ال محيط هو شكل هندسي مسطح يتكون من اتحاد النقاط المتساوية، أي أن لديهم نفس المسافة من نقطة ثابتة تسمى المركز. دراسة المحيط موجودة أيضًا في الهندسة التحليلية، حيث يمكن استنتاج معادلة تمثله.
على الرغم من أن دائرة ومحيط هي أشكال هندسية مسطحة مع بعض العناصر المشتركة ، مما يؤدي عادة إلى الشكوك ، هذه الأشكال تقدم اختلافات مهمة ، خاصة فيما يتعلق بالأبعاد.
اقرأ أيضا: المسافة بين نقطتين - مفهوم مهم للهندسة التحليلية
عناصر الدائرة
لاحظ المحيط:
النقطة ج تسمى مركز الدائرة، ولاحظ أن النقطتين A و B ينتميان إليها. يُطلق على الجزء الذي يصل إلى نهايات الدائرة التي تمر عبر المركز اسم قطر الدائرة. على المحيط السابق ، ثم علينا أن القطر هو الجزء AB.
الى قسّم القطر إلى النصف ، دعنا نحصل على نصف قطر المحيط ، أي نصف قطر الدائرة (r) إنه الجزء الذي يربط بين المركز والنهاية. في هذه الحالة ، نصف القطر هو قطعة CB. يمكننا إنشاء علاقة رياضية بين هذين العنصرين ، لأن القطر هو ضعف نصف القطر.
د = 2 · ص
لا تتوقف الان... هناك المزيد بعد الإعلان ؛)
مثال
أوجد نصف قطر دائرة قطرها ٤٠ سم.
نعلم أن القطر يساوي ضعف نصف القطر ، على النحو التالي:
طول المحيط
ضع في اعتبارك دائرة نصف قطرها يقيس r. ا الطول أو المحيط من المحيط ناتج عن çثابت باي (π) بضعف نصف القطر.
عندما نحسب طول الدائرة أو محيطها ، فإننا نحدد حجم الخط باللون الأخضر في الرسم السابق ، وللقيام بذلك ، ما عليك سوى استبدال قيمة نصف القطر في الصيغة التي تتابعها الشكل.
مثال
أوجد طول محيط نصف القطر ٥ سم.
نصف قطر الدائرة يساوي 5 سم ، ولتحديد طول الدائرة ، علينا التعويض بهذه القيمة في الصيغة.
ج = 2πr
ج = 2 (3.14) (5)
ج = 6.24 · 5
ج = 31.2 سم
نرى أيضا: بناء المضلعات المنقوشة
منطقة المحيط
ضع في اعتبارك دائرة نصف قطرها r. لحساب منطقتك ، يجب علينا اضرب مربع قيمة نصف القطر في π.
عندما نحسب مساحة الدائرة ، فإننا نحدد قياس السطح ، أي المنطقة بأكملها داخل الدائرة.
- مثال
أوجد مساحة دائرة نصف قطرها 4 سم.
لدينا أن نصف قطر المحيط يساوي 4 سم ، لذا يمكننا التعويض بهذا القياس في صيغة المساحة. نظرة:
أ = π · ص2
أ = 3.14 · (4)2
أ = 3.14 · 16
ح = 50.24 سم2
معادلة مخفضة للمحيط
نحن نعلم أنه يمكن بناء الدائرة بواسطة جمع النقاط التي لها نفس المسافة من نقطة ثابتة تسمى الأصل أو المركز. لذلك ، ضع في اعتبارك نقطة ثابتة في فكرة مبدعة يا (أ ، ب). تشكل مجموعة النقاط - التي يمثلها P (x، y) - والتي هي على نفس المسافة r من هذه النقطة الثابتة دائرة نصف قطرها r
لاحظ أن نقاط النموذج P (x ، y) تقع جميعها على نفس المسافة من النقطة O (أ ، ب) ، أي المسافة بين النقطتين O و P تساوي نصف قطر الدائرة ، هكذا:
في معادلة مخفضة، لاحظ أن الأرقام ال و ب هي إحداثيات مركز الدائرة وذاك ص هو قياس نصف القطر.
