الاحتمال هو مجال الرياضيات الذي يدرس فرص وقوع حدث في تجربة عشوائية. يمكن استخدام الاحتمالية لحساب احتمالات نتيجة معينة في لفة النرد أو حتى احتمالات فوز شخص باليانصيب.
يتم تمثيل الاحتمال الرياضي من خلال مجموعة الأرقام بين 0 و 1:
- عندما يكون للحدث احتمال 0 ، يكون حدوثه مستحيلًا ،
- عندما يكون احتمال وقوع حدث ما 1 ، فإن هذا الحدث سيحدث بالتأكيد.
كيف تحسب الاحتمال؟
لحساب الاحتمال ، قسّم عدد مرات حدوث الحدث المتوقع على العدد الإجمالي للأحداث في تجربة عشوائية. على سبيل المثال ، إذا أردنا حساب احتمال سقوط عملة معدنية على الأرض ووجه "التاج" لأعلى ، فسنحصل على:
- واحد (1) إمكانية حدوث الحدث الذي نريده: "التاج" ،
- اثنان (2) من الاحتمالات الكلية للحدث: "رؤوس" و "ذيول".
لذلك قمنا بتقسيم 1/2 ولدينا احتمال "ذيول" بنسبة 1/2 أو 50٪.
صيغة الاحتمال
لفهم كيفية حساب الاحتمال بشكل أفضل ، انظر إلى الصيغة:
أين:
- P (E) = احتمال وقوع حدث و
- n (E) = العدد الإجمالي لوقوع الحدث E
- n (S) = عدد تكرارات فضاء العينة S
قبل النظر في الأمثلة العملية للحسابات ، افهم بعض المفاهيم الأساسية للاحتمالية:
تجربة عشوائية
لا يمكن حساب الاحتمال إلا في حالات التجارب العشوائية ، أي في المواقف التي يكون فيها ليس من الممكن تحديد أو توقع النتيجة..
أحد الأمثلة على التجارب العشوائية هو رمي النرد. إذا لم يكن القالب معلقًا (مع زيادة الوزن على أحد الوجوه ، على سبيل المثال) ، فلا يمكن تحديد الوجه الذي سيسقط وجهًا لأعلى ، أي أن نتيجة اللفة تعتمد على الصدفة.
مثال آخر هو حقيبة مليئة بكرات زرقاء وصفراء من نفس الحجم والوزن. باختيار إحدى الكرات بشكل عشوائي ، دون رؤيتها ، لا توجد طريقة لمعرفة ما إذا كانت كرة زرقاء أو صفراء ستخرج ، لذلك هذه التجربة عشوائية.
فضاء العينة
مساحة العينة هي مجموعة من جميع النتائج المحتملة في تجربة عشوائية. على سبيل المثال ، عندما نرمي نردًا ، يتم تمثيل مساحة العينة (S) بجميع قيم النرد ، أي: (S) = {1،2،3،4،5،6}.
مساحة العينة ، إذن ، هي مجموعة جميع وجوه النرد ، حيث أن الوجوه الستة هي الاحتمالات الستة التي تحدث بعد لفة. وبالتالي ، على الرغم من عدم إمكانية التنبؤ بالنتيجة ، فإننا نعلم أنها ستكون ضمن مساحة العينة.
حدث
الحدث (E) هو مجموعة فرعية من مساحة العينة (S). عند رمي نرد ، يمكن تحديد حدوث الرقم 5 ، E = {5} ، أو رقم زوجي ، E = {2،4،6} ، كحدث.
أنواع الأحداث
الحدث الصحيح: حدث معين هو الذي يمثل مساحة العينة نفسها (E = S) وسيحدث على وجه اليقين. بعد رمي النرد القياسي (بالأرقام من 1 إلى 6) ، تكون فرصة دحرجة رقم طبيعي 100٪ ، حيث أن جميع الأرقام من 1 إلى 6 طبيعية.
حدث مستحيل: الحدث المستحيل هو حدث يكون احتمال حدوثه 0٪. عند دحرجة قالب قياسي ، فإن فرصة دحرجة الرقم 8 هي صفر ، حيث لا يوجد وجه مع الرقم 8.
الأحداث التكميلية: الأحداث التكميلية هي تلك الأحداث التي يتم فيها تمثيل التقاطع بين الأحداث بمجموعة فارغة ويتم تمثيل الاتحاد بمجموعة العينة بأكملها.
احتمال حدوث أ رقم زوجي ومن واحد عدد فردي عند رمي النرد ، فهي أحداث مكملة ، حيث يتم تمثيل مجموع تكرارات هذين الحدثين من خلال الاحتمالات الستة: E = {1،2،3،4،5،6}.
في هذه الحالة لن يكون هناك تقاطع ، حيث لا يمكن أن يكون الرقم زوجيًا وفرديًا في نفس الوقت.
تمارين الاحتمالية
دعونا نتدرب على استخدام صيغة الاحتمال مع مثال:
- عند رمي النرد ، ما هو احتمال وقوع الأحداث التالية:
أ) الرقم الفردي:
هناك ثلاثة احتمالات للحصول على عدد فردي: E = {1،3،5}. في هذه الحالة ، n (E) = 3. إذا كان العدد الإجمالي للاحتمالات n (S) = 6 ، فلدينا:
الفوسفور (E) = 3/6
P (E) = 1/2 أو 50٪
في هذه الحالة ، هناك احتمال بنسبة 50٪ لظهور رقم فردي.
ب) الرقم 5:
هناك احتمال واحد فقط للحصول على الرقم 5 ، لذلك n (E) = 1. بالنظر إلى العدد الإجمالي للاحتمالات n (S) = 6 ، لدينا:
الفوسفور (E) = 1/6
P (E) = 0.166 أو 16.6٪
في هذه الحالة ، هناك احتمال بنسبة 16٪ أن الرقم 5 سوف يتدحرج عند رمي حجر النرد.
لاحظ أنه ، كما قلنا في بداية النص ، سيكون الاحتمال دائمًا رقمًا بين 0 و 1 ، حيث يمثل 1 فرصة بنسبة 100٪ لوقوع حدث ما و 0 يمثل استحالة حدوث حدث.
انظر أيضا معنى علم الحساب, النسبة المئوية و الهندسة.
