادلة الدرجة الأولى مع مجهولين هي الx + بص + ج = 0

• معادلة الدرجة الأولى هي مصطلح متكرر في Enem ، والذي يأتي عادةً مع أسئلة تتطلب تفسير النص وتجميع المعادلة قبل حلها.

ما هي معادلة الدرجة الأولى؟

المعادلة هي جملة رياضية لها مساواة وواحد أو أكثر من المجهول.. المجهول قيم غير معروفة ، ونستخدم الحروف ، مثل x ، y ، z ، لتمثيلها.

ما يحدد درجة المعادلة هو أس المجهول. هكذا، عندما يكون لأس المجهول الدرجة 1 ، يكون لدينا معادلة من الدرجة الأولى. انظر الأمثلة أدناه:

• 2 س + 5 = 9 (معادلة من الدرجة الأولى مع واحد غير معروف ، س)

• ص - 3 = 0 (معادلة من الدرجة الأولى مع واحد غير معروف ، ص)

• 5 س + 3 ص - 3 = 0 (معادلة من الدرجة الأولى مع مجهولين ، س وص)

لا تتوقف الان... هناك المزيد بعد الإعلان ؛)

كيف تحسب معادلة الدرجة الأولى؟

نحن نمثل حالة معينة كمعادلة عندما نهدف إلى ذلك أوجد القيم التي يمكن أن يأخذها المجهول والتي تجعل المعادلة صحيحة، أي إيجاد الحلول أو حل المعادلة. دعونا نرى أدناه كيفية إيجاد حل معادلة من الدرجة الأولى مع وجود واحد غير معروف وحلول معادلة من الدرجة الأولى ذات مجهولين.

→ معادلة من الدرجة الأولى مع واحدة غير معروفة

ال معادلة من الدرجة الأولى مع واحدة غير معروفة هي معادلة النوع:

\ (فأس + ب = 0 \)

في تلك الجملة ، ال و ب هي أرقام حقيقية. نستخدم رمز المساواة كمرجع. قبلها لدينا العضو الأول في المعادلة وبعد علامة المساواة لدينا العضو الثاني في المعادلة.

لإيجاد حل هذه المعادلة ، نسعى إلى عزل المتغير x. دعونا نطرح ب على جانبي المعادلة:

\ (فأس + ب-ب = 0-ب \ \)

\ (الفأس = - \ ب \)

الآن سوف نقسم على ال على كلا الجانبين:

\ (\ frac {ax} {a} = \ frac {-b} {a} \)

\ (x = \ frac {-b} {a} \)

مهم:غالبًا ما توصف عملية تنفيذ إجراء ما على جانبي المعادلة بأنها "تمرير إلى الجانب الآخر" أو "تمرير إلى الجانب الآخر لإجراء العملية العكسية".

• مثال 1:

أوجد حل المعادلة:

2 س - 6 = 0

القرار:

لعزل المتغير x ، دعنا نضيف 6 إلى كلا طرفي المعادلة:

\ (2 س -6 + 6 \ = 0 + 6 \)

\ (2 س = 6 \)

الآن ، سوف نقسم على 2 من كلا الجانبين:

\ (\ frac {2x} {2} = \ frac {6} {2} \)

\ (س = 3 \ \)

نجد كحل للمعادلة س = 3. هذا يعني أننا إذا عوضنا بـ 3 بدلاً من x ، فستكون المعادلة صحيحة:

\ (2 \ cdot3-6 = 0 \)

\(6-6=0\ \)

\(0=0\)

• المثال 2:

يمكننا حل المعادلة بشكل مباشر أكثر باستخدام الطريقة العملية:

\ (5 س + 1 = - \ 9 \)

أولاً ، دعنا نحدد ما هو العضو الأول في المعادلة وما هو العضو الثاني في المعادلة:

لإيجاد حل المعادلة ، سنعزل المجهول في العضو الأول من المعادلة. لهذا ، سيتم تمرير ما هو غير معروف إلى العضو الثاني الذي يقوم بالعملية العكسية ، بدءًا من + 1. أثناء الإضافة ، سيتم تمريره إلى العضو الثاني عن طريق طرح:

\ (5 س + 1 = - \ 9 \ \)

\ (5 س = - \ 9-1 \ \)

\ (5 س = - \ 10 \)

نريد قيمة x ، لكننا نجد قيمة 5x. نظرًا لأن الرقم 5 يضرب x ، فسيتم تمريره إلى الجانب الأيمن عن طريق إجراء العملية العكسية لـ عمليه الضرب، أي التقسيم.

\ (5 س = - \ 10 \)

\ (س = \ فارك {-10} {5} \)

\ (س = - \ 2 \)

حل هذه المعادلة هو x = - 2.