- مثال
حدد إحداثيات المركز وقياس نصف قطر الدائرة التي بها معادلة:
أ) (× - 2)2 + (ص - 6)2 = 36
بمقارنة هذه المعادلة بالمعادلة المختزلة ، لدينا:
(x - ال)2 + (ص - ب)2 = ص2
(x - 2)2 + (ص -6)2 = 36
انظر أن أ = 2 ، ب = 6 ، ص2 = 36. المعادلة الوحيدة لحلها هي:
ص2 = 36
ص = 6
لذلك ، فإن إحداثيات المركز هي: O (2 ، 6) وطول نصف القطر هو 6.
ب) (× - 5)2 + (ص + 3)2 = 121
وبالمثل لدينا:
(x - ال)2 + (ص - ب)2 = ص2
(× - 5)2 + (ص + 3)2 = 121
أ = 5
- ب = 3
ب = –3
بينما يتم إعطاء قيمة نصف القطر من خلال:
ص2 = 121
ص = 11
ج) x2 + ص2 = 1
(x - ال)2 + (ص - ب)2 = ص2
x2 + ص2 = 1
لاحظ أن x2 = (س + 0)2 و ذ2 = (ص + 0)2 . لذلك علينا:
(x - ال)2 + (ص - ب)2 = ص2
(x + 0)2 + (ص + 0)2 = 1
إذن ، إحداثي المركز هو O (0 ، 0) ونصف القطر يساوي 1.
الوصول أيضًا إلى: كيف تجد مركز الدائرة؟
المعادلة العامة للدائرة
لتحديد المعادلة العامة للدائرة ، يجب علينا تطوير المعادلة المختصرة ها. لذلك ، ضع في اعتبارك دائرة مركزها عند الإحداثيات O (a ، b) ونصف القطر r.
في البداية ، سنطور الحدود التربيعية باستخدام منتجات بارزة; ثم سنمرر جميع الأرقام إلى العضو الأول ؛ وأخيرًا ، سننضم إلى المصطلحات بنفس المعامل الحرفي ، أي المصطلحات التي لها نفس الأحرف. نظرة:
مثال
حدد إحداثيات المركز ومتوسط نصف قطر الدائرة التي بها معادلة:
فأس2 + ص2 - 4 س - 6 ص + 4 + 9 - 49 = 0
لتحديد نصف قطر وإحداثيات الدائرة التي بها هذه المعادلة ، يجب أن نقارنها بالمعادلة العامة. نظرة:
x2 + ص2 – الثانيx - 2 بذ + ال2 + ب2 –ص2 = 0
x2 + ص2 – 4x - 6ذ + 4 + 9 – 49 = 0
من المقارنات باللون الأخضر ، لدينا ما يلي:
الثانية = 4
أ = 2
أو
ال2 = 4
أ = 2
من المقارنات باللون الأحمر ، لدينا ما يلي:
2 ب = 6
ب = 3
أو
ب2 = 9
ب = 3
وبالتالي ، يمكننا القول أن المركز لديه تنسيق O (2 ، 3). الآن ، بمقارنة قيمة r ، لدينا:
ص2 = 49
ص = 7
إذن ، طول نصف قطر الدائرة يساوي 7.
ب) x2 + ص2 - 10x + 14y + 10 = 0
بطريقة مماثلة ، دعنا نقارن المعادلات:
x2 + ص2 – الثانيx - 2 بذ + ال2 + ب2 - ص2 = 0
x2 + ص2 –10x + 14ذ + 10 = 0
الثانية = 10
أ = 5
تحديد قيمة ب:
–2 ب = 14
ب = - 7
لاحظ الآن أن:
ال2 + ب2 - ص2 = 10
بما أننا نعرف قيمتي a و b ، يمكننا التعويض بهما في الصيغة. نظرة:
ال2 + ب2 - ص2 = 10
52 + (–7)2 - ص2 = 10
25 + 49 - ص2 = 10
74 - ص2 = 10
- ص2 = 10 – 74
(–1) - ص2 = –64 (–1)
ص2 = 64
ص = 8
لذلك ، فإن إحداثيات المركز هي O (5 ، –7) ويساوي طول نصف القطر 8.
الفروق بين المحيط والدائرة
الفرق بين الدائرة والدائرة يتعلق بـ عدد الأبعاد من كل عنصر. في حين أن الدائرة لها بعد واحد ، فإن الدائرة بها اثنان.
الدائرة هي منطقة في المستوى تتكون من نقاط متساوية البعد عن نقطة ثابتة تسمى الأصل. تتكون الدائرة من كل منطقة داخل الدائرة. شاهد الفرق في الصور:
نرى أيضا:طول المحيط ومنطقة الدائرة
تمارين حلها
السؤال رقم 1 - محيط محيطه 628 سم. أوجد قطر هذه الدائرة (بتبني π = 3.14).
القرار
بما أن المحيط يساوي 628 سم ، فيمكننا التعويض بهذه القيمة في تعبير طول المحيط.
السؤال 2 - دائرتان متحدة المركز إذا كان لهما نفس المركز. مع العلم بهذا ، حدد مساحة الشكل الفارغ.
القرار
لاحظ أنه لتحديد مساحة المنطقة باللون الأبيض ، يجب أن نحدد مساحة الدائرة الأكبر ثم مساحة الدائرة الأصغر باللون الأزرق. لاحظ أيضًا أنه إذا أزلنا الدائرة الزرقاء ، فلن يتبقى سوى المنطقة التي نريدها ، لذلك يجب علينا طرح هذه المساحات. نظرة:
الأكبر = ص2
الأكبر = (3,14) · (9)2
الأكبر = (3,14) · 81
الأكبر = 254.34 سم2
دعنا الآن نحسب مساحة الدائرة الزرقاء:
الالأصغر = ص2
الالأصغر = (3,14) · (5)2
الالأصغر = (3,14) · 25
الالأصغر = 78.5 سم2
وبالتالي ، يتم تحديد المساحة الفارغة من خلال الفرق بين المساحة الأكبر والمساحة الأصغر.
الأبيض = 254,34 – 78,5
الأبيض = 175,84 سم2
بواسطة روبسون لويز
مدرس مادة الرياضيات
فيما يتعلق بالتعريف الأساسي للدوائر وخصائصها ، حدد البديل الصحيح.
أ) الدائرة هي منطقة مسطحة تحدها دائرة.
ب) الدائرة هي مجموعة من النقاط التي تكون مسافتها إلى المركز دائمًا أصغر من الثابت r.
ج) الدائرة بها نصف قطر فقط ومجموع هذين العنصرين يساوي القطر.
د) الدائرة التي مركزها O ونصف قطرها r هي مجموعة من جميع النقاط التي تكون المسافة إلى O مساوية لـ r.
هـ) الدائرة هي منطقة المستوى المحدود بقطر.
أ) بالنظر إلى النقطة A ، خارج المحيط ، يكون الجزء OA أقل من أو يساوي r.
ب) مع العلم أن المقطع OA له طول أقصر من r ، يمكن القول إن A ينتمي إلى الدائرة المحددة بهذا المحيط.
ج) مع العلم أن طول القطعة OA أكبر من r ، يمكن القول أن A ينتمي إلى الدائرة.
د) قطر الدائرة التي يحدها هذا المحيط يساوي 3r.
هـ) لكي تنتمي النقطة A إلى الدائرة ، يكفي أن تكون المسافة من A إلى O أصغر من r.
