حساب الدالة التربيعية

ال وظيفة من الدرجة الثانية، وتسمى أيضا دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثانية، هي دالة ممثلة بالتعبير التالي:

و (س) = الفأس² + ب س + ج

أين ال, ب و ç هي أرقام حقيقية و ال ≠ 0.

مثال:

و (س) = 2 س² + 3 س + 5 ،

يجري،

أ = 2
ب = 3
ج = 5

في هذه الحالة ، تكون كثيرة الحدود للوظيفة التربيعية من الدرجة 2 ، لأنها أكبر أس للمتغير.

كيف تحل دالة تربيعية؟

تفحص ال خطوة بخطوة من خلال مثال لحل الدالة التربيعية:

مثال

أوجد a و b و c في الدالة التربيعية المعطاة بالصيغة التالية: f (x) = ax² + bx + c ، يجري:

و (-1) = 8
و (0) = 4
و (2) = 2

أولاً ، دعنا نستبدل ملف x حسب قيم كل دالة ، وبالتالي سيكون لدينا:

و (-1) = 8
إلى 1)² + ب (-1) + ج = 8
أ - ب + ج = 8 (المعادلة I)

و (0) = 4
ال. 0² + ب. 0 + ج = 4
ج = 4 (المعادلة II)

و (2) = 2
ال. 2² + ب. 2 + ج = 2
4 أ + 2 ب + ج = 2 (المعادلة III)

من خلال الوظيفة الثانية f (0) = 4 ، لدينا بالفعل قيمة c = 4.

لذلك ، دعنا نستبدل القيمة التي تم الحصول عليها ç في المعادلتين الأولى والثالثة لتحديد المجهول الآخر (ال و ب):

(المعادلة I)

أ - ب + 4 = 8
أ - ب = 4
أ = ب + 4

نظرًا لأن لدينا معادلة ال بالمعادلة I ، لنعوض في III لتحديد قيمة ب:

(المعادلة III)

4 أ + 2 ب + 4 = 2
4 أ + 2 ب = - 2
4 (ب + 4) + 2 ب = - 2
4 ب + 16 + 2 ب = - 2
6 ب = - 18
ب = - 3

أخيرًا ، للعثور على قيمة ال نستبدل قيم ب و ç التي تم العثور عليها بالفعل. هكذا:

(المعادلة I)

أ - ب + ج = 8
أ - (- 3) + 4 = 8
أ = - 3 + 4
أ = 1

وبالتالي ، فإن معاملات الدالة التربيعية المعينة هي:

أ = 1
ب = - 3
ج = 4

جذور الوظيفة

تمثل جذور أو أصفار دالة الدرجة الثانية قيم x بحيث تكون f (x) = 0. يتم تحديد جذور الوظيفة من خلال حل معادلة الدرجة الثانية:

و (س) = الفأس² + ب س + ج = 0

لحل معادلة الدرجة الثانية ، يمكننا استخدام عدة طرق ، واحدة من أكثرها استخدامًا هي تطبيق صيغة باسكارا، بمعنى آخر:

مثال

أوجد أصفار الدالة f (x) = x² - 5x + 6.

حل:

يجرى
أ = 1
ب = - 5
ج = 6

باستبدال هذه القيم في صيغة Bhaskara ، لدينا:

إذن ، الجذور هي 2 و 3.

لاحظ أن عدد جذور الدالة التربيعية سيعتمد على القيمة التي حصل عليها التعبير: Δ = ب² – 4. قبل الميلاد، وهو ما يسمى المميز.

هكذا،

• إذا Δ > 0، سيكون للدالة جذران حقيقيان ومميزان (x₁ ≠ x₂);
• إذا Δ ، لن يكون للوظيفة جذر حقيقي ؛
• إذا Δ = 0، سيكون للدالة جذران حقيقيان ومتساويان (x₁ = س₂).

