ال الوسط الهندسي جنبا إلى جنب مع المتوسط الحسابي والمتوسط التوافقي تم تطويره من قبل مدرسة فيثاغورس. في إحصائية من الشائع جدًا البحث عنها تمثيل مجموعة البيانات بقيمة واحدة لاتخاذ القرار. أحد احتمالات القيمة المركزية هو المتوسط الهندسي.
من المفيد تمثيل المجموعة التي تحتوي على البيانات التي تتصرف بالقرب من ملف المتوالية الهندسية، أيضًا للعثور على جانب ميدان والمكعب ، مع معرفة المساحة والحجم على التوالي. يتم تطبيق المتوسط الهندسي أيضًا في حالات تراكم النسبة المئوية بالزيادة أو النقصان. لحساب المتوسط الهندسي لمجموعة من قيم n ، نحسب الجذر النوني لمنتج العناصر، أي ، إذا كانت المجموعة تحتوي على ثلاثة حدود ، على سبيل المثال ، فإننا نضرب الثلاثة ونحسب الجذر التكعيبي للمنتج.
صيغة المتوسط الهندسي
يستخدم المتوسط الهندسي لإيجاد متوسط القيمة بين مجموعة من البيانات. لحساب المتوسط الهندسي ، يلزم وجود مجموعة مكونة من عنصرين أو أكثر. لنفترض أن A مجموعة بيانات A = (x1، س2، س3,... xلا) ، مجموعة تحتوي على n من العناصر ، يتم حساب المتوسط الهندسي لهذه المجموعة من خلال:
اقرأ أيضا: مقاييس التشتت: الاتساع والانحراف
حساب المتوسط الهندسي
لنفترض أن أ = {3،12،16،36} ، ما هو المتوسط الهندسي لهذه المجموعة؟
القرار:
لحساب المتوسط الهندسي ، نحسب أولاً عدد الحدود في المجموعة ، في الحالة n = 4. لذلك علينا:
طريقة 1: إجراء الضرب.
نظرًا لأننا لا نمتلك دائمًا آلة حاسبة لأداء الضرب، من الممكن إجراء الحساب بناءً على التحليل إلى عوامل عدد طبيعي.
الطريقة الثانية: التخصيم.
باستخدام عوامل التفسير ، يتعين علينا:
تطبيقات المتوسط الهندسي
يمكن تطبيق المتوسط الهندسي على أي مجموعة بيانات إحصائية ، ولكنه عادة ما يكون كذلك العاملين في الهندسة، لمقارنة جوانب مناشير ومكعبات من نفس الحجم ، أو مربعات ومستطيلات من نفس المنطقة. يوجد أيضًا تطبيق بتنسيق مشاكل الرياضيات المالية التي تنطوي على نسبة مئوية متراكمة ، أي النسبة المئوية تحت النسبة المئوية. إلى جانب كونها الوسيلة الأكثر ملاءمة للبيانات التي تتصرف مثل التقدم الهندسي.
مثال 1: التطبيق بالنسبة المئوية.
المنتج ، لمدة ثلاثة أشهر ، كان لديه زيادات متتالية ، كان الأول 20٪ ، والثاني 10٪ والثالث 25٪. ما هو متوسط النسبة المئوية للزيادة في نهاية هذه الفترة؟
القرار
تكلفة المنتج مبدئيًا 100٪ ، في الشهر الأول بدأت تكلفته 120٪ ، والتي ، في شكلها العشري ، تتم كتابتها على أنها 1.2. سيكون هذا المنطق هو نفسه بالنسبة للزيادات الثلاثة ، لذلك نريد المتوسط الهندسي بين: 1.2 ؛ 1,1; و 1.25.
الزيادة 18.2٪ شهريا في المتوسط.
نرى أيضا: حساب النسبة المئوية بقاعدة من ثلاثة
مثال 2: التطبيق في الهندسة.
