ال تتميز معادلة الدرجة الثانية لواحد متعدد الحدود من الدرجة 2 ، أي متعدد الحدود من نوع الفأس2+ bx + c ، أين ال, ب و ç هم انهم أرقام حقيقية. عند حل معادلة الدرجة 2 ، نحن مهتمون بإيجاد قيم للمجهول. x التي تجعل قيمة التعبير تساوي 0 ، والتي تسمى الجذور ، أي الفأس2 + ب س + ج = 0.
اقرأ أيضا: الفروق بين الدالة والمعادلة
أنواع معادلات الدرجة الثانية
يمكن أن تكون معادلة الدرجة الثانية ممثلة بـ ax² + bx + c = 0حيث المعاملات ال, ب و ç هي أرقام حقيقية ، مع ال ≠ 0.
→ أمثلة
أ) 2x2 + 4x - 6 = 0 → أ = 2 ؛ ب = 4 وج = - 6
ب) x2 - 5 س + 2 = 0 → أ = 1 ؛ ب = - 5 و ج = 2
ج) 0.5x2 + س -1 = 0 → أ = 0.5 ؛ ب = 1 وج = -1
تصنف معادلة الدرجة الثانية على أنها اكتمال عندما تختلف جميع المعاملات عن 0 ، أي ال ≠ 0, ب ≠ 0 و ç ≠ 0.
تصنف معادلة الدرجة الثانية على أنها غير مكتمل عندما تكون قيمة المعاملات ب أو ç تساوي 0 ، أي ب = 0 أو ج = 0.
→ أمثلة
أ) 2x2 - 4 = 0 → أ = 2 ؛ ب = 0 وج = - 4
ب) -x2 + 3 س = 0 → أ = - 1 ؛ ب = 3 و ج = 0
ج) x2 = 0 → أ = 1 ؛ ب = 0 و ج = 0
انتباه: قيمة المعامل ال لا تساوي أبدًا 0 ، إذا حدث ذلك ، فلن تعد المعادلة من الدرجة الثانية.
كيف تحل معادلات الدرجة الثانية؟
حل المعادلة من الدرجة الثانية يحدث عندما يكون الجذور تم العثور عليها ، أي القيم المخصصة ل x. هذه القيم x يجب أن تجعل المساواة صحيحة ، أي باستبدال قيمة x في التعبير ، يجب أن تساوي النتيجة 0.
→ مثال
النظر في المعادلة x2 - 1 = 0 لدينا أن x '= 1 و x' '= - 1 هما حلان للمعادلة ، لأن استبدال هذه القيم في التعبير ، لدينا مساواة حقيقية. نظرة:
x2 – 1 = 0
(1)2 - 1 = 0 و (-1)2 – 1 = 0
للعثور على حل معادلة، من الضروري تحليل ما إذا كانت المعادلة كاملة وغير كاملة وتحديد الطريقة التي سيتم استخدامها.
طريقة حل المعادلات من النوع فأس²+ ج = 0
طريقة تحديد حل المعادلات غير المكتملة التي لها ب=0يتكون من عزل المجهول x، هكذا:
→ مثال
أوجد جذور المعادلة 3x2 – 27 = 0.
إذا كنت تريد معرفة المزيد عن هذه الطريقة ، فانتقل إلى: معادلة غير مكتملة من الدرجة الثانية ذات معامل صفري ب.
طريقة حل المعادلات من النوع فأس2 + ب س = 0
طريقة تحديد الحلول الممكنة لمعادلة مع ç = 0 ، يتكون من استخدام تحليل الأدلة. نظرة:
فأس2 + ب س = 0
س · (فأس + ب) = 0
عند النظر إلى المساواة الأخيرة ، من الملاحظ أن هناك عملية ضرب وأنه لكي تكون النتيجة 0 ، من الضروري أن يكون أحد العوامل على الأقل مساويًا للصفر.
س · (فأس + ب) = 0
س = 0 أو الفأس + ب = 0
وبالتالي ، يتم تقديم حل المعادلة من خلال:
→ مثال
حدد حل المعادلة 5x2 - 45x = 0
إذا كنت تريد معرفة المزيد عن هذه الطريقة ، فانتقل إلى: معادلة غير مكتملة من الدرجة الثانية مع معامل صفري ج.
طريقة حل المعادلات كاملة
الطريقة المعروفة باسم طريقة باسكارا أو صيغة باسكارا يشير إلى أن جذور معادلة الدرجة الثانية من نوع ax2 + bx + c = 0 تُعطى بالعلاقة التالية:
→ مثال
حدد حل المعادلة x2 - س - 12 = 0.
لاحظ أن المعاملات في المعادلة هي: أ = 1; ب= - 1 و ç = – 12. باستبدال هذه القيم في صيغة Bhaskara ، لدينا:
تم تسمية دلتا (Δ) باسم تمييزي ولاحظ أنه داخل أ الجذر التربيعي وكما نعلم ، بالنظر إلى الأعداد الحقيقية ، لا يمكن استخراج الجذر التربيعي لعدد سالب.
بمعرفة قيمة المميز ، يمكننا تقديم بعض العبارات حول حل معادلة الدرجة الثانية:
→ المميز الإيجابي (Δ> 0): حلين للمعادلة.
→ مميز يساوي صفر (Δ = 0): تتكرر حلول المعادلة ؛
→ المميز السلبي (Δ <0): لا يعترف بالحل الحقيقي.
نظم معادلات الدرجة الثانية
عندما نفكر في معادلتين أو أكثر في وقت واحد ، يكون لدينا نظام المعادلات. حل النظام ذي المتغيرين هو مجموعة من الأزواج المرتبة الذي يفي في نفس الوقت بجميع المعادلات المعنية.
→ مثال
ضع في اعتبارك النظام:
باستخدام القيم: x '= 2 ، x' '= - 2 و y' = 2 ، y '= - 2 يمكننا تجميع أزواج مرتبة تلبي معادلات النظام في وقت واحد. انظر: (2 ، 2) ، (2 ، - 2) ، (- 2 ، 2) ، (- 2 ، - 2).
تذكر أن الزوج المرتب مكتوب بالصيغة (x، y).
تشبه طرق إيجاد حل نظام المعادلات تلك الخاصة بـ أنظمة خطية.
→ مثال
ضع في اعتبارك النظام:
من المعادلة س - ص = 0 ، دعنا نعزل المجهول س ، هكذا:
س - ص = 0
س = ص
الآن يجب أن نستبدل القيمة المعزولة في المعادلة الأخرى ، مثل هذا:
x2 - س –12 = 0
ذ2 - ص –12 = 0
باستخدام طريقة Bhaskara ، علينا:
بما أن x = y ، سيكون لدينا x ’= y’ و x ’’ = y ’. بمعنى آخر:
x '= 4
x '= -3
وبالتالي ، فإن الأزواج المرتبة هي حلول النظام (4 ، 4) و (- 3 ، - 3).
اقرأ أكثر: نظام معادلات الدرجة الأولى والثانية
تمارين حلها
السؤال رقم 1 - (ESPM -SP) حل المعادلة أدناه رقمان
أ) أبناء العم.
ب) إيجابية.
ج) سلبي.
د) أزواج.
ه) غريب.
حل
نعلم أن مقامات الكسر لا يمكن أن تساوي صفرًا ، لذا x ≠ 1 و x ≠ 3. ونظرًا لأن لدينا تساويًا في الكسور ، فيمكننا الضرب التبادلي ، والحصول على:
(س + 3) · (س + 3) = (س - 1) · (3 س +1)
x2 + 6 س +9 = 3 س2 - 2x - 1
x2 - 3x2 + 6 س + 2 س +9 +1 = 0
(– 1) - 2x2 + 8 س +10 = 0 (– 1)
2x2 - 8x - 10 = 0
بقسمة طرفي المعادلة على 2 ، لدينا:
x2 - 4 س - 5 = 0
باستخدام صيغة Bhaskara ، فإنه يتبع ما يلي:
لاحظ أن جذور المعادلة هي أعداد فردية.
البديل هـ.
السؤال 2 - (UFPI) وجد مزارع دواجن أنه بعد وضع (n +2) طيور في كل من الطيور n المتوفرة ، لن يتبقى سوى طائر واحد. العدد الإجمالي للطيور ، لأي قيمة طبيعية لـ n ، دائمًا
أ) رقم زوجي.
ب) رقم فردي.
ج) مربع كامل.
د) رقم يقبل القسمة على 3.
ه) عدد أولي.
حل
يمكن معرفة عدد الطيور بضرب عدد الطيور في عدد الطيور الموجودة في كل منها. منهم ، من خلال بيان التمرين بعد القيام بهذه العملية ، لا يزال هناك طائر واحد متبقي ، يمكننا كتابة كل هذا في ما يلي طريقة:
ن · (ن + 2) +1
بأداء التوزيعية سنحصل على:
لا2 + 2 ن +1
ويترتب على تحليل كثير الحدود هذا ما يلي:
(ن + 1)2
وبالتالي ، فإن العدد الإجمالي للطيور دائمًا ما يكون مربعًا مثاليًا لأي عدد طبيعي n.
البديل ج
بواسطة روبسون لويز
مدرس مادة الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau.htm
