أنشأنا أ احتلال عندما نربط كمية واحدة أو أكثر. يمكن دراسة جزء من الظواهر الطبيعية بفضل التطور في هذا المجال من الرياضيات. تنقسم دراسة الوظائف إلى قسمين ، لدينا الجزء العام الذي ندرس فيه المفاهيمجنرال لواء، والجزء المحدد ، حيث ندرس حالات معينة، مثل دوال كثيرة الحدود والوظائف الأسية.
نرى أيضا: كيف ترسم دالة؟
ما هي الوظائف؟
الوظيفة هي تطبيق يتعلق بعناصر اثنين مجموعات ليس فارغا. ضع في اعتبارك مجموعتين غير فارغتين A و B ، حيث دالة F يتصل كل عنصر من أ إلى واحد فقط عنصر B.
لفهم هذا التعريف بشكل أفضل ، تخيل ركوب سيارة أجرة. لكل رحلة ، أي لكل مسافة يتم قطعها ، يوجد سعر مختلف وفريد ، أي أنه ليس من المنطقي أن يكون للرحلة سعرين مختلفين.
يمكننا تمثيل هذه الوظيفة التي تأخذ العناصر من المجموعة أ إلى المجموعة ب بالطرق التالية.
لاحظ أنه لكل عنصر من عناصر المجموعة أ ، هناك ملف عنصر واحد مرتبط معه في المجموعة ب. الآن يمكننا أن نفكر ، بعد كل شيء ، عندما العلاقة بين مجموعتين لن تكون وظيفة؟ حسنًا ، عندما يرتبط عنصر من المجموعة A بعنصرين متميزين من B ، أو عندما تكون هناك عناصر من المجموعة A غير مرتبطة بعناصر B. نظرة:
بشكل عام ، يمكننا كتابة دالة جبريًا مثل هذا:
F: أ → ب
س → ص
لاحظ أن الوظيفة تأخذ عناصر من المجموعة A (ممثلة بـ x) وتأخذهم إلى عناصر B (ممثلة بـ y). يمكننا أيضًا أن نقول أن عناصر المجموعة B معطاة بدلالة عناصر المجموعة A ، لذلك يمكننا تمثيل y من خلال:
ص = F(خ)
يقرأ: (y يساوي f لـ x)
المجال والمجال المشترك وصورة الدور
عندما يكون لدينا دور F، يتم إعطاء المجموعات المرتبطة أسماء خاصة. لذلك ضع في اعتبارك دالة F التي تأخذ العناصر من المجموعة أ إلى العناصر من المجموعة ب:
F: أ → ب
المجموعة أ ، التي تنطلق منها العلاقات ، تسمى نطاق من الوظيفة ، والمجموعة التي تتلقى "الأسهم" من هذه العلاقة تسمى المجال المضاد. نشير إلى هذه المجموعات على النحو التالي:
دF = أ → مجال F
قرص مضغوطF = B → المجال المقابل لـ F
تسمى المجموعة الفرعية من المجال المضاد لوظيفة مكونة من عناصر تتعلق بعناصر المجموعة صورة من الوظيفة ويشار إليها من قبل:
أنا أكونF → صورة F
- مثال
ضع في اعتبارك الوظيفة f: A → B الممثلة في الرسم البياني أدناه وحدد المجال والمجال المضاد والصورة.
كما ذكرنا سابقًا ، المجموعة أ = {1 ، 2 ، 3 ، 4} هي مجال الوظيفة F، بينما المجموعة B = {0، 2، 3، –1} هي المجال المقابل لنفس الوظيفة. الآن ، لاحظ أن المجموعة المكونة من العناصر التي تتلقى السهم (باللون البرتقالي) المكونة من العناصر {0 ، 2 ، –1} هي مجموعة فرعية من النطاق المقابل B ، هذه المجموعة هي صورة الوظيفة F، هكذا:
دF = أ = {1 ، 2 ، 3 ، 4}
قرص مضغوطF = ب = {0 ، 2 ، 3 ، -1}
أنا أكونF = {0, 2, –1}
نقول أن 0 هي صورة عنصر 1 من المجال ، وكذلك 2 إنها صورة للعناصر 2 و 3 من المجال ، و –1 هي صورة عنصر 4 المجال. لمعرفة المزيد حول هذه المفاهيم الثلاثة ، اقرأ: دالمجال والمجال المشترك والصورة.
وظيفة الهدوء
وظيفة F: A → B ستكون طائشة أو تخيلية إذا ، وفقط إذا ، تتطابق مجموعة الصور مع التناقض ، أي ، إذا كانت جميع عناصر النطاق المتناقض عبارة عن صور.
نقول إذن أن الوظيفة تكون خاطئة عندما تتلقى جميع عناصر المجال المقابل أسهم. إذا كنت تريد التعمق في هذا النوع من الوظائف ، فقم بزيارة النص الخاص بنا: وظيفة Overjet.
