ما هي الأعداد المركبة؟

حتى منتصف القرن السادس عشر ، كانت المعادلات مثل x² - 6x + 10 = 0 تم اعتبارها ببساطة "لا يوجد حل". كان هذا لأنه ، وفقًا لصيغة Bhaskara ، عند حل هذه المعادلة ، ستكون النتيجة التي تم العثور عليها:

Δ = (–6)² – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4

س = –(– 6) ± √– 4
2·1

س = 6 ± √– 4
2

تم العثور على المشكلة في – 4 ، والتي ليس لها حل ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية ، أي لا هناك عدد حقيقي ، عند ضربه في نفسه ، ينتج عنه √ - 4 ، حيث أن 2 · 2 = 4 و (–2) (- 2) = 4.

في عام 1572 ، كان Rafael Bombelli مشغولًا في حل المعادلة x³ - 15 × - 4 = 0 باستخدام صيغة كاردانو. من خلال هذه الصيغة ، نستنتج أن هذه المعادلة ليس لها جذور حقيقية ، حيث ينتهي بها الأمر إلى أن تكون ضرورية لحساب √–121. ومع ذلك ، بعد عدة محاولات ، من الممكن العثور على 4³ - 15 · 4 - 4 = 0 وبالتالي فإن x = 4 هو أحد جذر هذه المعادلة.

بالنظر إلى وجود جذور حقيقية لم يتم التعبير عنها بواسطة صيغة كاردانو ، كان لدى Bombelli فكرة الافتراض أن √– 121 ستؤدي إلى √ (- 11 · 11) = 11 · -1 وهذا قد يكون جذرًا "غير حقيقي" للمعادلة درس. وبالتالي ، فإن –121 ستكون جزءًا من نوع جديد من الأعداد التي تشكل الجذور الأخرى غير الصحيحة لهذه المعادلة. إذن المعادلة س

³ - 15x - 4 = 0 ، الذي له ثلاثة جذور ، سيكون x = 4 كجذر حقيقي وجذران آخران ينتميان إلى هذا النوع الجديد من الأعداد.

في أواخر القرن الثامن عشر ، أطلق غاوس على هذه الأرقام اسم ارقام مركبة. في ذلك الوقت ، كانت الأعداد المركبة تتخذ الشكل بالفعل أ + ثنائية ، مع أنا = √– 1. علاوة على ذلك، ال و ب لقد تم اعتبارهم بالفعل نقاطًا لطائرة ديكارتية ، تُعرف باسم طائرة أرغاند-غاوس. وهكذا ، فإن الرقم المركب Z = a + bi كان له تمثيل هندسي النقطة P (أ ، ب) من المستوى الديكارتي.

لا تتوقف الان... هناك المزيد بعد الإعلان ؛)

لذلك ، فإن عبارة "ارقام مركبةبدأ استخدامه للإشارة إلى المجموعة العددية التي يكون ممثلوها: Z = a + bi ، مع i = √– 1 ومع ال و ب تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية. هذا التمثيل يسمى شكل جبري للعدد المركب Z.

بما أن الأعداد المركبة تتكون من رقمين حقيقيين ويتم ضرب أحدهما في √– 1, أعطيت هذه الأرقام الحقيقية اسما خاصا. بالنظر إلى العدد المركب Z = a + bi ، a هو "الجزء الحقيقي من Z" و b هو "الجزء التخيلي من Z". رياضيا ، يمكننا أن نكتب ، على التوالي: Re (Z) = a و Im (Z) = b.

تتبلور فكرة مقياس العدد المركب بشكل مشابه لفكرة مقياس العدد الحقيقي. بالنظر إلى النقطة P (أ ، ب) كتمثيل هندسي للعدد المركب Z = a + bi ، يتم إعطاء المسافة بين النقطة P والنقطة (0،0) من خلال:

| Z | = √(ال² + ب²)

الطريقة الثانية لتمثيل الأعداد المركبة هي من خلال الشكل القطبي أو المثلثي. يستخدم هذا النموذج معامل العدد المركب في دستوره. يمكن تمثيل الرقم المركب Z ، جبريًا Z = a + bi ، بالصيغة القطبية من خلال:

Z = | Z | · (cosθ + icosθ)

من المثير للاهتمام أن نلاحظ أن المستوى الديكارتي يتم تعريفه بواسطة خطين متعامدين ، يُعرفان بالمحور x و y. نحن نعلم أنه يمكن تمثيل الأعداد الحقيقية بخط توضع عليه جميع الأعداد المنطقية. تمتلئ الفراغات المتبقية بالأرقام غير المنطقية. في حين أن الأرقام الحقيقية كلها على السطر المعروف باسم المحور س من المستوى الديكارتي ، ستكون جميع النقاط الأخرى التي تنتمي إلى هذا المستوى هي الفرق بين الأعداد المركبة والأرقام الحقيقية. وبالتالي ، فإن مجموعة الأعداد الحقيقية موجودة في مجموعة الأعداد المركبة.

بقلم لويز باولو موريرا
تخرج في الرياضيات

هل ترغب في الإشارة إلى هذا النص في مدرسة أو عمل أكاديمي؟ نظرة:

سيلفا ، لويس باولو موريرا. "ما هي الأعداد المركبة؟" ؛ مدرسة البرازيل. متوفر في: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm. تم الوصول إليه في 27 يونيو 2021.