تمارين الأعداد المعقدة: قائمة الأسئلة والتعليقات التي تم حلها

أنت ارقام مركبة تجعل من الممكن حل المسائل الرياضية التي ليس لها حلول في مجموعة أرقام حقيقية.

في عدد مركب مكتوب كـ $\ نقطة في البوصة {120} z = a + bi$ نقول ذلك $\ نقطة في البوصة {120} إلى$ هو الجزء الحقيقي ، $\ نقطة في البوصة {120} ب$ هو الجزء التخيلي و $\ نقطة في البوصة {120} أنا = \ sqrt {-1}$ إنها الوحدة التخيلية.

كي يؤدي العمليات ذات الأعداد المركبة، هناك بعض التعبيرات التي تسهل العمليات الحسابية. انصح $\ نقطة في البوصة {120} z_1 = أ + ثنائي$ و $\ نقطة في البوصة {120} z_2 = c + di$ .

تعبير الجمع بين الأعداد المركبة:

$\ نقطة في البوصة {120} z_1 + z_2 = (أ + ج) + (ب + د) ط$

التعبير عن الطرح بين الأعداد المركبة:

$\ نقطة في البوصة {120} z_1 - z_2 = (أ-ج) + (ب - د) ط$

التعبير عن الضرب بين الأعداد المركبة:

$\ نقطة في البوصة {120} z_1 \ cdot z_2 = (ac - db) + (ad + cb) i$

التعبير عن القسمة بين الأعداد المركبة:

$\ dpi {120} \ frac {z_1} {z_2} = \ frac {(ac + bd)} {c ^ 2 + d ^ 2} + \ frac {(bc - ad)} {c ^ 2 + d ^ 2 }أنا$

أدناه قائمة أسئلة تم حلها بتمارين على الأعداد المركبة. تعلم كيفية استخدام كل من المفاهيم التي تنطوي على هذه الأرقام!

فهرس

قائمة التدريبات على الأعداد المركبة
حل السؤال 1
حل السؤال 2
حل السؤال 3
حل السؤال 4
حل السؤال 5
حل السؤال 6
حل السؤال 7
حل السؤال 8

قائمة التدريبات على الأعداد المركبة

السؤال رقم 1. بالنظر إلى الأعداد المركبة $\ نقطة في البوصة {120} z_1 = 2 + 3i$ , $\ نقطة في البوصة {120} z_2 = 2 - 5i$ و $\ نقطة في البوصة {120} z_3 = -1 + 4i$ تحديد قيمة $\ نقطة في البوصة {120} أ$ ، متي $\ نقطة في البوصة {120} أ = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

السؤال 2. أوجد قيم $\ نقطة في البوصة {120} ×$ و $\ نقطة في البوصة {120} ذ$ مثل ذلك $\ نقطة في البوصة {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

السؤال 3. بالنظر إلى الأعداد المركبة $\ نقطة في البوصة {120} z_1 = -2 - 5i$ و $\ نقطة في البوصة {120} z_2 = 1 + 3i$ ، تحديد قيمة $\ نقطة في البوصة {120} أ \ cdot ب$ ، متي $\ نقطة في البوصة {120} أ = z_1 \ cdot \ شريط {z_1}$ و $\ نقطة في البوصة {120} ب = z_2 \ cdot \ شريط {z_2}$ .

السؤال 4. احسب قيمة $\ نقطة في البوصة {120} ص$ و $\ نقطة في البوصة {120} ف$ لماذا $\ نقطة في البوصة {120} z_1: z_2 = q + 2i$ ، متي $\ نقطة في البوصة {120} z_1 = 3 - بي$ و $\ نقطة في البوصة {120} z_2 = 1 + 2i$ .

السؤال 5. أوجد قيمة $\ نقطة في البوصة {120} إلى$ لماذا $\ نقطة في البوصة {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ أن يكون رقمًا وهميًا خالصًا.

السؤال 6. احسب قوى الوحدة التخيلية التالية $\ نقطة في البوصة {120} ط$ :

instagram story viewer

ال) $\ نقطة في البوصة {120} أنا ^ {16}$
ب) $\ نقطة في البوصة {120} أنا ^ {200}$
ç) $\ نقطة في البوصة {120} i ^ {829}$
د) $\ نقطة في البوصة {120} أنا ^ {11475}$

السؤال 7. أوجد حل المعادلة $\ نقطة في البوصة {120} × ^ 2 + 9 = 0$ في مجموعة الأعداد المركبة.

السؤال 8. حدد حل المعادلة $\ نقطة في البوصة {120} × ^ 2 + س + 1 = 0$ في مجموعة الأعداد المركبة.

حل السؤال 1

نحن لدينا $\ نقطة في البوصة {120} z_1 = 2 + 3i$ و $\ نقطة في البوصة {120} z_2 = 2 - 5i$ و $\ نقطة في البوصة {120} z_3 = -1 + 4i$ ونريد تحديد قيمة $\ نقطة في البوصة {120} أ$ ، متي $\ نقطة في البوصة {120} أ = z_2 + 4z_3 -3z_1$ .

أولا ، دعونا نحسب $\ نقطة في البوصة {120} 4z_3$ و $\ نقطة في البوصة {120} 3z_1$ بشكل منفصل:

$\ نقطة في البوصة {120} 4z_3 = 4. (- 1 + 4i) = -4 + 16i$

$\ نقطة في البوصة {120} 3z_1 = 3. (2 + 3i) = 6 + 9i$

الآن دعونا نحسب $\ نقطة في البوصة {120} أ$ :

$\ نقطة في البوصة {120} أ = z_2 + 4z_3 -3z_1$

$\ نقطة في البوصة {120} \ Rightarrow A = (2-5i) + (- 4 + 16i) - (6 + 9i)$

$\ نقطة في البوصة {120} \ Rightarrow A = (2-4-6) + (-5 + 16-9) ط$

$\ نقطة في البوصة {120} \ Rightarrow A = -8 + 2i$

حل السؤال 2

نريد إيجاد x و y لذلك $\ نقطة في البوصة {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$ .

بالتعبير عن المجموع بين عددين مركبين ، علينا أن:

$\ نقطة في البوصة {120} (2 + xi) + (y-5i) = 3-i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow (2 + y) + (x-5) i = 3-i$

لذلك يجب أن يكون لدينا $\ نقطة في البوصة {120} (2 + ص) = 3$ و $\ نقطة في البوصة {120} (x-5) أنا = -i$ . لنحل هاتين المعادلتين لإيجاد x و y.

$\ نقطة في البوصة {120} (2 + ص) = 3 \ السهم الأيمن ص = 3-2 \ السهم الأيمن ص = 1$

$\ نقطة في البوصة {120} (x-5) i = -i \ Rightarrow x- 5 = -1 \ Rightarrow x = -1 + 5 \ Rightarrow x = 4$

حل السؤال 3

نحن لدينا $\ نقطة في البوصة {120} z_1 = -2 - 5i$ و $\ نقطة في البوصة {120} z_2 = 1 + 3i$ ونريد تحديد قيمة $\ نقطة في البوصة {120} أ \ cdot ب$ ، متي $\ نقطة في البوصة {120} أ = z_1 \ cdot \ شريط {z_1}$ و $\ نقطة في البوصة {120} ب = z_2 \ cdot \ شريط {z_2}$ .

أولا ، نحسب $\ نقطة في البوصة {120} أ = z_1 \ cdot \ شريط {z_1}$ .

$\ نقطة في البوصة {120} أ = z_1 \ cdot \ شريط {z_1}$

$\ نقطة في البوصة {120} \ Rightarrow A = (-2 - 5i) \ cdot (-2 + 5i)$

بالتعبير عن الضرب بين عددين مركبين ، علينا أن:

$\ نقطة في البوصة {120} A = [(- 2) \ cdot (-2) - (- 5) \ cdot 5] + [(- 2) \ cdot 5 + (-5) \ cdot (-2)]$

$\ نقطة في البوصة {120} \ Rightarrow A = [4 +25] + [- 10 +10]$

$\ نقطة في البوصة {120} \ Rightarrow A = 29$

الآن دعونا نحسب $\ نقطة في البوصة {120} ب = z_2 \ cdot \ شريط {z_2}$ .

$\ نقطة في البوصة {120} ب = z_2 \ cdot \ شريط {z_2}$

$\ نقطة في البوصة {120} \ Rightarrow B = (1 + 3i) \ cdot (1-3i)$

$\ نقطة في البوصة {120} \ Rightarrow B = [1 \ cdot 1 - 3 \ cdot (-3)] + [1 \ cdot (-3) +1 \ cdot 3] i$

$\ نقطة في البوصة {120} \ Rightarrow B = [1 + 9] + [- 3 + 3] ط$

$\ نقطة في البوصة {120} \ Rightarrow B = 10$

لذلك، $\ نقطة في البوصة {120} أ \ cdot ب = 29 \ cdot 10 = 290$ .

