مجموع الزوايا الداخلية والخارجية لمضلع محدب

أنت المضلعات المحدبة هم أولئك الذين ليس لديهم تقعر. لمعرفة ما إذا كان المضلع محدبًا أم لا ، يجب أن نلاحظ ما إذا كان أي مقطع خط مستقيم بنهايات في الشكل لا يمر عبر المنطقة الخارجية.

في المضلعات المحدبة ، توجد صيغ تسمح لك بتحديد مجموع الزوايا الداخلية والخارجية. الدفع!

مجموع الزوايا الداخلية لمضلع محدب

صيغة مجموع الزوايا الداخلية لمضلع محدب مع n جوانب هي:

$\ نقطة في البوصة {120} \ mathbf {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

برهنة:

إذا نظرنا ، سنرى أن كل مضلع محدب يمكن تقسيمه إلى عدد معين من المثلثات. انظر بعض الأمثلة:

لذا ، تذكر أن ملف مجموع الزوايا الداخلية للمثلث تساوي دائمًا 180 درجة ، يمكننا أن نرى أن مجموع الزوايا الداخلية في هذه الأشكال أعلاه سيُعطى بعدد المثلثات التي يمكن أن يقسمها الشكل على 180 درجة:

رباعي الزوايا: 2 مثلثات ⇒ $\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {S_i = 2 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$
البنتاغون: 3 مثلثات ⇒ $\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {S_i = 3 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 540 ^ {\ circ}}$
سداسي الزوايا: 4 مثلثات ⇒ $\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {S_i = 4 \ cdot 180 ^ {\ circ} = 720 ^ {\ circ}}$

للحصول على صيغة لحساب مجموع الزوايا الداخلية لمضلع محدب ، نحتاج فقط إلى معرفة ، بشكل عام ، عدد المثلثات التي يمكن تقسيم المضلع المحدب إليها.

إذا لاحظنا وجود علاقة بين هذه الكمية وعدد جوانب الأشكال. عدد المثلثات يساوي عدد أضلاع الشكل مطروحًا منه 2 ، أي:

$\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {إجمالي \ ، من \ ، ثلاثي \ قبعة {a} الزوايا = n - 2}$

شكل رباعي: 4 جوانب ⇒ n - 2 = 4-2 = 2
البنتاغون: 5 جوانب ⇒ n - 2 = 5-2 = 3
مسدس: 6 جوانب ⇒ n - 2 = 6-2 = 4

instagram story viewer

لذلك ، بشكل عام ، يتم الحصول على مجموع الزوايا الداخلية لمضلع محدب من خلال: $\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

وهي الصيغة التي أردنا توضيحها.

مثال:

أوجد مجموع الزوايا الداخلية لشكل مضلع عشري محدب.

الشكل العشري أضلاع هو مضلع من عشرين ضلعًا ، أي ن = 20. دعنا نستبدل هذه القيمة في الصيغة:

$\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {S_i = (n-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {S_i = (20-2) \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {S_i = 18 \ cdot 180 ^ {\ circ}}$

$\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {S_i = 3240 ^ {\ circ}}$

لذلك ، فإن مجموع الزوايا الداخلية للشكل العشري المحدب يساوي 3240 درجة.

مجموع الزوايا الخارجية لمضلع

ال مجموع الزوايا الخارجية لمضلع محدب تساوي دائمًا 360 درجة ، أي:

$\ نقطة في البوصة {120} \ mathbf {S_e = 360 ^ {\ circ}}$

برهنة:

تحقق من بعض الدورات المجانية

دورة تعليمية شاملة مجانية عبر الإنترنت
دورة تعليمية ومكتبة ألعاب مجانية على الإنترنت
دورة مجانية على الإنترنت لألعاب الرياضيات في تعليم الطفولة المبكرة
دورة ورش عمل ثقافية تربوية مجانية عبر الإنترنت

سنبين بأمثلة أن مجموع الزوايا الخارجية لمضلع محدب لا يعتمد على عدد جوانب الشكل ويساوي دائمًا 360 درجة.

رباعي:

رباعي الزوايا لاحظ أن كل زاوية داخلية تشكل زاوية 180 درجة مع الزاوية الخارجية. لذلك ، نظرًا لوجود أربعة رؤوس ، فإن مجموع كل الزوايا يساوي 4. 180° = 720°.

بمعنى آخر: $\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {S_i + S_e = 720 ^ {\ circ}}$

هكذا:

$\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - S_i}$

مرة واحدة $\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {S_i = 360 ^ {\ circ}}$ ، ومن بعد:

$\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 720 ^ {\ circ} - 360 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$

خماسي الاضلاع:

في البنتاغون ، لدينا 5 رؤوس ، إذن مجموع كل الزوايا يساوي 5. 180° = 900°. هكذا: $\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {S_i + S_e = 900 ^ {\ circ}}$ . ثم: $\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - S_i}$ . مرة واحدة $\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {S_i = 540 ^ {\ circ}}$ ، ومن بعد: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 900 ^ {\ circ} - 540 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$ .

سداسي الزوايا:

في الشكل السداسي ، لدينا 6 رؤوس ، إذن مجموع كل الزوايا يساوي 6. 180° = 1080°. هكذا: $\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1080 ^ {\ circ}}$ . ثم: $\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ circ} - S_i}$ . مرة واحدة $\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {S_i = 710 ^ {\ circ}}$ ، ومن بعد: $\ dpi {120} \ mathrm {S_e = 1080 ^ {\ circ} - 720 ^ {\ circ} = 360 ^ {\ circ}}$ .

كما ترون ، في جميع الأمثلة الثلاثة ، مجموع الزوايا الخارجية ، $\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {S_e}$ ، أدى إلى 360 درجة.

مثال:

مجموع الزوايا الداخلية والخارجية للمضلع يساوي 1800 درجة. ما هذا المضلع؟

نحن لدينا: $\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {S_i + S_e = 1800 ^ {\ circ}}$ . مع العلم أن في أي مضلع $\ نقطة في البوصة {120} \ mathrm {S_e = 360 ^ {\ circ}}$ ، إذن لدينا: