المجال والمدى والمدى هي مجموعات عددية مرتبطة بالوظائف الرياضية. تقوم هذه القيم بتحويل القيم من خلال قوانين التكوين الخاصة بها وتنقلها من مجموعة الإخراج ، المجال ، إلى مجموعة الوصول ، النطاق.
من مجموعة المجال تأتي القيم التي سيتم تحويلها بواسطة صيغة الوظيفة ، أو قانون التكوين. بعد ذلك ، تصل هذه القيم إلى المجال المشترك.
المجموعة الفرعية المكونة من العناصر التي تصل إلى المجال المشترك تسمى مجموعة الصور.
بهذه الطريقة ، فإن المجال والنطاق والمدى عبارة عن مجموعات غير فارغة ويمكن أن تكون محدودة أو غير محدودة.
في دراسة الوظائف ، من الضروري تحديد العناصر أو ما هو نطاق هذه المجموعات. على سبيل المثال: مجموعة من الأعداد الطبيعية أو مجموعة من الأعداد الحقيقية.
بالنظر إلى المجال A حيث يتم تحويل كل عنصر x ينتمي إليه بواسطة الوظيفة إلى عنصر y ينتمي إلى النطاق B ، يُطلق على كل عنصر y صورة x.
لتعيين مجال ونطاق دالة ، يتم استخدام الترميز:
(نقرأ f من A إلى B)
قوانين التحويل هذه هي تعبيرات تتضمن العمليات والقيم العددية.
مثال
دالة f: A → B مُعرَّفة بقانون التكوين f (x) = 2x ، حيث مجالها هو المجموعة A = {1، 2، 3} والنطاق B = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7} ، يمكن تمثيله بالقيم الموجودة في الجدول و الرسوم البيانية:
|
اختصاص x |
و (س) = 2 س |
صورة و |
|---|---|---|
| 1 | و (1) = 2. 1 | 2 |
| 2 | و (2) = 2. 2 | 4 |
| 3 | و (3) = 2. 3 | 6 |
تنظيم نتائج الجدول في رسوم بيانية:
اختصاص
المجال D للدالة f هو مجموعة الإخراج ، المكونة من العناصر x المطبقة على الوظيفة.
هندسيًا ، في المستوى الديكارتي ، تشكل عناصر المجال المحور السيني للإحداثيات.
في التدوين المجال يمثل بالحرف قبل السهم.
يحتوي كل عنصر x في المجال على صورة y واحدة على الأقل في المجال المشترك.
المجال
مجال القرص المضغوط هو مجموعة الوصول. في التدوين يتم تمثيله على الجانب الأيمن من السهم.
صورة
Image Im هي مجموعة فرعية من النطاق ، تتكون من العناصر y التي تترك الوظيفة وتصل إلى النطاق ، والذي قد يحتوي على نفس عدد العناصر ، أو عدد أصغر.
بهذه الطريقة ، يتم تضمين مجموعة صور الوظيفة f في المجال المشترك.
هندسيًا ، في المستوى الديكارتي ، تشكل عناصر مجموعة الصورة المحور y للإحداثيات.
من الشائع أن نقول إن y هي القيمة التي تفترضها الدالة f (x) ، وبهذه الطريقة نكتب:
من الممكن أن يكون نفس العنصر y صورة لأكثر من عنصر x في المجال.
مثال
فى مهمة التي يحددها القانون
، لقيم x المتماثلة للمجال ، لدينا صورة y واحدة.
تعلم المزيد عن المهام.
تمارين المجال والمجال المشترك والصورة
التمرين 1
بالنظر إلى المجموعات أ = {8 ، 12 ، 13 ، 20 ، 23} و ب = {10 ، 17 ، 22 ، 24 ، 25 ، 27 ، 41 ، 46 ، 47 ، 55} ، حدد: المجال والمدى والمدى المهام.