الرسم البياني للوظيفة التربيعية

الرسم البياني لوظائف الدرجة الثانية عبارة عن منحنيات تسمى القطع المكافئ. مختلف عن وظائف الدرجة الأولى، عندما يكون من الممكن رسم الرسم البياني بمعرفة نقطتين ، في الدوال التربيعية ، من الضروري معرفة عدة نقاط.

يقطع منحنى الدالة التربيعية المحور x عند جذور أو أصفار الوظيفة ، بحد أقصى نقطتين اعتمادًا على قيمة المميز (Δ). اذا لدينا:

• إذا كانت> 0 ، فإن الرسم البياني سيقطع المحور x عند نقطتين ؛
• إذا Δ
• إذا كانت Δ = 0 ، فإن القطع المكافئ سوف يلمس المحور x عند نقطة واحدة فقط.

هناك نقطة أخرى تسمى رأس القطع المكافئ، وهي القيمة القصوى أو الدنيا للدالة. تم العثور على هذه النقطة باستخدام الصيغة التالية:

يمثل الرأس نقطة القيمة القصوى للدالة عندما يكون القطع المكافئ متجهًا لأسفل والحد الأدنى للقيمة عندما يكون متجهًا لأعلى.

من الممكن تحديد موضع تقعر المنحنى من خلال تحليل إشارة المعامل فقط ال. إذا كان المعامل موجبًا ، فسيكون التقعر متجهًا لأعلى ، وإذا كان سالبًا ، فسيكون لأسفل ، أي:

لذلك ، لرسم الرسم البياني لدالة من الدرجة الثانية ، يمكننا تحليل قيمة ال، احسب أصفار الدالة ورأسها وكذلك النقطة التي يقطع فيها المنحنى المحور y ، أي عندما تكون x = 0.

من الأزواج المرتبة المحددة (س ، ص) ، يمكننا بناء عدد القطع المكافئ فكرة مبدعةمن خلال الربط بين النقاط التي تم العثور عليها.

تمارين امتحان القبول مع الملاحظات

1. (Vunesp-SP) جميع القيم الممكنة لـ م التي تحقق عدم المساواة 2x² - 20x - 2m> 0 ، للجميع x تنتمي إلى مجموعة الريايس ، يتم تقديمها بواسطة:

أ) م> 10
ب) م> 25
ج) م> 30
د) م ه) م

انظر للاجابة

البديل ب) م> 25

2. (EU-CE) الرسم البياني للوظيفة التربيعية f (x) = ax² + bx قطع مكافئ رأسه هو النقطة (1 ، - 2). عدد عناصر المجموعة x = {(- 2، 12)، (–1،6)، (3،8)، (4، 16)} التي تنتمي إلى الرسم البياني لهذه الوظيفة هو:

إلى 1
ب) 2
ج) 3
د) 4

انظر للاجابة

البديل ب) 2

3. (Cefet-SP) مع العلم أن معادلات النظام هي x. y = 50 و x + y = 15 ، القيم الممكنة لـ x و ذ هم انهم:

أ) {(5.15) ، (10.5)}
ب) {(10.5) ، (10.5)}
ج) {(5.10) ، (15.5)}
د) {(5.10) ، (5.10)}
هـ) {(5.10) ، (10.5)}

انظر للاجابة

البديل هـ) {(5.10) ، (10.5)}

اقرأ أيضا:

• معادلة الدرجة الأولى
• معادلة الدرجة الثانية
• تمارين الوظيفة ذات الصلة
• معادلة المدرسة الثانوية - تمارين
• وظيفة معيارية
• دالة أسية
• الدالة متعددة الحدود
• الوظيفة المركبة
• وظيفة الحاقن
• وظيفة Bijector
• وظيفة Overjet
• وظيفة عكسية
• الوظيفة التربيعية - تمارين
• كثيرات الحدود
• التخصيم متعدد الحدود
• الوظيفة الأسية - تمارين
• الرياضيات في العدو
• الصيغ الرياضية