وظيفة الحقن
وظيفة F: A → B ستكون حقنة أو حقنة إذا ، وفقط إذا ، كانت العناصر المميزة للمجال لها صور مميزة في المجال المقابل ، أي ، مثل الصور يتم إنشاؤها بواسطة عناصر متشابهة في المجال.
لاحظ أن الشرط هو أن العناصر المختلفة للمجال تتعلق بعناصر مختلفة من المجال المضاد ، فلا توجد مشكلة مع العناصر المتبقية في المجال المقابل. لفهم هذا المفهوم بشكل أفضل ، يمكنك قراءة النص: وظيفة الحاقن.
وظيفة Bijector
وظيفة F: A → B سيكون حيويًا إذا ، وفقط إذا كان كذلك حاقن وطارد في وقت واحد، أي أن العناصر المميزة للمجال لها صور مميزة ، وتتزامن الصورة مع المجال المضاد.
- مثال
في كل حالة ، برر ما إذا كانت الدالة f (x) = x2 إنه حاقن أو حاقن أو حاقن.
ال) F: ℝ+ → ℝ
لاحظ أن مجال الوظيفة هو جميع القيم الحقيقية الإيجابية والمجال المقابل هو جميع الأرقام الحقيقية. نعلم أن الدالة f مُعطاة من خلال f (x) = x2، تخيل الآن أن جميع الأعداد الحقيقية الموجبة عالي تربيعًا ، ستكون جميع الصور إيجابية أيضًا. لذلك يمكننا أن نستنتج أن الوظيفة هي الحقن وليست خاطئة ، لأن الأعداد الحقيقية السالبة لن تتلقى أسهمًا.
يتم الحقن ، حيث أن كل عنصر من عناصر المجال (ℝ+) يتعلق فقط بعنصر واحد من المجال المضاد (ℝ).
ب) F: ℝ → ℝ+
الوظيفة ، في هذه الحالة ، لها المجال مثل كل الحقيقي والمجال المقابل كحقائق إيجابية. نعلم أن أي عدد حقيقي تربيع يكون موجبًا ، لذا فإن جميع عناصر النطاق المقابل قد تلقت أسهمًا ، وبالتالي فإن الوظيفة تخمينية. لن يتم الحقن لأن عناصر المجال تتعلق بعنصري المجال المضاد ، على سبيل المثال:
F(–2) = (–2)2 = 4
F(2) = (2)2 = 4
ç) F:ℝ+ → ℝ+
في هذا المثال ، تحتوي الوظيفة على المجال والمجال المقابل كأرقام حقيقية موجبة ، وبالتالي فإن الوظيفة هي جامع لأن كل رقم حقيقي موجب يتعلق برقم واحد عدد حقيقي موجب من المجال المقابل ، في هذه الحالة مربع الرقم. بالإضافة إلى ذلك ، تلقت جميع أرقام النطاق المقابل أسهمًا.
الوظيفة المركبة
ال الوظيفة المركبة يرتبط ب فكرة الاختصار. ضع في اعتبارك ثلاث مجموعات غير فارغة A و B و C. ضع في اعتبارك أيضًا وظيفتين f و g ، حيث تأخذ الدالة f العناصر x من المجموعة A إلى العناصر y = f (x) من المجموعة B ، والدالة g تأخذ العناصر y = f (x) إلى العناصر z من المجموعة C.
تستقبل الوظيفة المركبة هذا الاسم لأنه تطبيق يأخذ العناصر من المجموعة A مباشرة إلى العناصر من المجموعة C ، دون المرور بالمجموعة B ، من خلال تكوين الدالتين f و g. نظرة:
الدالة المشار إليها بواسطة (f o g) تأخذ العناصر من المجموعة A مباشرة لتعيين C. إنها تسمى الوظيفة المركبة.
- مثال
ضع في اعتبارك الوظيفة f (x) = x2 والدالة g (x) = x + 1. أوجد الدوال المركبة (f o g) (x) و (g o f) (x).
تُعطى الدالة f o g بواسطة الدالة g المطبقة على f ، وهي:
(f o g) (x) = f (g (x))
لتحديد هذه الدالة المركبة ، يجب أن نأخذ في الاعتبار الدالة F، وبدلاً من المتغير x ، يجب كتابة الدالة ز. نظرة:
x2
(x + 1)2
(f o g) (x) = f (g (x)) = x2 + 2x + 1
وبالمثل ، لتحديد الوظيفة المركبة (g o f) (x) ، يجب علينا تطبيق الوظيفة F في الدور ز، أي ، ضع في اعتبارك الوظيفة g واكتب الدالة f بدلاً من المتغير. نظرة:
(x + 1)
x2 + 1
لذلك ، فإن الوظيفة المركبة (g o f) (x) = g (f (x)) = x2 + 1.
