ال تم تطوير نظرية المنصف الداخلي خصيصًا لـ مثلثات ويوضح أنه عندما نتتبع المنصف الداخلي لزاوية المثلث ، فإن نقطة التقاء المنصف مع الضلع المقابل لها تقسم ذلك الجانب إلى سطر القطعة متناسب مع الضلعين المجاورين لتلك الزاوية. مع تطبيق نظرية المنصف الداخلي من الممكن تحديد قيمة جانب أو أجزاء من المثلث باستخدام التناسب بينهما.
نرى أيضا: الوسيط ومنصف الزاوية وارتفاع المثلث - ما الفرق؟
ملخص حول نظرية المنصف الداخلي:
المنصف هو أ شعاع الذي يقسم الزاوية إلى زاويتين متطابقتين.
نظرية المنصف الداخلي خاصة بالمثلثات.
تثبت هذه النظرية أن المنصف يقسم الضلع المقابل إلى شرائح متناسبة على الجانبين المتاخمين ل زاوية.
درس فيديو عن نظرية المنصف الداخلي
لا تتوقف الان... هناك المزيد بعد الإعلان ؛)
ما هي نظرية المنصف؟
قبل أن نفهم ما تقوله نظرية المنصف الداخلي ، من المهم معرفة ما هو منصف زاوية. إنه شعاع يقسم الزاوية إلى جزأين متطابقين.، أي جزأين لهما نفس المقياس.
لفهم ماهية المنصف ، نلاحظ أنه يوجد عند الزاوية الداخلية للمثلث. عندما نحدد منصف زاوية المثلث ، فإنه يقسم الضلع المقابل إلى جزأين. فيما يتعلق بالمنصف الداخلي ، تقول نظريتها أن الجزءين المقسومين عليه يتناسبان مع الضلع المجاور للزاوية.
لاحظ أن المنصف يقسم جانب التيار المتردد إلى جزأين ، AD و DC. توضح نظرية المنصف ذلك:
\ (\ frac {\ overline {AB}} {\ overline {AD}} = \ frac {\ overline {BC}} {\ overline {CD}} \)
تعرف أكثر: نظرية فيثاغورس - نظرية أخرى تم تطويرها للمثلثات
إثبات نظرية المنصّف الداخلي
في المثلث ABC أدناه ، سنرسم حدود القطعة BD ، وهي منصف هذا المثلث. علاوة على ذلك ، سوف نتتبع إطالة جانبها CB والجزء AE ، بالتوازي مع BD:
الزاوية AEB مطابقة للزاوية DBC، لأن CE هي أ مباشرة مستعرض للقطع المتوازية AE و BD.
تطبيق نظرية طاليس، خلصنا إلى أن:
\ (\ frac {\ overline {BE}} {\ overline {AD}} = \ frac {\ overline {BC}} {\ overline {DC}} \)
الآن نحن يبقى إظهار أن BE = AB.
بما أن x هو قياس الزاوية ABD و DBC ، عند تحليل الزاوية ABE ، نحصل على:
ABE = 180 - 2x
إذا كانت y هي قياس الزاوية EAB ، فلدينا الحالة التالية:
نحن نعلم أن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث ABE يساوي 180 درجة ، لذا يمكننا حساب:
180 - 2 س + س + ص = 180
- س + ص = 180-180
- س + ص = 0
ص = س
إذا كان للزاوية x والزاوية y نفس القياس ، فإن المثلث ABE يكون متساوي الساقين. إذن ، الضلع AB = AE.
نظرًا لأن مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي دائمًا 180 درجة ، في المثلث ACE لدينا:
س + 180 - 2 س + ص = 180
- س + ص = 180-180
- س + ص = 0
ص = س
بما أن y = x ، فإن المثلث ACE متساوي الساقين. لذلك ، فإن المقاطع AE و AC متطابقتان. مبادلة التعريض التلقائي للتيار المتردد السبب، ثبت أن:
\ (\ frac {\ overline {AB}} {\ overline {AD}} = \ frac {\ overline {BC}} {\ overline {DC}} \)
مثال:
أوجد قيمة x في المثلث التالي:
عند تحليل المثلث نحصل على النسبة التالية:
\ (\ frac {6} {3} = \ frac {8} {x} \)
المضاعفة التبادلية:
6 س = 8 3
6 س = 24
\ (س = \ فارك {24} {6} \)
س = 4
اقرأ أيضا: النقاط البارزة في المثلث - ما هي؟
تمارين محلولة على نظرية المنصف الداخلي
السؤال رقم 1
بالنظر إلى المثلث أدناه ، يمكننا القول أن قيمة x هي:
أ) 9
ب) 10
ج) 11
د) 12
هـ) 13
دقة:
البديل د
بتطبيق نظرية المنصف الداخلي نحصل على الحساب التالي:
\ (\ frac {27} {30-x} = \ frac {18} {x} \)
المضاعفة التبادلية:
\ (27 س = 18 \ يسار (30-س \ يمين) \)
\ (27x \ = \ 540 \ - \ 18x \ \)
\ (27x \ + \ 18x \ = \ 540 \ \)
\ (45x \ = \ 540 \)
\ (س = \ فارك {540} {45} \)
\ (س \ = \ 12 \)
السؤال 2
حلل المثلث التالي ، مع العلم أن قياساتك قد أعطيت بالسنتيمتر.
محيط المثلث ABC يساوي:
أ) 75 سم
ب) 56 سم
ج) 48 سم
د) 24 سم
هـ) 7.5 سم
دقة:
البديل ج
بتطبيق نظرية المنصف ، سنجد أولاً قيمة x:
\ (\ frac {2x} {5} = \ frac {4x-9} {7} \)
\ (5 \ يسار (4x-9 \ يمين) = 2x \ cdot7 \)
\ (20x \ - \ 45 \ = \ 14x \)
\ (20 س \ - \ 14 س \ = \ 45 \ \)
\ (6 س = 45 \)
\ (س = \ فارك {45} {6} \)
\ (س \ = \ 7.5 \)
وهكذا ، فإن الجوانب المجهولة تقيس:
\ (2 \ cdot7،5 \ = \ 15 \ \)
\ (4 \ cdot7،5 \ - \ 9 \ = \ 21 \)
تذكر أن ملف مقياس الطول كان يستخدم سم ، و محيط من هذا المثلث يساوي:
P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 سم
بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات
هل ترغب في الإشارة إلى هذا النص في مدرسة أو عمل أكاديمي؟ بحث:
أوليفيرا ، راؤول رودريغيز دي. "نظرية المنصف الداخلي" ؛ مدرسة البرازيل. متوفر في: https://preprod.brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm. تم الوصول إليه في 4 أبريل 2022.
