ما هو قانون جيب التمام؟

ال قانون جيب التمام هو علاقة مثلثية تستخدم لربط الجوانب و الزوايا على واحد مثلث أي ، هذا المثلث الذي ليس بالضرورة أن يكون له زاوية قائمة. لاحظ المثلث التالي ABC مع إبراز القياسات:

ال قانونمن عندجيب التمام يمكن أن تعطى بواحد مما يلي التعبيرات:

ال² = ب² + ج² - 2 · ب · ج · cosα

ب² = ال² + ج² - 2 · a · c · cosβ

ç² = ب² + ال² - 2 · ب · أ · كوس

ملاحظة: ليس من الضروري حفظ هذه الصيغ الثلاث. فقط اعلم أن ملف قانونمن عندجيب التمام يمكن بناؤه دائمًا. لاحظ ، في التعبير الأول ، أن α هي الزاوية المقابلة للضلع الذي يُعطي قياسه ال. نبدأ الصيغة بالمربع الموجود على الجانب المقابل للزاوية التي سيتم استخدامها في العمليات الحسابية. سيكون مساويًا لمجموع مربعي الضلعين الآخرين ، مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب الضلعين اللذين لا يقابلان هذه الزاوية بواسطة جيب التمام من α.

بهذه الطريقة ، يمكن اختزال الصيغ الثلاثة أعلاه إلى:

ال² = ب² + ج² - 2 · ب · ج · cosα

طالما أننا نعلم أن "ال" هو القياس على الجانب الآخر من "α" ، وأن "b" و "c" هما قياسات الجانبين الآخرين من مثلث.

برهنة

نظرا إلى مثلث أي ABC ، ​​مع المقاييس الموضحة في الشكل التالي:

انظر إلى المثلثين ABD و BCD المكونين من ارتفاع BD للمثلث ABC. باستخدام نظرية فيثاغورس في ABD ، سيكون لدينا:

ç² = س² + ح²

ح² = ج² - س²

باستخدام نفس النظرية ل مثلث BCD ، سيكون لدينا:

ال² = ذ² + ح²

ح² = ال² - ذ²

مع العلم أن هناك² = ج² - س²، سيكون لدينا:

ç² - س² = ال² - ذ²

ç² - س² + ص² = ال²

ال² = ج² - س² + ص²

ملاحظة في صورة مثلث حيث ب = س + ص ، حيث ص = ب - س. باستبدال هذه القيمة في النتيجة التي تم الحصول عليها من قبل ، سيكون لدينا:

ال² = ج² - س² + ص²

ال² = ج² - س² + (ب - س)²

ال² = ج² - س² + ب² - 2bx + x²

ال² = ج² + ب² - 2bx

ما زلت تنظر إلى الشكل ، لاحظ ما يلي:

cosα = x
ç

ج · cosα = x

x = c · cosα

باستبدال هذه النتيجة في التعبير السابق ، سيكون لدينا:

ال² = ج² + ب² - 2bx

ال² = ج² + ب² - 2b · c · cosα

هذا هو بالضبط أول تعبير من الثلاثة المذكورة أعلاه. يمكن الحصول على الاثنين الآخرين بشكل مشابه لهذا.

مثال - في ال مثلث ثم احسب قياس x.

حل:

باستخدام قانونمن عندجيب التمام، لاحظ أن x هو قياس الضلع المقابل للزاوية 60 درجة. لذلك ، يجب أن يكون "الرقم" الأول الذي يظهر في الحل هو:

x² = 10² + 10² - 2 · 10 · 10 · cos60 درجة

x² = 100 + 100 - 2 · 100 · cos60 درجة

x² = 200-200 · cos60 درجة

x² = 200 – 200·1
2

x² = 200 – 100

x² = 100

س = ± √100

س = ± 10

نظرًا لعدم وجود أطوال سالبة ، يجب أن تكون النتيجة هي القيمة الموجبة فقط ، أي x = 10 cm.

بواسطة لويز موريرا
تخرج في الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-lei-dos-cossenos.htm