• المثال 3:

حل المعادلة:

\ (5 س + 4 = 2 س -6 \)

لحل هذه المعادلة ، سنضع في البداية المصطلحات التي لها مجهول في العضو الأول ، والمصطلحات التي ليس لها مجهول في العضو الثاني. للقيام بذلك ، دعنا نتعرف عليهم:

\ ({\ color {red} 5} {\ color {red} x} + 4 = {\ color {red} 2} {\ color {red} x} \ - \ 6 \)

باللون الأحمر المصطلحات التي لها عدد غير معروف ، 5x و 2x ، وبالأسود ، المصطلحات التي ليس لها مجهول. بما أن + 4 لا يوجد مجهول ، فلنمرره إلى العضو الثاني عن طريق الطرح.

\ (\ color {red} {5x} = \ color {red} {2x} -6-4 \)

لاحظ أن 2x له مجهول ، لكنه موجود في العضو الثاني. سنمررها للعضو الأول ، مطروحًا منه 5x:

\ ({\ color {red} {5x} - \ color {red} {2x} = - 6-4} \)

\ (3 س = - 10 \)

الآن ، بعد التقسيم 3 ، لدينا ما يلي:

\ (س = - \ فارك {10} {3} \)

مهم: يمكن أن يكون حل المعادلة كسرًا ، كما في المثال أعلاه.

◆ درس فيديو عن معادلة من الدرجة الأولى مجهولة

➝ معادلة من الدرجة الأولى مع مجهولين

عندما تكون هناك معادلة من الدرجة الأولى بها مجهولين ، فلا يوجد حل واحد ، بل بالأحرى حلول لا نهائية. معادلة الدرجة الأولى مع مجهولين هي معادلة من النوع:

\ (فأس + ب + ج = 0 \)

للعثور على بعض الحلول اللانهائية للمعادلة ، نقوم بتعيين قيمة لأحد متغيراتها وإيجاد قيمة المتغير الآخر.

• مثال:

ابحث عن 3 حلول ممكنة للمعادلة:

\ (2 س + ص + 3 = 0 \)

القرار:

لإيجاد 3 حلول ، سنختار بعض قيم المتغير x ، بدءًا من x = 1:

\ (2 \ cdot1 + ص + 3 = 0 \)

\ (2 + ص + 3 = 0 \)

\ (ص + 5 = 0 \)

بعزل y في العضو الأول ، لدينا ما يلي:

\ (ص = 0-5 \)

\ (ص = - \ 5 \)

إذن ، الحل المحتمل للمعادلة هو x = 1 و y = - 5.

لإيجاد حل آخر للمعادلة ، دعنا نخصص قيمة جديدة لأي من المتغيرات. سنفعل y = 1.

\ (2 س + 1 + 3 = 0 \)

\ (2 س + 4 = 0 \)

عزل x:

\ (2 س = - \ 4 \ \)

\ (س = \ فارك {-4} {2} \)

\ (س = - \ 2 \)

الحل الثاني لهذه المعادلة هو x = - 2 و y = 1.

أخيرًا ، للعثور على حل ثالث ، سنختار قيمة جديدة لأحد المتغيرات الخاصة بك. سنفعل x = 0.

\ (2 \ cdot0 + ص + 3 = 0 \)

\ (0 + ص + 3 = 0 \)

\ (ص + 3 = 0 \)

\ (ص = 0-3 \)

\ (ص = - \ 3 \ \)

الحل الثالث هو x = 0 و y = -3.

يمكننا تمثيل هذه الحلول الثلاثة كأزواج مرتبة ، بالصيغة (x ، y). الحلول التي تم العثور عليها للمعادلة هي:

\ (\ يسار (1 ، -5 \ يمين) ؛ \ \ يسار (-2 ، \ 1 \ يمين) ؛ \ يسار (0 ، -3 \ يمين) \)

مهم: نظرًا لأن هذه المعادلة بها مجهولين ، فلدينا حلول لا نهائية. تم اختيار قيم المتغيرات عشوائيًا ، لذلك يمكننا تعيين قيم مختلفة تمامًا للمتغيرات وإيجاد ثلاثة حلول أخرى للمعادلة.

تعرف أكثر: معادلة الدرجة الثانية - كيف تحسب؟

معادلة الدرجة الأولى في العدو

تتطلب الأسئلة التي تتضمن معادلات من الدرجة الأولى في Enem أن يكون المرشح قادرًا على ذلك تحويل المواقف المشكلة إلى معادلة، باستخدام بيانات الكلام. من أجل الوضوح ، انظر مجال الرياضيات 5 الكفاءة.

• اختصاص المجال 5: نمذجة وحل المشكلات التي تنطوي على متغيرات اجتماعية اقتصادية أو تقنية علمية باستخدام التمثيلات الجبرية.

لاحظ إذن أنه في Enem ، من المتوقع أن يتمكن المرشح من صياغة مواقف مشكلة في حياتنا اليومية وحلها باستخدام معادلة. ضمن هذه الكفاءة ، هناك نوعان من المهارات المحددة التي تنطوي على المعادلات التي يسعى Enem إلى تقييمها: المهارة 19 والمهارة 21.

• H19: تحديد التمثيلات الجبرية التي تعبر عن العلاقة بين الكميات.

• H21: حل مشكلة تتضمن نمذجة معرفة جبرية.

لذلك ، إذا كنت تدرس لحساب العدو ، فبالإضافة إلى إتقان حل معادلات الدرجة الأولى ، من المهم أن تتدرب على تفسير المشكلات التي تتضمن المعادلات ، لأن تطوير القدرة على نمذجة مواقف المشكلة عن طريق كتابتها كمعادلة ، بالنسبة للعدو ، لا يقل أهمية عن القدرة على حل معادلة.

تمارين حلها على معادلة الدرجة الأولى

السؤال رقم 1

(Enem 2012) تمثل منحنيات العرض والطلب للمنتج ، على التوالي ، الكميات التي يرغب البائعون والمستهلكون في بيعها اعتمادًا على سعر المنتج. في بعض الحالات ، يمكن تمثيل هذه المنحنيات بخطوط مستقيمة. افترض أن كميات العرض والطلب لمنتج ما ، على التوالي ، ممثلة بالمعادلات:

س_ا = -20 + 4 ص

س_د = 46 - 2P

فيها س_ا هي كمية العرض ، س_د هي الكمية المطلوبة و P هو سعر المنتج.

من معادلات العرض والطلب هذه ، يجد الاقتصاديون سعر توازن السوق ، أي عندما Q_ا وس_د مساو. بالنسبة للوضع الموصوف ، ما هي قيمة سعر التوازن؟

أ) 5

ب) 11

ج) 13

د) 23

هـ) 33

القرار:

البديل ب

لإيجاد سعر التوازن ، نقوم ببساطة بمساواة المعادلتين:

\ (Q_O = Q_D \)

\ (- 20 + 4P = 46 –2P \)

\ (4P + 2P = 46 + 20 \)

\ (6P = 66 \)

\ (P = \ frac {66} {6} \)

\ (ف = 11 \)

السؤال 2

(Enem 2010) الوثب الثلاثي هو طريقة لألعاب القوى يقفز فيها اللاعب على قدم واحدة وخطوة واحدة وقفزة واحدة بهذا الترتيب. سيتم تنفيذ القفزة مع الإقلاع على قدم واحدة بحيث يهبط الرياضي أولاً على نفس القدم التي أعطت الإقلاع ؛ في الخطوة ، سوف يهبط بالقدم الأخرى ، والتي يتم تنفيذ القفزة منها.

متاح على: www.cbat.org.br (مقتبس).

رياضي من طريقة الوثب الثلاثي ، بعد دراسة تحركاته ، أدرك ذلك ، من الثاني إلى القفزة الأولى ، انخفض النطاق بمقدار 1.2 متر ، ومن القفزة الثالثة إلى الثانية ، انخفض النطاق بمقدار 1.5 م. إذا كنت ترغب في الوصول إلى هدف 17.4 مترًا في هذا الحدث ، ومع مراعاة دراساتك ، فإن المسافة التي تم الوصول إليها في القفزة الأولى يجب أن تكون بين

أ) 4.0 م و 5.0 م.

ب) 5.0 م و 6.0 م.

ج) 6.0 م و 7.0 م.

د) 7.0 م و 8.0 م.

هـ) 8.0 م و 9.0 م.

القرار:

البديل د

• في القفزة الأولى ، وصل مسافة x متر.

• في القفزة الثانية ، تقل المسافة بمقدار 1.2 متر عن القفزة الأولى ، وبذلك يصل إلى مسافة x - 1.2 متر.

• في القفزة الثالثة ، تقل المسافة بمقدار 1.5 متر عن القفزة الثانية ، وبالتالي فإن المسافة التي يتم قطعها في القفزة الثالثة هي x - 1.2 - 1.5 متر ، وهو نفس x - 2.7 متر.

نعلم أن مجموع هذه المسافات يجب أن يساوي 17.4 مترًا ، لذلك:

\ (س + س -1.2 + س -2.7 = 17.4 \)

\ (3 × 3.9 = 17.4 \)

\ (3 س = 17.4 + 3.9 \)

\ (3 س = 21.3 \)

\ (س = \ فارك {21،3} {3} \)

\ (س = 7.1 \)

وبالتالي ، فإن المسافة التي تم الوصول إليها في القفزة الأولى تتراوح بين 7.0 و 8.0 أمتار.

بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات