علم المثلثات هي كلمة من أصل يوناني تشير إلى قياس الزوايا الثلاث. تركز الدراسات في هذا المجال من الرياضيات على مثلثات، وهي مضلعات لها ثلاثة جوانب وبالتالي ثلاث زوايا. في البداية ، علم المثلثات يهتم بدراسة بعض خصائص وعلاقات المثلثات القائمة لربط قياسات أضلاع المثلثات بقياسات الزوايا فيما بعد.
يتم توسيع هذه الخصائص والعلاقات إلى أي مثلثات من خلال النظريات المعروفة باسم قانون الخطايا و قانون جيب التمام. لاحقًا ، لوحظت بعض هذه النتائج في المثلثات التي تكون جوانبها أجزاء ملحوظة من الدائرة ، والتي تُعرف باسم "الدائرة المثلثية".
ال علم المثلثات يقترح حداثة عظيمة. قبل ذلك ، كان من الممكن فقط النظر في الحسابات والخصائص التي تنطوي على جوانب أو زوايا حصرية لمثلث أو علاقات أساسية بين هذه العناصر. عند وصوله ، من الممكن ربط قياسات أضلاع المثلث بقياس إحدى زواياه بشكل مباشر. من الجدير بالذكر أن العلاقات بين الجوانب البارزة والأجزاء داخل المثلث تشكل أيضًا علم المثلثات.
قبل الخوض في مفهوم علم المثلثات، من المهم معرفة العناصر الأكثر أهمية في المثلث الأيمن. هذه العناصر موضحة أدناه:
عناصر مثلث قائم الزاوية
يمكن تقسيم كل مثلث قائم الزاوية إلى مثلثين قائمين آخرين ، كما هو موضح في الشكل أدناه ، متتبعًا الارتفاع "h" بالنسبة إلى القاعدة "a".
يشكل ارتفاع هذا المثلث القائم الزاوية زاويتين بزاوية 90 درجة مع قاعدته
بالنظر إلى المثلث ABD ، المستطيل في B ، يمكن ملاحظة العناصر التالية:
1 - يسمى الضلعان AB و BD الجانبين وقياساتهما c و b على التوالي ؛
2 - يسمى الضلع AD بالوتر وقياسه a. سيكون هذا الجانب دائمًا مقابل الزاوية 90 درجة ؛
3 - BE هو ارتفاع المثلث ABD بالنسبة للقاعدة AD وقياسه h. (تذكر أن الارتفاع يشكل دائمًا زاوية 90 درجة مع القاعدة بالنسبة لها) ؛
4 - AE هو الإسقاط المتعامد للساق AB على الوتر. قياسه م ؛
5 - ED هو الإسقاط المتعامد للساق BD على الوتر. قياسه ن.
بعد ذلك ، نقدم ونناقش بعض الخصائص التي نراها في علم المثلثات ، بناءً على عناصر المثلث الأيمن المكشوفة أعلاه.
العلاقات المترية في المثلث الأيمن
إنها مساواة تتعلق بالجوانب والارتفاع والإسقاطات المتعامدة لمثلث قائم الزاوية:
1) ج2 = متوسط
2) ب · ج = أ · ح
3) ح2 = م · ن
4) ب2 = لا
5) ال2 = ب2 + ج2 (نظرية فيثاغورس)
النسب المثلثية أو النسب في المثلث القائم الزاوية
تربط هذه المساواة النسب بين جانبي المثلث القائم بإحدى زواياه الحادة. للقيام بذلك ، من الضروري إصلاح إحدى الزاويتين وملاحظة تعريفات الضلع المقابل والجانب المجاور في المثلث الأيمن:
مثلث مستطيل ، يبرز زاوية α
BD هو الساق المعاكسة لزاوية α ؛
AB هو الساق المجاورة لزاوية α.
هذه هي المتطلبات الأساسية لتحديد النسب المثلثية. هل هم:
→ جيب α
الخطيئة α = Cathetus مقابل α
الوتر
→ جيب التمام لـ α
كوس α = Catheto المتاخمة ل α
الوتر
→ الظل من α
tg α = Cathetus مقابل α
Catheto المتاخمة ل α
تنطبق هذه الأسباب على أي مثلث قائم التي لها زاوية حادة تساوي α. دائمًا ما تكون نتيجة هذه التقسيمات هي نفسها ، بغض النظر عن طول ضلع المثلث ، حيث أن مثلثين لهما زاويتان متساويتان بسبب تشابه المثلث زاوية ، لها جوانب متناسبة. ومن ثم فإن النسبة بين الجانبين متساوية.
الدائرة المثلثية
تسمى أيضًا بالدورة المثلثية أو الدائرة المثلثية (أسماء أكثر صحة ولكن أقل شيوعًا) ، وهي دائرة موجهة نصف قطرها 1. على هذا المحيط ، أ مثلث قائم، الذي تتطابق زاويته α مع الأصل ، بحيث ينتقل ارتفاع هذا المثلث من محور الإحداثيات إلى حافة الدائرة.
هذا الارتفاع يتزامن مع قيمة شرط، لأنه الضلع المقابل للزاوية α. المقياس الذي ينتقل من النقطة التي يلتقي فيها الارتفاع بمحور الحد الفاصل إلى نقطة الأصل يتطابق مع الضلع المجاور للزاوية α ، أي مع قيمة جيب التمام.
تحدث هذه المصادفات لأن الوتر هو دائمًا 1 ، لأنه نصف قطر الدائرة. لاحظ هذه الخصائص في الصورة أدناه:
دائرة نصف قطرها 1 يوضع عليها مثلث قائم الزاوية لتقييم خصائصه
أيا كان المثلث الأيمن المبني على هذه الدائرة ، فإن الجانب الذي يتزامن مع جزء من محور الإحداثي يقيس بالضبط قيمة جيب التمام لـ α والجانب الآخر يقيس بالضبط جيب الزاوية α.
الدوال المثلثية
باستخدام الدائرة المثلثية ، من الممكن تحديد الدوال المثلثية التي تربط كل عنصر من مجموعة الأعداد الحقيقية بعنصر واحد أيضًا من مجموعة الأعداد الحقيقية. ومع ذلك ، يتم التعبير عن هذه الأرقام بالراديان ، وهي وحدة قياس كدالة π مستخدمة لأنه بعد 360 درجة في الدائرة المثلثية يمكن إعادة حساب الدرجات ، وبالتالي ، المجال وعناصر المجال المضاد لوظيفة قائمة على أساسها من الصفر.
العلاقات الأساسية
العلاقات الأساسية لعلم المثلثات هي:
1) العلاقة الأساسية 1
سين2α + كوس2α = 1
2) ظل α
tg α = الخطيئة α
كوس α
3) ظل التمام من α، وهو معكوس ظل α
cotg α = كوس α
الخطيئة α
4) القاطع من α، وهو معكوس جيب تمام α
ثانية α = 1
كوس α
5) ربطة عنق α ، وهو معكوس جيب α
كوسيك α = 1
الخطيئة α
6) العلاقة الناشئة 1
tg2α + 1 = ثانية2α
7) العلاقة 2
cotg2α + 1 = كوسيك2α
8) علاقة متكررة 3
cotg α = 1
tg α
بقلم لويز باولو موريرا
تخرج في الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-trigonometria.htm
