مرسين ، الأعداد الأولية والأرقام المثالية

نقول إن العدد الطبيعي يكون مثاليًا إذا كان مساويًا لمجموع جميع عوامله (القواسم) ، باستثناء نفسه. على سبيل المثال ، 6 و 28 رقمان مثاليان ، انظر:
6 = 1 + 2 + 3 (عوامل 6: 1 و 2 و 3 و 6) ، نستبعد الرقم 6.
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (عوامل 28: 1 ، 2 ، 4 ، 7 ، 14 ، 28) ، نستبعد 28.
أرقام ميرسين هي تلك التي في الشكل Mn = 2n - 1. حتى أنه اعتقد أن هذا التعبير سيكون قادرًا على حساب الأعداد الأولية المحتملة مع الأخذ في الاعتبار n = الأعداد الأولية ، ولكن تبين لاحقًا أنه كان على حق تقريبًا. على سبيل المثال:
م₁ = 2¹ – 1 = 1
م₂ = 2² - 1 = 3 ← ن = 2 (ابن عم) ، م₂ = 3 (ابن عم)
م₃ = 2³ - 1 = 7 → ن = 3 (ابن عم) ، م₃ = 7 (ابن عم)
م₄ = 2⁴ – 1 = 15
م₅ = 2⁵ - 1 = 31 → ن = 5 (ابن عم) ، م₅ = 31 (ابن عم)
م₆ = 2⁶ – 1 = 63
م₇ = 2⁷ - 1 = 127 ← ن = 7 (ابن عم) ، م₇ = 127 (ابن عم)
م₈ = 2⁸ – 1 = 255
م₉ = 2⁹ – 1 = 511
م₁₀ = 2¹⁰ – 1 = 1023
م₁₁ = 2¹¹ - 1 = 2047 → ن = 11 (ابن عم) ، م₁₁ = 2047 (غير أولي)
م₁₃ = 2¹³ - 1 = 8191 → ن = 13 (ابن عم) ، م₁₃ = 8191 (ابن عم)
ضمن تسلسل الأعداد الأولية ، هناك عناصر مطبقة في صيغة ميرسين لا تُنشئ العناصر الأولية ، على سبيل المثال الرقم 11 ، عندما يتم تطبيقها على الصيغة في 2047 ، الرقم لا ولد عم.

تُنسب معرفة الأعداد المثالية إلى إقليدس ، عالم الرياضيات اليوناني الشهير الذي أسس الهندسة. تبدأ الطريقة التي يستخدمها بـ 1 مضيفًا قوى 2 إلى رئيس. ثم يتم الحصول على رقم مثالي بضرب المجموع في القوة الأخيرة لـ 2.

لاحظ العلاقة بين العدد المثالي والأعداد الأولية لميرسين.

بواسطة مارك نوح
تخرج في الرياضيات
فريق مدرسة البرازيل

المجموعات العددية - رياضيات - مدرسة البرازيل

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/mersenne-numeros-primos-numeros-perfeitos.htm