ماذا يجب أن تكون قيمة x في الصورة ، مع العلم أن المربع والمستطيل لهما نفس المساحة؟
القرار:
لإيجاد قيمة x لضلع المربع ، سنحسب المتوسط الهندسي بين جانبي المستطيل.
إذن ، ضلع المربع يساوي 12 سم.
المثال 3: المتوالية الهندسية.
ما هي شروط PG ، مع العلم أن سلف القيمة المركزية هو x ، والقيمة المركزية 10 ، وخلف القيمة المركزية هو 4x.
القرار:
نحن نعرف شروط P.G. (x، 10.4x) ونعلم أن المتوسط الهندسي بين الخلف والسلف يساوي الحد المركزي لـ PG ، لذلك علينا:
الفرق بين المتوسط الهندسي والمتوسط الحسابي
في الإحصاء ، تعتبر الطريقة التي تتصرف بها البيانات مهمة جدًا لاختيار قيمة واحدة لتمثيلها. هذا هو السبب في وجود أنواع من التدابير المركزية وهناك أنواع الوسائط.
يجب أن يتم اختيار المتوسط الذي يجب استخدامه مع مراعاة مجموعة البيانات التي نعمل عليها. كما هو موضح في المثال ، إذا كانت البيانات هي التي تتصرف بالقرب من التقدم الهندسي ولديها أكبر نمو أسي ، يوصى بالمتوسط الهندسي.
في حالات أخرى ، في الغالب نستخدم ال المتوسط الحسابي، على سبيل المثال ، متوسط وزن الفرد على مدار العام. عند مقارنة حساب نوعين من المتوسط لنفس مجموعة البيانات ، سيكون الشكل الهندسي دائمًا أصغر من الحساب.
عندما نقارن معادلة المتوسط الحسابي مع صيغة المتوسط الهندسي ، نلاحظ الفرق ، حيث يتم حساب الأولى بواسطة مجموع المصطلحات مقسمةال بمقدار الشروط، بينما الثاني ، كما رأينا ، يحسب بالجذر النوني لحاصل ضرب كل الحدود.
مثال 4: بالنظر إلى المجموعة (3 ، 9 ، 27 ، 81 ، 243) ، أدرك أنها P.G. من النسبة 3 ، لأننا من الحد الأول إلى الحد الثاني نضرب في ثلاثة ، ومن الثاني إلى الثالث أيضًا ، وهكذا. عند البحث عن قيمة مركزية لتمثيل هذه المجموعة ، من الناحية المثالية ، يجب أن تكون المصطلح المركزي للتقدم ، والذي يحدث إذا قمنا بحساب الوسط الهندسي. ومع ذلك ، عند حساب المتوسط الحسابي ، فإن القيم الأكبر تجعل قيمة هذا المتوسط عالية جدًا بالنسبة إلى شروط المجموعة ، وكلما كانت القيمة أكبر ، كلما كان المتوسط الحسابي بعيدًا عن تمثيل المصطلح المركزي.
القرار:
الوسيط الحسابي الأول
المتوسط الهندسي الثاني
الوصول أيضًا إلى: الموضة ، متوسط ومتوسطأ - تدابير مركزية
تمارين حلها
السؤال رقم 1 - شهد سعر البنزين في البرازيل زيادات كبيرة في الأشهر الأخيرة. وكانت الزيادات الشهرية في الأشهر الأربعة الماضية 9٪ و 15٪ و 25٪ و 16٪ على التوالي. ما هو متوسط النسبة المئوية للزيادة في هذه الفترة؟
أ) 15٪
ب) 15.5٪
ج) 16٪
د) 14٪
هـ) 14.5٪
القرار
البديل أ
السؤال 2 - المنشور ذو القاعدة المستطيلة له نفس حجم المكعب. مع العلم أن أبعاد المنشور طولها 6 سم وارتفاعها 20 سم وعرضها 25 سم ، فما قيمة ضلع المكعب بالسنتيمتر؟
القرار:
البديل د
بقلم راؤول رودريغيز دي أوليفيرا
مدرس مادة الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/media-geometrica.htm