دالة زوجية
ضع في اعتبارك وظيفة F: A → ℝ ، حيث A هي مجموعة فرعية من القيم الحقيقية غير الفارغة. ستكون الوظيفة f زوجية فقط لجميع أنواع x الحقيقية.
مثال
ضع في اعتبارك الوظيفة F: ℝ → ℝ ، معطى بواسطة f (x) = x2.
لاحظ أنه لأي قيمة x حقيقية ، إذا كانت مربعة ، تكون النتيجة موجبة دائمًا ، أي:
و (س) = س2
و
و (–x) = (–x)2 = س2
لذا فإن f (x) = f (–x) لأي قيمة x حقيقية ، وبالتالي فإن الدالة F إنه زوج.
اقرأ أيضا:خصائص القوةق - ما هي وكيف في استعمالهواء؟
وظيفة فريدة
ضع في اعتبارك وظيفة F: A → ℝ ، حيث A هي مجموعة فرعية من القيم الحقيقية غير الفارغة. ستكون الدالة f فردية فقط لجميع أنواع x الحقيقية.
- مثال
ضع في اعتبارك الوظيفة F: ℝ → ℝ ، معطى بواسطة f (x) = x3.
لاحظ أنه لأي قيمة لـ x يمكننا كتابة ذلك (–x)3 = -x3. تحقق من بعض الأمثلة:
(–2)3 = –23 = –8
(–3)3 = –33 = –27
لذلك يمكننا أن نقول:
و (–x) = (–x)3 = –x3
و (–x) = (–x)3 = –و (خ)
لذلك بالنسبة لأي x f حقيقي (–x) = –f (x) ، وبالتالي فإن الدالة f (x) = x3 فريد من نوعة.
زيادة وظيفة
وظيفة F é ينمو في الفاصل الزمني إذا وفقط إذا ، مع نمو عناصر المجال ، تنمو صورهم أيضًا. نظرة:
لاحظ أن x1 > س2 ونفس الشيء يحدث مع الصورة ، حتى نتمكن من إنشاء شرط جبري للدالة F يكون ينمو.
وظيفة تنازلية
وظيفة F é تناقص في الفاصل الزمني إذا وفقط إذا ، مع نمو عناصر المجال ، تتناقص صورها. نظرة:
نرى أنه في مجال الوظيفة ، لدينا x1 > س2، ولكن هذا لا يحدث في صورة الوظيفة ، حيث f (x1) 2). لذلك يمكننا إنشاء شرط جبري لتقليل الدوال. نظرة:
وظيفة ثابتة
كما يقول الاسم ، أ الوظيفة ثابت متى ، لأي قيمة المجال ، قيمة الصورة هي نفسها دائما.
وظيفة ذات صلة
ال دالة أفيني أو كثيرة الحدود من الدرجة الأولى مكتوب بالصيغة:
و (س) = الفأس + ب
حيث يكون a و b رقمين حقيقيين ، يكون a غير صفري ، والرسم البياني الخاص بك عبارة عن خط. الوظيفة لها مجال حقيقي ومجال مضاد حقيقي أيضًا.
وظيفة من الدرجة الثانية
ال وظيفة من الدرجة الثانية أو دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثانية أ متعدد الحدود من الصف الثاني ، هكذا:
و (س) = الفأس2 + ب س + ج
حيث تكون a و b و c أرقامًا حقيقية مع عدد غير صفري ، والرسم البياني الخاص بك هو a موعظة. يحتوي الدور أيضًا على مجال حقيقي ومجال مضاد.
وظيفة معيارية
ال وظيفة معيارية مع يجد المتغير x-إذا داخل الوحدة ويتم التعبير عنها جبريًا بواسطة:
و (س) = | س |
تحتوي الوظيفة أيضًا على مجال حقيقي ومجال مضاد ، أي يمكننا حساب القيمة المطلقة لأي رقم حقيقي.
دالة أسية
ال دالة أسيةيعرض المتغير x في الأس. كما أن لها مجالًا حقيقيًا ومجالًا مضادًا حقيقيًا ويتم وصفها جبريًا بواسطة:
و (س) = أx
حيث a هو رقم حقيقي أكبر من الصفر.
دالة لوغاريتمية
ال دالة لوغاريتمية لديه متغير في اللوغاريتم والمجال يتكون من أعداد حقيقية أكبر من الصفر.
الدوال المثلثية
في الدوال المثلثية لديك متغير x يتضمن النسب المثلثيةأهمها:
و (س) = الخطيئة (س)
و (س) = كوس (س)
و (س) = tg (س)
وظيفة الجذر
تتميز وظيفة الجذر بوجود متغير داخل الجذر، مع هذا ، إذا كان فهرس الجذر زوجيًا ، فإن مجال الوظيفة يصبح فقط الأرقام الحقيقية الموجبة.
بواسطة روبسون لويز
مدرس مادة الرياضيات