الوظيفة الأسية: تم التعليق على 5 تمارين

ال دالة أسية هي كل وظيفة ℝ في ℝ^*_+, المعرفة من قبل f (x) = أ^x، حيث a هو رقم حقيقي ، أكبر من الصفر ولا يساوي 1.

استفد من التمارين المعلقة لتوضيح كل شكوكك حول هذا المحتوى وتأكد من التحقق من معرفتك في الأسئلة التي تم حلها في المسابقات.

تمارين علقت

التمرين 1

تقوم مجموعة من علماء الأحياء بدراسة تطور مستعمرة معينة من البكتيريا و وجد أنه في ظل الظروف المثالية ، يمكن العثور على عدد البكتيريا من خلال التعبير N (t) = 2000. 2^{0.5 طن}، يجري في ساعات.

بالنظر إلى هذه الظروف ، إلى متى بعد بدء الملاحظة سيكون عدد البكتيريا يساوي 8192000؟

حل

في الحالة المقترحة ، نعرف عدد البكتيريا ، أي أننا نعلم أن N (t) = 8192000 ونريد إيجاد قيمة t. لذا ، فقط استبدل هذه القيمة في التعبير المحدد:

لحل هذه المعادلة ، لنكتب العدد 4096 في العوامل الأولية ، لأنه إذا كان لدينا نفس الأساس ، فيمكننا أن نساوي الأسس. لذلك ، بعد أخذ الرقم في الاعتبار ، لدينا:

وبالتالي ، سيكون للثقافة 8192000 بكتيريا بعد يوم واحد (24 ساعة) من بداية الملاحظة.

تمرين 2

تميل المواد المشعة بشكل طبيعي ، بمرور الوقت ، إلى تفكيك كتلتها المشعة. يسمى الوقت الذي يستغرقه نصف كتلته المشعة للتحلل بنصف عمره.

يتم تحديد كمية المادة المشعة لعنصر معين من خلال:

يجرى،

N (t): كمية المادة المشعة (بالجرام) في وقت معين.
ن₀: كمية المادة الأولية (بالجرام).
T: فترة عمر النصف (بالسنوات)
t: الوقت (بالسنوات)

بالنظر إلى أن عمر النصف لهذا العنصر يساوي 28 عامًا ، حدد الوقت اللازم للمادة المشعة لتقليلها إلى 25٪ من قيمتها الأولية.

حل

للوضع المقترح A (t) = 0.25 A₀ = 1/4 أ₀، حتى نتمكن من كتابة التعبير المحدد ، مع استبدال T بـ 28 عامًا ، ثم:

لذلك ، سوف يستغرق 56 عامًا حتى يتم تقليل كمية المواد المشعة بنسبة 25 ٪.

أسئلة المسابقة

1) Unesp - 2018

الإيبوبروفين دواء موصوف للألم والحمى ، ويبلغ عمر النصف حوالي ساعتين. هذا يعني ، على سبيل المثال ، أنه بعد ساعتين من تناول 200 ملغ من الإيبوبروفين ، سيبقى 100 ملغ فقط من الدواء في مجرى دم المريض. بعد ساعتين أخريين (إجمالي 4 ساعات) ، سيبقى 50 مجم فقط في مجرى الدم وما إلى ذلك. إذا تلقى المريض 800 مجم من الإيبوبروفين كل 6 ساعات ، فإن كمية هذا الدواء التي ستبقى في مجرى الدم لمدة 14 ساعة بعد تناول الجرعة الأولى ستكون

أ) 12.50 مجم
ب) 456.25 مجم
ج) 114.28 مجم
د) 6.25 مجم
هـ) 537.50 مجم

انظر للاجابة

نظرًا لأن الكمية الأولية من الدواء في مجرى الدم كل ساعتين مقسمة إلى نصفين ، يمكننا تمثيل هذا الموقف باستخدام المخطط التالي:

لاحظ أن الأس ، في كل حالة ، يساوي الوقت مقسومًا على 2. وبالتالي ، يمكننا تحديد كمية الدواء في مجرى الدم كدالة للوقت ، باستخدام التعبير التالي:

يجرى

س (ر): الكمية في ساعة معينة
س₀: المبلغ الأولي المبتلع
t: الوقت بالساعات

بالنظر إلى أن 800 مجم من الإيبوبروفين تم تناولها كل 6 ساعات ، فإن لدينا:

للعثور على كمية الدواء في مجرى الدم بعد 14 ساعة من تناول الجرعة الأولى ، يجب أن نضيف الكميات التي تشير إلى الجرعات الأولى والثانية والثالثة. بحساب هذه الكميات لدينا:

سيتم العثور على مقدار الجرعة الأولى مع الأخذ في الاعتبار الوقت الذي يساوي 14 ساعة ، لذلك لدينا:

بالنسبة للجرعة الثانية ، كما هو موضح في الرسم البياني أعلاه ، كان الوقت 8 ساعات. لاستبدال هذه القيمة ، لدينا:

وقت الجرعة الثالثة سيكون ساعتين فقط. سيكون المبلغ المتعلق بالجرعة الثالثة بعد ذلك:

الآن بعد أن عرفنا كميات كل جرعة يتم تناولها ، يمكننا إيجاد المبلغ الإجمالي عن طريق إضافة كل من الكميات الموجودة:

س_مجموع= 6.25 + 50 + 400 = 456.25 مجم

البديل ب) 456.25 مجم

2) UERJ - 2013

تلوثت بحيرة تستخدم لتزويد المدينة بعد وقوع حادث صناعي ، ووصلت إلى مستوى السمية T₀، بما يعادل عشرة أضعاف المستوى الأولي.
اقرأ المعلومات الواردة أدناه.

• يسمح التدفق الطبيعي للبحيرة بتجديد 50٪ من حجمها كل عشرة أيام.
• يمكن حساب مستوى السمية T (x) ، بعد x يومًا من الحادث ، باستخدام المعادلة التالية:

ضع في اعتبارك D أصغر عدد من أيام تعليق إمدادات المياه اللازمة لعودة السمية إلى المستوى الأولي.
إذا كان log 2 = 0.3 ، فإن قيمة D تساوي:

أ) 30
ب) 32
ج) 34
د) 36

انظر للاجابة

للعودة إلى مستوى السمية الأولي ، من الضروري:

باستبدال هذه القيمة في دالة معينة ، لدينا:

بالضرب في "التقاطع" ، تصبح المعادلة:

2 ^0.1x= 10

دعنا نطبق اللوغاريتم الأساسي 10 على كلا الجانبين لتحويله إلى معادلة من الدرجة الأولى:

تسجيل (2^0.1x) = تسجيل 10

تذكر أن لوغاريتم 10 في الأساس 10 يساوي 1 ، فإن معادلتنا ستبدو كما يلي:

0.1x. سجل 2 = 1

بالنظر إلى أن السجل 2 = 0.3 واستبدال هذه القيمة في المعادلة:

وبالتالي ، فإن أقل عدد من الأيام ، تقريبًا ، يجب تعليق هذا العرض هو 34 يومًا.

البديل ج) 34

3) Fuvesp - 2018

دع f: ℝ → ℝ و g:₊ → ℝ المعرفة من قبل

على التوالى.

الرسم البياني للدالة المركبة g_ºإيمان:

انظر للاجابة

الرسم البياني الذي تبحث عنه هو الدالة المركبة g_ºلذلك ، فإن الخطوة الأولى هي تحديد هذه الوظيفة. لهذا ، يجب أن نستبدل الدالة f (x) في x للدالة g (x). بإجراء هذا الاستبدال ، سنجد:

باستخدام خاصية لوغاريتم حاصل القسمة والقوة ، لدينا:

لاحظ أن الوظيفة الموجودة أعلاه هي من النوع ax + b ، وهي دالة أفيني. إذن سيكون الرسم البياني الخاص بك خطًا مستقيمًا.

أيضًا ، المنحدر a يساوي log₁₀ 5 ، وهو رقم موجب ، وبالتالي فإن الرسم البياني سوف يزداد. بهذه الطريقة ، يمكننا حذف الخيارات "ب" و "ج" و "هـ".

يتبقى لنا الخياران a و d ، ولكن عندما يكون x = 0 لدينا gof = - log₁₀ 2 وهي قيمة سالبة كما هو موضح في الرسم البياني أ.

البديل أ)

4) يونيكامب - 2014

يوضح الرسم البياني أدناه منحنى الإمكانات الحيوية q (t) لمجموعة من الكائنات الحية الدقيقة بمرور الوقت t.

بما أن a و b ثوابت حقيقية ، فإن الوظيفة التي يمكن أن تمثل هذا الجهد هي

أ) ف (ر) = في + ب
ب) ف (ر) = أب^ر
ج) ف (ر) = في² + bt
د) ف (ر) = أ + سجل _ب ر

انظر للاجابة

من الرسم البياني الموضح ، يمكننا تحديد أنه عندما تكون t = 0 ، فإن الدالة تساوي 1000. علاوة على ذلك ، من الممكن أيضًا ملاحظة أن الوظيفة ليست أفقية ، لأن الرسم البياني ليس خطاً مستقيماً.

إذا كانت الوظيفة من النوع q (t) = at²+ bt ، عندما تكون t = 0 ، ستكون النتيجة مساوية للصفر وليس 1000. إذن فهي ليست دالة تربيعية أيضًا.

كيفية تسجيل الدخول_ب0 لم يتم تعريفه ، ولا يمكن أن يكون له كإجابة الدالة q (t) = a + log_بر.

وبالتالي ، سيكون الخيار الوحيد هو الوظيفة q (t) = ab^ر. بالنظر إلى أن t = 0 ، ستكون الدالة q (t) = a ، نظرًا لأن a قيمة ثابتة ، يكفي أنها تساوي 1000 لكي تتناسب الوظيفة مع الرسم البياني المحدد.

البديل ب) q (t) = ab^ر

5) Enem (PPL) - 2015

يقترح نقابة العمال بإحدى الشركات أن يكون الحد الأدنى للراتب للفئة 1،800.00 ريال برازيلي ، مع اقتراح زيادة بنسبة مئوية ثابتة لكل عام مخصص للعمل. التعبير الذي يتوافق مع مقترح (عروض) الراتب ، كدالة لطول الخدمة (t) ، بالسنوات ، هو s (t) = 1800. (1,03)^ر .

وفقًا لاقتراح النقابة ، سيكون راتب المحترف من هذه الشركة مع عامين من الخدمة ، بالريال العماني ،

أ) 7416.00
ب) 819.24 3
ج) 3709.62 3
د) 3،708.00
هـ) 909.62 1.

انظر للاجابة

يتوافق التعبير الخاص بحساب الأجر كدالة للوقت الذي اقترحه الاتحاد مع دالة أسية.

للعثور على قيمة الراتب في الحالة المشار إليها ، دعنا نحسب قيمة s ، عندما تكون t = 2 ، كما هو موضح أدناه:

ق (2) = 1800. (1,03)² = 1800. 1,0609 = 1 909,62

البديل هـ) 1 909.62

اقرأ أيضا:

• دالة أسية
• لوغاريتم
• اللوغاريتم - تمارين
• خصائص اللوغاريتم
• التقوية
• تمارين التقوية
• وظيفة أفيني
• دالة خطية
• تمارين الوظيفة ذات الصلة
• وظيفة من الدرجة الثانية
• الوظيفة التربيعية - تمارين
• الصيغ الرياضية