حل السؤال 4

نريد حساب قيمة $\ نقطة في البوصة {120} ص$ و $\ نقطة في البوصة {120} ف$ لماذا $\ نقطة في البوصة {120} z_1: z_2 = q + 2i$ ، متي $\ نقطة في البوصة {120} z_1 = 3 - بي$ و $\ نقطة في البوصة {120} z_2 = 1 + 2i$ .

إنه يعني إيجاد $\ نقطة في البوصة {120} ص$ و $\ نقطة في البوصة {120} ف$ لهذا السبب:

تحقق من بعض الدورات المجانية

دورة تعليمية شاملة مجانية عبر الإنترنت
دورة تعليمية ومكتبة ألعاب مجانية على الإنترنت
دورة مجانية على الإنترنت لألعاب الرياضيات لمرحلة ما قبل المدرسة
دورة ورش عمل ثقافية تربوية مجانية عبر الإنترنت

$\ نقطة في البوصة {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = q + 2i$

بالتعبير عن القسمة بين عددين مركبين ، علينا أن:

$\ نقطة في البوصة {120} \ frac {3-pi} {1 + 2i} = \ frac {[3 \ cdot 1 + (- p) \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} + \ frac {[ (-p) \ cdot 1-3 \ cdot 2]} {1 ^ 2 + 2 ^ 2} i = \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i$

الانضمام إلى الشرطين يشترط:

$\ نقطة في البوصة {120} \ frac {3 - 2p} {5} + \ frac {(- p - 6)} {5} i = q + 2i$

بمعنى آخر:

$\ dpi {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q \: \: \ mathrm {e} \: \: \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

لنحل كل من هذه المعادلات ، بدءًا من الثانية التي تعتمد فقط على p.

$\ dpi {120} \ frac {(- p-6)} {5} i = 2i$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {(- p-6)} {5} = 2$

$\ نقطة في البوصة {120} \ Rightarrow -p - 6 = 10$

$\ نقطة في البوصة {120} \ Rightarrow p = -16$

الآن ، نجد q بالمعادلة الأخرى:

$\ نقطة في البوصة {120} \ frac {3 - 2p} {5} = q$

$\ dpi {120} \ Rightarrow \ frac {3 - 2 \ cdot (-16)} {5} = q$

$\ نقطة في البوصة {120} \ Rightarrow q = 7$

حل السؤال 5

نريد إيجاد قيمة $\ نقطة في البوصة {120} إلى$ لماذا $\ نقطة في البوصة {120} (a + 3i): (3 + 2i)$ أن يكون رقمًا وهميًا خالصًا.

الرقم التخيلي الصافي هو الرقم الذي يساوي جزءه الحقيقي صفرًا.

بالنظر إلى التعبير عن القسمة بين عددين مركبين ، لدينا ما يلي:

$\ نقطة في البوصة {120} \ frac {a + 3i} {3 + 2i} = \ frac {a \ cdot 3 + 3 \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} + \ frac {3 \ cdot 3 - a \ cdot 2} {3 ^ 3 + 2 ^ 2} i = \ frac {3a + 6} {13} + \ frac {9-2a} {13} i$

لكي يكون هذا الرقم خياليًا خالصًا ، يجب أن يكون لدينا:

$\ نقطة في البوصة {120} \ frac {3a + 6} {13} = 0$

$\ نقطة في البوصة {120} \ Rightarrow 3a + 6 = 0$

$\ نقطة في البوصة {120} \ Rightarrow a = -2$

حل السؤال 6

من خلال تحديد القوى والأعداد المركبة علينا:

$\ نقطة في البوصة {120} أنا ^ 0 = 1$
$\ نقطة في البوصة {120} أنا ^ 1 = أنا$
$\ نقطة في البوصة {120} أنا ^ 2 = -1$
$\ نقطة في البوصة {120} أنا ^ 3 = -i$
$\ نقطة في البوصة {120} أنا ^ 4 = 1$
$\ نقطة في البوصة {120} أنا ^ 5 = أنا$
$\ نقطة في البوصة {120} أنا ^ 6 = -1$
$\ نقطة في البوصة {120} أنا ^ 7 = -i$