العوملة متعددة الحدود: الحالات والأمثلة

عامل كثيرات الحدود يتكون من طرق تم تطويرها لإعادة كتابة كثير الحدود كمنتج بين كثيرات الحدود. اكتب كثير الحدود بصيغة عمليه الضرب بين عاملين أو أكثر يساعد في تبسيط التعبيرات الجبرية وفهم كثير الحدود.

هناك حالات مختلفة للتخصيم ، ولكل منها تقنيات محددة.. الحالات الموجودة هي: التحليل بعامل مشترك في الدليل ، التحليل إلى عوامل التجميع ، الفرق بين مربعين ، ثلاثي الحدود التربيعي الكامل ، مجموع مكعبين وفرق مكعبين.

اقرأ أكثر:ما هو كثير الحدود؟

ملخص حول تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل

• تحليل متعدد الحدود إلى عوامل هي تقنيات تستخدم لتمثيل كثير الحدود كمنتج بين كثيرات الحدود.

• نستخدم هذا التحليل للتبسيط تعبيرات جبرية.

• حالات العوملة هي:

  • التحليل بعامل مشترك في الدليل;

  • العوملة بالتجميع;

  • ثلاثي الحدود المربع الكامل;

  • الفرق بين مربعين;

  • مجموع مكعبين;

  • الفرق بين مكعبين.

حالات العوملة متعددة الحدود

لتحليل كثير الحدود إلى عوامل ، من الضروري تحليل أي من حالات العوملة يناسب الموقف، يجري: التحليل بالعامل المشترك في الدليل ، والتحليل بالتجميع ، والفرق بين مربعين ، ومربع كامل ثلاثي الحدود ، ومجموع مكعبين ، وفرق مكعبين. دعونا نرى كيفية إجراء التحليل إلى عوامل في كل منها.

لا تتوقف الان... هناك المزيد بعد الإعلان ؛)

• العامل المشترك في الدليل

نستخدم طريقة التحليل هذه عندما يكون هناك عامل مشترك بين جميع حدود كثير الحدود. سيتم إبراز هذا العامل المشترك كعامل واحد ، والعامل الآخر ، نتيجة قطاع من الشروط بواسطة هذا العامل المشترك ، سيتم وضعها داخل الأقواس.

مثال 1:

20xy + 12x² + 8xy²

عند تحليل كل حد في كثير الحدود ، من الممكن أن نرى أن x يتكرر في جميع المصطلحات. أيضًا ، جميع المعاملات (20 و 12 و 8) هي مضاعفات 4 ، لذا فإن العامل المشترك بين جميع الحدود هو 4x.

قسمة كل مصطلح على العامل المشترك ، لدينا:

20xy: 4x = 5y

12 ײ: 4x = 3x

8xy²: 4x = 2y²

الآن ، سنكتب العامل المشترك مع وضع العامل المشترك في الدليل و مجموع من النتائج الموجودة بين قوسين:

4x (5y + 3x + 2y²)

المثال 2:

2a²b² + 3a³b - 4a⁵ب³

عند تحليل الجزء الحرفي لكل مصطلح ، من الممكن ملاحظة أن a²b يتكرر في كل مصطلح. لاحظ أنه لا يوجد رقم يقسم 2 و 3 و - 4 في نفس الوقت. إذن ، العامل المشترك سيكون a²b فقط.

2 أ² ب²: أ² ب = 2 ب

3a³b: a²b = 3a

الرابعة⁵ب³: أ² ب = 4 أ³

وبالتالي ، سيكون تحليل كثير الحدود هذا:

أ² ب (2 ب + 3 أ + 4 أ³)

نرى أيضا: الجمع والطرح والضرب في كثيرات الحدود - افهم كيف يتم ذلك

• التجمع

هذه الطريقة تستخدم في حالة عدم وجود عامل مشترك لجميع شروط كثير الحدود. في هذه الحالة ، نحدد المصطلحات التي يمكن تجميعها باستخدام عامل مشترك ونبرزها.

مثال:

حلل كثير الحدود التالي إلى عوامل:

الفأس + 4 ب + ب س + 4 أ

سنجمع المصطلحات التي لها أ و ب كعامل مشترك:

الفأس + 4 أ + ب س + 4 ب

بوضع أ و ب في الدليل من حيث اثنين في اثنين ، لدينا:

أ (س + 4) + ب (س + 4)

لاحظ أن العوامل متشابهة داخل الأقواس ، لذا يمكننا إعادة كتابة كثير الحدود على النحو التالي:

(أ + ب) (س + 4)

• ثلاثي الحدود المربع الكامل

إن القيم الثلاثية هي كثيرة الحدود ذات 3 حدود. تُعرف كثيرة الحدود باسم ثلاثي الحدود المربع الكامل عندما تكون كذلك ناتج تربيع المجموع أو نتيجة تربيع الفرق، هذا هو:

أ² + 2 أب + ب² = (أ + ب) ²

أ² - 2 أب + ب² = (أ - ب) ²

الأهمية: ليس في كل مرة يوجد فيها ثلاثة مصطلحات ، ستكون هذه كثيرة الحدود عبارة عن مربع كامل ثلاثي الحدود. لذلك ، قبل إجراء التحليل ، يجب التحقق مما إذا كانت ثلاثية الحدود مناسبة في هذه الحالة.

مثال:

حلل كثير الحدود إلى عوامل إن أمكن

x² + 10x + 25

بعد تحليل هذه الثلاثية ، سنقوم باستخراج الجذر التربيعي الفصل الأول والأخير:

\ (\ sqrt {x ^ 2} = x \)

\ (\ الجذر التربيعي {25} = 5 \)

من المهم التحقق من أن المصطلح المركزي ، أي 10x ، يساوي \ (2 \ cdot \ س \ cdot5 \). لاحظ أنه في الواقع نفس الشيء. إذن ، هذا هو المثلث التربيعي الكامل ، والذي يمكن تحليله من خلال:

x² + 10x + 25 = (x + 5) ²

• الفرق بين مربعين

عندما يكون لدينا فرق بين مربعين ، يمكننا تحليل كثير الحدود هذا بإعادة كتابته على أنه حاصل ضرب المجموع والفرق.

مثال:

حلل كثير الحدود إلى عوامل:

4x² - 36y²

أولاً ، سنحسب الجذر التربيعي لكل من شروطه:

\ (\ sqrt {4x ^ 2} = 2x \)

\ (\ sqrt {36y ^ 2} = 6y \)

الآن ، سنعيد كتابة كثير الحدود هذا في صورة حاصل ضرب مجموع واختلاف الجذور التي تم إيجادها:

4x² - 36y² = (2x + 6y) (2x - 6y)

اقرأ أيضا: الحساب الجبري الذي يتضمن المونومرات - تعرف على كيفية حدوث العمليات الأربع

• مجموع مكعبين

مجموع المكعبين ، أي أ + ب ، يمكن تحليلها إلى عوامل:

أ³ + ب³ = (أ + ب) (أ² - أب + ب²)

مثال:

حلل كثير الحدود إلى عوامل:

x³ + 8

نعلم أن 8 = 2³ ، لذلك:

س³ + 8 = (س + 2) (س² - 2 س + 2²)

س³ + 8 = (س + 2) (س² - 2 س + 4)

• الفرق بين مكعبين

الفرق بين مكعبين ، أي أ - ب ، لا يختلف عن مجموع مكعبين ، يمكن تحليله إلى عوامل:

أ³ - ب³ = (أ - ب) (أ² + أب + ب²)

مثال:

حلل كثير الحدود إلى عوامل

8x³ - 27

نحن نعرف ذلك:

8x³ = (2x) ³

27 = 3³

لذلك علينا:

\ (8x ^ 3-27 = \ يسار (2x-3 \ يمين) \)

\ (8x ^ 3-27 = \ يسار (2x-3 \ يمين) \ يسار (4x ^ 2 + 6x + 9 \ right) \)

تمارين محلولة في تحليل كثيرات الحدود

السؤال رقم 1

استخدام التحليل متعدد الحدود لتبسيط التعبير الجبري \ (\ frac {x ^ 2 + 4x + 4} {x ^ 2-4}، \)، سوف نجد:

أ) س + 2

ب) × - 2

ج) \ (\ frac {x-2} {x + 2} \)

د) \ (\ frac {x + 2} {x-2} \)

هـ) (س - 2) (س + 2)

الدقة:

البديل د

بالنظر إلى البسط ، نرى أن x² + 4x + 4 هي حالة لمربع كامل ويمكن إعادة كتابتها على النحو التالي:

س² + 4x + 4 = (س + 2) ²

البسط x² - 4 هو الفرق بين مربعين ويمكن إعادة كتابته على النحو التالي:

س² - 4 = (س + 2) (س - 2)

وبالتالي:

\ (\ frac {\ left (x + 2 \ right) ^ 2} {\ left (x + 2 \ right) \ left (x-2 \ right)} \)

لاحظ أن المصطلح x + 2 يظهر في كل من البسط والمقام ، لذلك يتم تبسيطه من خلال:

\ (\ frac {x + 2} {x-2} \)

السؤال 2

(Unifil Institute) بالنظر إلى أن رقمين ، x و y ، هما x + y = 9 و x² - y² = 27 ، فإن قيمة x تساوي:

أ) 4

ب) 5

ج) 6

د) 7

الدقة:

البديل ج

لاحظ أن x² - y² هو الفرق بين مربعين ويمكن تحليله إلى عوامل كحاصل ضرب المجموع والفرق:

س² - ص² = (س + ص) (س - ص)

نعلم أن x + y = 9:

(س + ص) (س - ص) = 27

9 (س - ص) = 27

س - ص = 27: 9

س - ص = 3

ثم يمكننا إعداد ملف نظام المعادلة:

إضافة السطرين:

2 س + 0 ص = 12

2 س = 12

س = \ (\ فارك {12} {2} \)

س = 6

بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات