القطع الناقص (الرياضيات): ما هو ، العناصر ، المعادلة

ال الشكل البيضاوي هو رقم مسطح مصنف على أنه a مخروطي، لأنها يمكن الحصول عليها من القسم من خطة في مخروط. يعد العثور على شكل مسطح مع شكل بيضاوي أمرًا شائعًا جدًا في الحياة اليومية. تمت دراسته على نطاق واسع لشرح حركة الكواكب حول الشمس ، حيث أن مدارات هذه النجوم عبارة عن قطع ناقص.

ال الهندسة التحليلية هي مجال الرياضيات الذي يسعى إلى وصف الأشكال الهندسية جبريًا ، بما في ذلك ، يتم دراسة القطع الناقص بعمق في الهندسة التحليلية، يمكن وصفها من خلال معادلة تأخذ في الاعتبار عناصرها. العناصر الرئيسية للقطع الناقص هي:

• المحور الرئيسي

• محور صغير

• المسافة البؤرية

• بؤر F₁ و F₂

نحدد القطع الناقص كمجموعة من النقاط حيث مجموع مسافة هذه النقاط إلى التركيز F₁ والتركيز على F₂ هو دائما ثابت.

اقرأ أيضا: ما الفرق بين الأشكال المسطحة والمكانية؟

ما هو القطع الناقص؟

نحن نعرف على شكل قطع ناقص شكل مسطح يتكون من القسم بين الطائرة و مخروط, بالطريقة الآتية:

القطع الناقص مخروطي الشكل.

لبناء القطع الناقص ، إنه بحاجة إلى معرفة الخاص بك تركيزين، F₁ و F₂، وكذلك طول المحور الرئيسي ، وهو الخط الذي يربط أطراف القطع الناقص ، في الصورة أدناه ، ممثلة بـ A₁ ال₂.

طول المحور الرئيسي يساوي 2 أ ، وبالتالي فإن القطع الناقص هو المنحنى الذي تكونه جميع النقاط P._لا حيث مجموع المسافة من النقطة إلى التركيز الأول (dP_لاF₁) مع المسافة من النقطة إلى البؤرة الثانية (dP_لاF₂) دائمًا ثابت ويساوي 2 أ.

موانئ دبي₁F₁ + ديسيبل₁F₂ = ديسيبل₂F₁ + ص₂F₂ = ديسيبل₃F₁ + ديسيبل₃F₂ = د₁ال₂ = الثاني

لا تتوقف الان... هناك المزيد بعد الإعلان ؛)

عناصر القطع الناقص

لفهم تكوين القطع الناقص بشكل كامل ، من الضروري معرفة كل عنصر من عناصره. هم البؤر والمركز والمحور الرئيسي والمحور الثانوي. بناءً عليها ، من الممكن تتبع العلاقات المهمة في القطع الناقص.

• يتم تمثيل مركز القطع الناقص بالنقطة O.

• بالفعل نقاط F₁ و F₂ تمثل بؤر القطع الناقص.

• النقاط أ₁ و ال₂ هي نهايات المحور الأفقي للقطع الناقص ، والنقاط ب₁ وب₂ هي نهايات محورها العمودي.

• المسافة بين ب₁ وب₂ يساوي 2 ب (طول القطع الناقص على المحور الصغير).

• المسافة بين أ₁ و ال₂ يساوي 2 أ (طول القطع الناقص على المحور الرئيسي).

• البعد البؤري بين F₁ و F₂ يساوي 2 ج.

ملاحظة: من المهم أن ندرك أن F₁ب₁ طوله يساوي نصف المحور الأفقي ، أي dF₁ب₁ = أ. وبالتالي ، من الممكن أيضًا إدراك علاقة فيثاغورس مهمة عند تحليل المثلث أ₁OB_1. لاحظ أنه مثلث قائم. لذلك ، يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس.

أ² = ب² + ج²

هناك احتمال آخر للقطع الناقص ، وهو عندما يكون المحور الأطول هو المحور الرأسي. في هذه الحالة ، تظل العناصر كما هي.

في هذه الحالة يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس أيضًا ، والحصول على ما يلي:

ب² = أ² + ج²

اقرأ أيضا: ما هي عناصر المضلع؟

معادلة القطع الناقص

تتم دراسة القطع الناقص تحليليًا في فكرة مبدعة. تسعى الهندسة التحليلية إلى وصف ، من خلال المعادلات ، أرقام الهندسة المستوية. وبالتالي ، من الممكن وصف الشكل من خلال ما يسمى بمعادلة القطع الناقص.

أولاً ، سنقدم أمثلة على القطع الناقص الذي توجد بؤره إما على المحور السيني أو المحور الصادي ، أي أن أصل القطع الناقص يتزامن مع أصل المستوى الديكارتي.

في هذه الحالة ، هناك احتمالان ، عندما يكون المحور الرئيسي هو المحور الرأسي وعندما يكون المحور الرئيسي هو المحور الأفقي:

ملاحظة: دائمًا ما يتم احتواء البؤر في المحور الأطول ، لذلك إذا كانت أ> ب ، فإن البؤر موجودة في المحور الأفقي ، وإذا كانت ب> أ ، فهي موجودة في المحور الرأسي.

لا يكون مركز القطع الناقص دائمًا أصل الطائرة الديكارتية، والذي لا يمنع تطوير وتكييف معادلة القطع الناقص لهذه الحالة. عندما يتم تعويض القطع الناقص عن الأصل O (x_0, ذ₀) ، يمكن وصف معادلته من خلال:

اقرأ أيضا: ما هي المعادلة المختصرة للمحيط؟

غريب الأطوار القطع الناقص

نحن نعرف غريب الأطوارالسبب بين الطول ج ونصف طول أطول محور للقطع الناقص. بافتراض أن المحور الأطول أفقي ، يتم حساب الانحراف عن طريق:

إذا كان القطع الناقص على المحور الرأسي ، فسيتم حساب الانحراف عن طريق:

ال يخبرنا الانحراف عن مدى استواء القطع الناقص، كلما كانت قيمة الانحراف أكبر ، كلما كان القطع الناقص أقرب إلى الدائرة. نظرًا لأن المحور الرئيسي دائمًا ما يكون بطول أكبر من الطول البؤري ، وبالتالي فإن c