أ) و: أ → ب المحدد بواسطة f (x) = 2x + 1
ب) f: A → B المحدد بواسطة f (x) = 3x - 14
أ) و: أ → ب المحدد بواسطة f (x) = 2x + 1
المجال أ = {8 ، 12 ، 13 ، 20 ، 23}
المجال ب = {10 ، 17 ، 22 ، 24 ، 25 ، 27 ، 41 ، 46 ، 47 ، 55}
الصورة ايم (و) = {17،25،27،41،47}
| د (و) | و (س) = 2 س + 1 | ايم (و) |
|---|---|---|
| 8 | و (8) = 2.8 + 1 | 17 |
| 12 | و (12) = 2.12 + 1 | 25 |
| 13 | و (13) = 2.13 + 1 | 27 |
| 20 | و (20) = 2.20 + 1 | 41 |
| 23 | و (23) = 2.23 + 1 | 47 |
ب) f: A → B المحدد بواسطة f (x) = 3x - 14
المجال أ = {8 ، 12 ، 13 ، 20 ، 23}
المجال ب = {10 ، 17 ، 22 ، 24 ، 25 ، 27 ، 41 ، 46 ، 47 ، 55}
صورة ايم (و) = {}
| د (و) | و (س) = 3 س - 14 | ايم (و) |
|---|---|---|
8 |
و (8) = 3.8 - 14 | 10 |
| 12 | و (12) = 3.12 - 14 | 24 |
| 13 | و (13) = 3.13 - 14 | 25 |
| 20 | و (20) = 3.20 - 14 | 46 |
| 23 | و (23) = 3.23 - 14 | 55 |
تمرين 2
تحديد مجال الوظائف المحددة من خلال:
المجال هو مجموعة القيم الممكنة التي يمكن أن يأخذها x.
أ) نعلم أنه لا يمكن القسمة على صفر 0 ، لذلك يجب أن يكون المقام مختلفًا عن الصفر.
نقرأ: x ينتمي إلى القيم الحقيقية بحيث يختلف x عن 2.
ب) لا يوجد جذر تربيعي لعدد سالب. لذلك ، يجب أن يكون الجذر الجذر أكبر من أو يساوي الصفر.
نقرأ: x ينتمي إلى القيم الحقيقية بحيث x أكبر من أو يساوي 5.
التمرين 3
بالنظر إلى الدالة مع المجال في مجموعة الأعداد الصحيحة ما هي مجموعة صور f (x)؟
مجموعة Z من الأعداد الصحيحة تقبل كلاً من الأعداد السالبة والموجبة حيث يفصل رقمان متتاليان وحدة واحدة.
بهذه الطريقة ، تقبل الوظيفة القيم الإيجابية والسلبية. ومع ذلك ، بما أن x تربيع ، فإن كل قيمة ، حتى وإن كانت سالبة ، سترجع قيمة موجبة.
مثال
و (-2) = (-2) ² = -2. (-2) = 4
بهذه الطريقة ، سيكون هناك فقط أرقام طبيعية في الصورة.
قد تكون مهتمًا بـ:
- وظيفة الحقن
- الوظيفة المفاجئة
- وظيفة التحيز
- وظيفة عكسية
- الوظيفة المركبة
تطبيقات وفضول
الوظائف لها تطبيقات في دراسة أي ظاهرة تعتمد فيها معلمة على أخرى. على سبيل المثال ، سرعة قطعة الأثاث بمرور الوقت ، آثار دواء بخصائص الحموضة في المعدة ، درجة حرارة المرجل مع كمية الوقود.
الوظائف موجودة في ظواهر حقيقية ، وبالتالي ، يمكن تطبيقها في جميع الدراسات العلمية والهندسية.
دراسة الوظائف ليست حديثة ، فبعض السجلات في العصور القديمة في الجداول البابلية تظهر أنها كانت بالفعل جزءًا من الرياضيات. على مر السنين ، كانت التدوين ، وطريقة كتابتها ، تتلقى مساهمات من العديد من علماء الرياضيات وتتحسن ، حتى نستخدمها اليوم.
