ان معادلة كثيرة الحدود يتميز بوجود ملف متعدد الحدود يساوي الصفر. يمكن تمييزها بدرجة كثيرة الحدود ، وكلما زادت هذه الدرجة ، زادت درجة الصعوبة في إيجاد حلها أو جذرها.
من المهم أيضًا ، في هذا السياق ، فهم ماهية النظرية الأساسية للجبر ، والتي تنص على ذلك كل معادلة كثيرة الحدود لها حل معقد واحد على الأقلبعبارة أخرى: سيكون لمعادلة الدرجة الأولى حل واحد على الأقل ، ومعادلة الدرجة الثانية سيكون لها حلان على الأقل ، وهكذا.
اقرأ أيضا: ما هي أصناف كثيرات الحدود؟
ما هي معادلة كثيرة الحدود
تتميز المعادلة متعددة الحدود بوجود كثير حدود يساوي الصفر ، وبالتالي ، كل تعبير من النوع P (x) = 0 هو معادلة كثيرة الحدود، حيث P (x) هي كثيرة الحدود. يوجد أدناه الحالة العامة للمعادلة متعددة الحدود وبعض الأمثلة.
ضع في اعتباركلا، أن -1، أ ن -2، …، ال1، أ0 و x أرقام حقيقية، و n عدد صحيح موجب ، والتعبير التالي هو معادلة كثيرة الحدود من الدرجة n.
- مثال
المعادلات التالية متعددة الحدود.
أ) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
ب) 5x2 – 3 = 0
ج) 6 س - 1 = 0
د) 7x3 - س2 + 4x + 3 = 0
مثل كثيرات الحدود ، المعادلات متعددة الحدود لها درجتها. لتحديد درجة معادلة كثيرة الحدود ، ابحث فقط عن أعلى قوة يختلف معاملها عن الصفر. لذلك ، فإن معادلات العناصر السابقة هي على التوالي:
أ) المعادلة من الدرجة الرابعة:3x4+ 4x2 – 1 = 0.
ب) المعادلة من المدرسة الثانوية:5x2 – 3 = 0.
ج) المعادلة من الدرجة الأولى:6x – 1 = 0.
د) المعادلة من الدرجة الثالثة: 7x3- س2 + 4x + 3 = 0.
كيف تحل معادلة كثيرة الحدود؟
تعتمد طريقة حل معادلة كثيرة الحدود على درجتها. كلما زادت درجة المعادلة ، زاد صعوبة حلها. في هذه المقالة ، سوف نعرض طريقة حل المعادلات متعددة الحدود لـ الدرجة الأولى والدرجة الثانية والمربع.
معادلة متعددة الحدود من الدرجة الأولى
يتم وصف المعادلة متعددة الحدود من الدرجة الأولى بواسطة a درجة 1 كثيرة الحدود. لذلك يمكننا كتابة معادلة من الدرجة الأولى بشكل عام على النحو التالي.
فكر في رقمين حقيقيين ال و ب مع ≠ 0 ، فإن التعبير التالي هو معادلة متعددة الحدود من الدرجة الأولى:
الفأس + ب = 0
لحل هذه المعادلة ، يجب علينا استخدام مبدأ التكافؤ، أي أن كل شيء يتم تشغيله على جانب واحد من المساواة يجب أن يتم تشغيله أيضًا على الجانب الآخر. لتحديد حل معادلة من الدرجة الأولى ، يجب علينا ذلك عزل المجهول. لهذا ، فإن الخطوة الأولى هي القضاء على ب على الجانب الأيسر من المساواة ، وبعد ذلك طرح او خصمالمجاذيف ب على جانبي المساواة.
الفأس + ب - ب = 0 - ب
الفأس = - ب
لاحظ أن قيمة المجهول x ليست معزولة ، يجب حذف المعامل a من الجانب الأيسر من المساواة ، ومن أجل ذلك ، دعنا نقسم كلا الجانبين على ال.
- مثال
حل المعادلة ٥ س + ٢٥ = ٠.
لحل المشكلة ، يجب علينا استخدام مبدأ التكافؤ. من أجل تسهيل العملية ، سنقوم بحذف كتابة العملية على الجانب الأيسر من المساواة ، الوجود يكافئ إذن أن نقول إننا سنقوم "بتمرير" الرقم إلى الجانب الآخر ، وتغيير العلامة (عملية عكسية).
تعرف على المزيد حول حل هذا النوع من المعادلات من خلال الوصول إلى النص الخاص بنا: معادلة من الدرجة الأولى مع مجهول.
معادلة متعددة الحدود من الدرجة الثانية
المعادلة متعددة الحدود من الدرجة الثانية لها خاصية a كثير الحدود من الدرجة الثانية. لذلك ، ضع في اعتبارك الأعداد الحقيقية a و b و c التي بها a 0. يتم إعطاء معادلة من الدرجة الثانية بواسطة:
فأس2 + ب س + ج = 0
يمكن تحديد الحل الخاص بك باستخدام طريقة باسكارا أو عن طريق التخصيم. إذا كنت تريد معرفة المزيد عن هذا النوع من المعادلات ، فاقرأ: مكافئعمل سثانيا زراو.
→ طريقة باسكارا
باستخدام طريقة Bhaskara ، يتم إعطاء جذورها بالصيغة التالية:
- مثال
أوجد حل المعادلة س2 - 3 س + 2 = 0.
لاحظ أن معاملات المعادلة هي ، على التوالي ، أ = 1 ، ب = - 3 ، ج = 2. لاستبدال هذه القيم في الصيغة ، يتعين علينا:
→ التخصيم
لاحظ أنه من الممكن تحليل التعبير x إلى عوامل2 - 3x + 2 = 0 باستخدام فكرة عامل متعدد الحدود.
x2 - 3 س + 2 = 0
(س - 2) · (س - 1) = 0
لاحظ الآن أن لدينا منتجًا يساوي صفرًا ، ومنتجًا يساوي صفرًا فقط إذا كان أحد العوامل يساوي صفرًا ، لذلك يتعين علينا:
س - 2 = 0
س = 2
أو
س - 1 = 0
س = 1
لاحظ أننا وجدنا حل المعادلة باستخدام طريقتين مختلفتين.
معادلة ثنائية التربيع
ال معادلة bisquare إنها حالة معينة من المعادلة متعددة الحدود من الدرجة الرابعة، عادةً ما تتم كتابة معادلة من الدرجة الرابعة بالشكل:
فأس4 + bx3 + صندوق2 + dx + e = 0
حيث الأرقام ا ب ت ث و و حقيقية مع ≠ 0. تعتبر معادلة الدرجة الرابعة ثنائية المربعات عندما تكون المعاملات ب = د = 0 ، أي أن المعادلة في الشكل:
فأس4 + صندوق2 + و = 0
انظر ، في المثال أدناه ، كيفية حل هذه المعادلة.
- مثال
حل المعادلة x4 - 10x2 + 9 = 0.
لحل المعادلة ، سنستخدم التغيير المجهول التالي ، وكلما كانت المعادلة ثنائية المربعات ، سنقوم بإجراء هذا التغيير.
x2 = ص
من معادلة التربيع الثنائية ، لاحظ أن س4 = (س2)2 وبالتالي علينا أن:
x4 - 10x2 + 9 = 0
(x2)2 – 10x2 + 9 = 0
ل2 - 10 ص + 9 = 0
لاحظ أن لدينا الآن معادلة متعددة الحدود من الدرجة الثانية ويمكننا استخدام طريقة بهاسكارا ، مثل هذا:
ومع ذلك ، يجب أن نتذكر أنه في بداية التمرين ، تم إجراء تغيير غير معروف ، لذلك يجب علينا تطبيق القيمة الموجودة في الاستبدال.
x2 = ص
بالنسبة لـ p = 9 لدينا ما يلي:
x2 = 9
x '= 3
أو
x '= - 3
ل = 1
x2 = 1
x '= 1
أو
x '= - 1
لذلك ، فإن مجموعة حل المعادلة ثنائية المربع هي:
S = {3 ، –3 ، 1 ، –1}
اقرأ أيضا: جهاز Briot-Ruffini العملي - تقسيم كثيرات الحدود
النظرية الأساسية للجبر (TFA)
تنص النظرية الأساسية للجبر (TFA) ، التي أثبتها Gauss في عام 1799 ، على أن كل معادلة متعددة الحدود على النحو التالي لها جذر مركب واحد على الأقل.
جذر المعادلة متعددة الحدود هو حلها ، أي أن القيمة غير المعروفة هي التي تجعل المساواة صحيحة. على سبيل المثال ، معادلة من الدرجة الأولى لها جذر محدد بالفعل ، كما هو الحال مع معادلة الدرجة الثانية ، التي لها جذرين على الأقل ، ومربع ، الذي له أربعة جذور على الأقل.
تمارين حلها
السؤال رقم 1 - تحديد قيمة x التي تجعل المساواة صحيحة.
2 س - 8 = 3 س + 7
الدقة
لاحظ أنه لحل المعادلة ، من الضروري تنظيمها ، أي ترك كل المجهول على الجانب الأيسر من المساواة.
2 س - 8 = 3 س + 7
2 س - 3 س = 7 + 8
- س = 15
من خلال مبدأ التكافؤ ، يمكننا ضرب طرفي المساواة في نفس العدد ، وبما أننا نريد إيجاد قيمة x ، فسنضرب كلا الطرفين في –1.
(–1)- س = 15(–1)
س = - 15
السؤال 2 - ماركوس لديه 20 ريال برازيلي أكثر من جواو. تمكنوا معًا من شراء زوجين من الأحذية الرياضية بتكلفة 80 ريالاً برازيليًا لكل زوج وبدون أي نقود متبقية. كم عدد الريس عند جون؟
الدقة
افترض أن مارك لديه x reais ، حيث أن جون لديه 20 ريالًا أكثر ، لذلك لديه x + 20.
العلامات → x ريال
جواو → (س + 20) ريس
كيف اشتروا زوجان من الأحذية الرياضية التي تكلف 80 ريالًا لكل منها ، لذلك إذا قمنا بتجميع أجزاء كل منها معًا ، فسنضطر إلى:
س + (س + 20) = 2 · 80
س + س = 160-20
2 س = 140
لذلك ، كان لدى مارك 70 ريالًا ، وكان لدى جواو 90 ريالًا.
بواسطة روبسون لويز
مدرس مادة الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm
