ذات الحدين لنيوتن هي أي ذات الحدين مرفوعة إلى رقم لا على ماذا لا إنه رقم طبيعي. بفضل دراسات الفيزيائي إسحاق نيوتن حول قوى ذات الحدين ، كان ذلك ممكنًا تحقق من الانتظام الذي يسهل تمثيل كثير الحدود ولدت من قوة ذات الحدين.
مع مراعاة هذه الانتظامات ، أصبح ذلك ممكنًا أيضًا العثور على شروط واحدة فقط من متعدد الحدود، دون الحاجة إلى حساب كل شيء ، باستخدام صيغة المصطلح العام للحدين. بالإضافة إلى ذلك ، لاحظ نيوتن وجود علاقة بين تحليل اندماجيa و Newton ذات الحدين ، ما جعل مثلث باسكال أداة رائعة للتطوير العملي لمحدودية نيوتن ذات الحدين.
اقرأ أيضا: جهاز Briot-Ruffini - طريقة لتقسيم كثيرات الحدود
تعريف نيوتن ذات الحدين
نحن نعرّف على أنها ذات الحدينكثيرة الحدود التي لها فترتين. في بعض التطبيقات في الرياضيات والفيزياء ، من الضروري حساب قوى ذات الحدين. لتسهيل العملية ، لاحظ إسحاق نيوتن انتظامًا مهمًا التي تسمح لنا بإيجاد كثير الحدود الناتج عن قوة ذات الحدين.
في بعض الحالات ، يكون الحساب بسيطًا للغاية: ما عليك سوى إجراء ضرب ذات الحدين بنفسه باستخدام خاصية التوزيع.
حتى فاعلية الأمر 3 ، نقوم بالتطوير دون بذل الكثير من الجهد ، لأنهم معروفون منتجات بارزة، ولكن بالنسبة للقوى الأعلى ، احسب من ضرب الحد في حد ذاته لا في بعض الأحيان يكون هناك الكثير من العمل.أمثلة
تذكر أن كل رقم مرفوع إلى الصفر يساوي 1 وأن كل رقم مرفوع إلى 1 هو نفسه ، وهذا ينطبق أيضًا على ذات الحدين.
لاحظ نيوتن أ العلاقة بين معاملات كل من المصطلحات والتوليفات، مما سمح بحساب قوة ذات الحدين بشكل مباشر أكثر من الصيغة التالية:
فهم الصيغة:
لنلقِ أولًا نظرة على الجزء الحرفي لكل حد ، وهو الحرف مع أسه. لاحظ أنه ، لكل مصطلح ، الأس “a "كان يتناقص ، بدءًا من n ، ثم انتقل إلى n - 1 ، وهكذا حتى كان 1 في المصطلح قبل الأخير و 0 في المصطلح الأخير (مما يجعل الحرف" a "لا يظهر حتى في المصطلح الأخير).
تحديد ال وأسسها:
الآن دعونا نحلل أسس "b" ، والتي تتزايد دائمًا ، بدءًا من 0 في المصطلح الأول (the مما يجعل الحرف b لا يظهر في المصطلح الأول) ، و 1 في المصطلح الثاني ، وهكذا حتى يتساوى ال لافي الفصل الأخير.
تحديد ب وأسسها:
فهم الجزء الحرفي ، دعنا تحليل المعاملات، وهي عبارة عن مجموعات من لا العناصر المأخوذة من 0 إلى 0 ، ومن 1 إلى 1 ، ومن 2 إلى 2 ، وهكذا حتى المصطلح الأخير ، وهو مزيج من لا عناصر مأخوذة من لا في لا.
من الجدير بالذكر أنه من المهم إتقان حساب مجموعات لتتمكن من إيجاد المعاملات. تذكر ، لحساب المجموعات ، علينا:
تكون الاستجابة المركبة دائمًا أ عدد طبيعي.
نرى أيضا: تقسيم متعدد الحدود: كيف نحلها؟
مثال: احسب ذات الحدين لنيوتن (أ + ب) أس الرابع.
الخطوة الأولى: اكتب كثير الحدود باستخدام الصيغة.
الخطوة الثانية: احسب التوليفات.
باستبدال المجموعات ، سيكون كثير الحدود الموجود:
يمكنك أن ترى أن حل مثل هذه الحالات لا يزال شاقًا ، اعتمادًا على الأس ، ولكنه مع ذلك أسرع من الحساب باستخدام خاصية التوزيع. أداة يمكن أن تساعد في هذا الحساب هي مثلث باسكال.
مثلث باسكال
تم تطوير مثلث باسكال بواسطة Blaise Pascal أثناء دراسة التوليفات. هو طريقة تجعل حساب المجموعات أسهل. إن استخدام مثلث باسكال يجعل العثور على معاملات الأجزاء الحرفية من نيوتن ذي الحدين أسرع وأسهل دون الحاجة إلى حساب جميع التوليفات.
لإنشاء مثلث باسكال مباشرة ، دعنا نتذكر حالتين حيث يكون الحساب المركب يساوي 1.
وبالتالي ، فإن الحد الأول والأخير لجميع الأسطر يساوي دائمًا 1. يتم إنشاء المصطلحات المركزية من مجموع المصطلح أعلاه بالإضافة إلى جاره من العمود السابق ، كما في التمثيل أدناه:
لبناء الأسطر التالية ، تذكر فقط أن المصطلح الأول هو 1 والأخير أيضًا. ثم يكفي القيام بالمبالغ لاكتشاف المصطلحات المركزية.
الوصول أيضًا إلى: نظرية التحلل متعدد الحدود
مثال: احسب (أ + ب) أس السادس.
الخطوة الأولى: تطبيق صيغة ذات الحدين.
الخطوة الثانية: قم ببناء مثلث باسكال حتى السطر السادس.
الخطوة الثالثة: استبدل التركيبات بالقيم الموجودة في السطر 6 ، والتي تمثل معاملات كل من شروط ذات الحدين.
ما يحدد عدد الأسطر التي سنبنيها من ذات الحدين هو قيمة n. من المهم أن تتذكر أن السطر الأول هو صفر.
مصطلح نيوتن العام ذي الحدين
المصطلح العام لنيوتن ذو الحدين هو صيغة تسمح لنا بحساب حد ذي الحدين دون الحاجة إلى تطوير كثير الحدود بالكامل ، أي يمكننا تحديد أي من المصطلحات من الأول إلى الأخير. باستخدام الصيغة ، نحسب المصطلح الذي نبحث عنه مباشرةً.
ال: الفصل الدراسي الأول
ب: الفصل الثاني
ن: الأس
ع + 1: مصطلح البحث
مثال: أوجد الحد الحادي عشر من ذات الحدين (أ + ب)12.
القرار:
نرى أيضا: المظاهرات عبر حساب التفاضل والتكامل الجبري
تمارين حلها
السؤال رقم 1 - (Cesgranrio) معامل x4 في كثير الحدود P (x) = (x + 2)6:
أ) 64
ب) 60
ج) 12
د) 4
هـ) 24
القرار
نريد إيجاد مصطلح محدد في حل ذات الحدين ؛ لذلك ، علينا إيجاد قيمة p.
نعلم أن الحد الأول في هذه الحالة يساوي x ، لذا فإن n - p = 4 ، لأن n = 6 ، لدينا:
ومن ثم ، فإن المعامل هو 60 (البديل ب).
السؤال 2 - (Unifor) إذا كان المصطلح المركزي للتطور ذي الحدين (4x + ky)10 لـ 8064x5ذ5، فإن البديل الذي يتوافق مع قيمة k سيكون:
أ) 1/4
ب) 1/2
ج) 1
د) 2
هـ) 4
القرار: نعلم أن الحد المركزي له معاملات متساوية (ع = 5). لنجد الحد السادس ، بما أن p + 1 = 6. علاوة على ذلك ، لدينا أن a = 4x ؛ ب = ky و n = 10 ، لذلك:
البديل د.
بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/binomio-de-newton.htm
