الدراسة حول مجموعات عددية تشكل أحد المجالات الرئيسية للرياضيات ، لأنها مهمة جدًا للتطور النظري للمنطقة ولديها العديد من التطبيقات العملية. تتكون المجموعات العددية في الدراسة:
- الأعداد الطبيعية؛
- أعداد صحيحة.
- أرقام نسبية؛
- أرقام غير منطقية؛
- أرقام حقيقية و
- ارقام مركبة.
اقرأ أكثر: الأعداد الأولية - الأعداد التي تحتوي على 1 فقط وتكون نفسها قواسم
مجموعة الأعداد الطبيعية
جلب تطور الحضارات الأولى معها تحسين الزراعة والتجارة ، وبالتالي ، باستخدام الأرقام لتمثيل الكميات. جاءت المجموعة الأولى بشكل طبيعي ، ومن هنا جاء اسمها. تستخدم المجموعة الطبيعية المسماة لتمثيل الكميات ، ويتم الإشارة إليها بواسطة الرمز ℕ ومكتوب في شكل تسلسل. نظرة:
ا مجموعة أرقام naturaهو é لانهائية ومغلقة لعمليات إضافة والضرب، أي عندما نجمع أو نضرب عددين طبيعيين ، فإن الإجابة تظل طبيعية. ومع ذلك ، لعملية الطرح و قطاع، المجموعة ليست مغلقة. نظرة:
5 – 6 = –1
3 ÷ 2 = 0,5
لاحظ أن الأرقام –1 و 0,5 إنهم لا ينتمون إلى مجموعة العناصر الطبيعية ، وهذا هو المبرر لإنشاء ودراسة مجموعات جديدة من الأرقام.
أيضًا ، عند وضع علامة النجمة (*) في رمز المجموعة الطبيعية ، يجب إزالة الرقم صفر من القائمة ، انظر:
مجموعة الأعداد الصحيحة
جاء العدد الكامل مع تحتاج إلى تنفيذ عملية الطرح لا قيود. كما رأينا ، عندما يتم طرح رقم أصغر من رقم أكبر ، فإن الإجابة لا تنتمي إلى مجموعة العناصر الطبيعية.
يتم تمثيل مجموعة الأعداد الصحيحة أيضًا من خلال تسلسل عدد لا نهائي ويتم الإشارة إليه بواسطة الرمز ℤ.
كما في مجموعة الأعداد الطبيعية ، بوضع علامة النجمة في الرمز ℤ ، تتم إزالة العنصر صفر من المجموعة ، على النحو التالي:
يشير الرمز (-) المصاحب لرقم ما إلى أنه متماثل ، وبالتالي فإن تناظر الرقم 4 هو الرقم –4. لاحظ أيضًا أن مجموعة الأعداد الطبيعية موجودة في مجموعة الأعداد الصحيحة ، أي أن مجموعة الأعداد الطبيعية هي مجموعة فرعية من مجموعة الأعداد الصحيحة.
ℕ ⸦ ℤ
اقرأ أيضا: العمليات ذات الأعداد الصحيحة - ما هي وكيفية حسابها؟
تعيين الأرقام المنطقية
ا تعيين الأرقام المنطقية é يمثله الرمز ℚ ولا يمثله تسلسل رقمي. تتكون هذه المجموعة من جميع الأرقام التي يمكن تمثيلها في صورة كسر. نمثل عناصره على النحو التالي:
نعلم أنه يمكن تمثيل كل عدد صحيح بـ a جزء، أي أن مجموعة الأعداد الصحيحة مضمنة في مجموعة الأعداد المنطقية ، مجموعة الأعداد الصحيحة هي مجموعة فرعية من المبررات.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ
الأرقام التي لها تمثيل لانهائي ، مثل العشور الدورية، لها أيضًا تمثيل في شكل كسر ، وبالتالي فهي أيضًا عقلانية.
اقرأ أيضا: العمليات مع الكسور - خطوة بخطوة كيفية حلها
مجموعة من الأعداد غير النسبية
كما رأينا ، يكون العدد منطقيًا إذا كان بالإمكان كتابته في صورة كسر. لقد قيل أيضًا أن الأعداد اللانهائية والدورية منطقية ، ومع ذلك ، هناك بعض الأرقام التي لا يمكن كتابتها في شكل كسر وبالتالي لا تنتمي إلى مجموعة الأعداد المنطقية.
تسمى هذه الأرقام غير المنطقية غير منطقي وخصائصها الرئيسية هي اللانهاية للجزء العشري وعدم التردد، أي ، لا يتم تكرار أي رقم في الجزء العشري. شاهد بعض الأمثلة على أرقام غير منطقية.
- مثال 1
الجذور التربيعية للأعداد التي ليست مربعات كاملة.
- مثال 2
تأتي الثوابت من أسباب خاصة مثل رقم الذهب أو رقم أويلر أو Pi.
مجموعة من الأعداد الحقيقية
ا مجموعة من الأعداد الحقيقية يمثله الرمز ℝ ويتشكل بواسطة وحدةلمجموعة الأعداد المنطقية مع مجموعة الأعداد غير النسبية. تذكر أن مجموعة الأسس المنطقية هي اتحاد المجموعات الطبيعية والأعداد الصحيحة.
عندما نرتب الأعداد الحقيقية على خط ، نجد أن الرقم صفر هو أصل الخط ، وعلى يمين الصفر ستكون الأرقام الموجبة ، وعلى اليسار ، الأرقام السالبة.
نظرًا لأن هذا المحور حقيقي ، فيمكننا القول أنه يوجد بين رقمين أعداد لا نهائية وأيضًا أن هذا المحور لا نهائي في كل من اتجاه إيجابي عندما تكون في اتجاه سلبي.
مجموعة الأعداد المركبة
ا مجموعة عدد معقد انها ال الاخير وقد نشأت لنفس سبب مجموعة الأعداد الصحيحة ، أي أنها عملية لا يمكن تطويرها إلا مع مجموعة الحقائق.
حل المعادلة التالية ، لاحظ أنه ليس لها حل ، مع العلم فقط بالأرقام الحقيقية.
x2 + 1 = 0
x2 = –1
لاحظ أنه يتعين علينا إيجاد رقم عندما رفعدا تربيع ، ينتج عنه رقم سالب. نحن نعرف ذلك أي عدد تربيع يكون دائمًا موجبًالذلك ، هذا الحساب ليس له حل حقيقي.
وهكذا تم إنشاء الأعداد المركبة التي لدينا فيها رقم خيالي التي يرمز إليها أنا, والتي لها القيمة التالية:
لذا ، أدرك أن ملف معادلة التي لم يكن لها حل من قبل الآن. الدفع:
اقرأ أكثر: الخصائص التي تنطوي على أعداد مركبة
فترات فعلية
في بعض الحالات ، لن نستخدم كل محور حقيقي ، أي أننا سنستخدم أجزاء منه سيتم استدعاؤها فرامل. هذه الفترات مجموعات فرعية من مجموعة الأعداد الحقيقية. بعد ذلك ، سنقوم بإنشاء بعض الرموز لهذه المجموعات الفرعية.
نطاق مغلق - دون تضمين المتطرفين
يتم إغلاق الفاصل الزمني عند ذلك له نقيضان، وهذا هو الحد الأدنى والحد الأقصى ، وفي هذه الحالة ، المتطرفين لا تنتمي إلى النطاق. سوف نشير إلى هذا باستخدام كرة مفتوحة. نظرة:
باللون الأحمر هي الأرقام التي تنتمي إلى هذا النطاق ، أي أنها أرقام أكبر من أ وأصغر من ب. نكتب جبريًا مثل هذا الفاصل الزمني على النحو التالي:
ال < x
حيث أن الرقم x هو كل الأعداد الحقيقية الموجودة في هذا النطاق. يمكننا أيضًا تمثيلها بشكل رمزي. نظرة:
]ال؛ ب[ أو (ال؛ ب)
نطاق مغلق - بما في ذلك أقصى الحدود
الآن دعونا نستخدم الكرات المغلقة لتمثيل ذلك المتطرفان ينتميان إلى النطاق.
لذلك فنحن نجمع الأعداد الحقيقية الواقعة بين أ و ب ، بما في ذلك الأعداد. نعبر جبريًا عن هذه الفترة الزمنية من خلال:
≤ xب
باستخدام الترميز الرمزي ، لدينا:
[ال؛ ب]
نطاق مغلق - بما في ذلك أحد أقصى الحدود
ما زلنا نتعامل مع الفواصل المغلقة ، لدينا الآن الحالة حيث يتم تضمين واحد فقط من المتطرفين. لذلك ، ستغلق إحدى الكرات ، مشيرة إلى أن الرقم ينتمي إلى النطاق ، والآخر لا ينتمي إلى هذا النطاق ، مما يشير إلى أن الرقم لا ينتمي إلى هذا النطاق.
نحن نمثل هذا النطاق جبريًا على النحو التالي:
≤ x
رمزيا لدينا:
[ال؛ ب[ أو [ال؛ ب)
نطاق مفتوح - لا نهاية متضمنة
يتم فتح النطاق عند لا يحتوي على حد أقصى أو أدنى للعنصر. الآن سنرى حالة النطاق المفتوح التي تحتوي فقط على أقصى عنصر ، وهو غير مدرج في النطاق.
تأكد من أن النطاق يتكون من أعداد حقيقية أقل منب، ونلاحظ ذلك أيضًا الرقم ب لا ينتمي إلى النطاق (كرة مفتوحة) ، لذلك ، جبريًا ، يمكننا تمثيل الفاصل الزمني من خلال:
x
يمكننا تمثيلها بشكل رمزي من خلال:
] – ∞; ب[ أو (– ∞; ب)
نطاق مفتوح - بما في ذلك الحد الأقصى
مثال آخر على النطاق المفتوح هو الحالة التي يتم فيها تضمين الحد الأقصى. هنا لدينا نطاق يظهر فيه الحد الأدنى للعنصر ، انظر:
لاحظ أن جميع الأعداد الحقيقية أكبر من أو تساوي الرقم a ، لذا يمكننا كتابة هذا النطاق جبريًا عن طريق:
xل
رمزيا لدينا:
[ال؛ +∞[ أو [ال؛ +∞)
مجال مفتوح
حالة أخرى من المجال المفتوح تتشكل بواسطة الأعداد الأكبر والأصغر من الأرقام الثابتة على الخط الحقيقي. نظرة:
لاحظ أن الأرقام الحقيقية التي تنتمي إلى هذا النطاق هي تلك التي تقل عن أو تساوي الرقم أ ، أو تلك التي تكون أكبر من الرقم ب ، لذلك يتعين علينا:
x ل أوx > ب
رمزيا لدينا:
] – ∞; أ] ش] ب ؛ + ∞[
أو
(– ∞; أ] ش (ب ؛ + ∞)
بواسطة روبسون لويز
مدرس مادة الرياضيات
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/conjuntos-numericos.htm