ما هي الأعداد المركبة؟

حتى منتصف القرن السادس عشر ، كانت المعادلات مثل x2 - 6x + 10 = 0 تم اعتبارها ببساطة "لا يوجد حل". كان هذا لأنه ، وفقًا لصيغة Bhaskara ، عند حل هذه المعادلة ، ستكون النتيجة التي تم العثور عليها:

Δ = (–6)2 – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4

س = –(– 6) ± √– 4
2·1

س = 6 ± √– 4
2

تم العثور على المشكلة في – 4 ، والتي ليس لها حل ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية ، أي لا هناك عدد حقيقي ، عند ضربه في نفسه ، ينتج عنه √ - 4 ، حيث أن 2 · 2 = 4 و (–2) (- 2) = 4.

في عام 1572 ، كان Rafael Bombelli مشغولًا في حل المعادلة x3 - 15 × - 4 = 0 باستخدام صيغة كاردانو. من خلال هذه الصيغة ، نستنتج أن هذه المعادلة ليس لها جذور حقيقية ، حيث ينتهي بها الأمر إلى أن تكون ضرورية لحساب √–121. ومع ذلك ، بعد عدة محاولات ، من الممكن العثور على 43 - 15 · 4 - 4 = 0 وبالتالي فإن x = 4 هو أحد جذر هذه المعادلة.

بالنظر إلى وجود جذور حقيقية لم يتم التعبير عنها بواسطة صيغة كاردانو ، كان لدى Bombelli فكرة الافتراض أن √– 121 ستؤدي إلى √ (- 11 · 11) = 11 · -1 وهذا قد يكون جذرًا "غير حقيقي" للمعادلة درس. وبالتالي ، فإن –121 ستكون جزءًا من نوع جديد من الأعداد التي تشكل الجذور الأخرى غير الصحيحة لهذه المعادلة. إذن المعادلة س

3 - 15x - 4 = 0 ، الذي له ثلاثة جذور ، سيكون x = 4 كجذر حقيقي وجذران آخران ينتميان إلى هذا النوع الجديد من الأعداد.

في أواخر القرن الثامن عشر ، أطلق جاوس على هذه الأرقام اسم ارقام مركبة. في ذلك الوقت ، كانت الأعداد المركبة تتخذ الشكل بالفعل أ + ثنائية ، مع أنا = √– 1. علاوة على ذلك، ال و ب لقد تم اعتبارهم بالفعل نقاطًا لطائرة ديكارتية ، تُعرف باسم طائرة أرغاند-غاوس. وهكذا ، فإن الرقم المركب Z = a + bi كان له تمثيل هندسي النقطة P (أ ، ب) من المستوى الديكارتي.

لذلك ، فإن عبارة "ارقام مركبةبدأ استخدامه للإشارة إلى المجموعة العددية التي يكون ممثلوها: Z = a + bi ، مع i = √– 1 ومع ال و ب تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية. هذا التمثيل يسمى شكل جبري للعدد المركب Z.

بما أن الأعداد المركبة تتكون من رقمين حقيقيين ويتم ضرب أحدهما في √– 1, أعطيت هذه الأرقام الحقيقية اسما خاصا. بالنظر إلى العدد المركب Z = a + bi ، a هو "الجزء الحقيقي من Z" و b هو "الجزء التخيلي من Z". رياضيا ، يمكننا أن نكتب ، على التوالي: Re (Z) = a و Im (Z) = b.

تتبلور فكرة مقياس العدد المركب بشكل مشابه لفكرة مقياس العدد الحقيقي. بالنظر إلى النقطة P (أ ، ب) كتمثيل هندسي للعدد المركب Z = a + bi ، يتم إعطاء المسافة بين النقطة P والنقطة (0،0) من خلال:

| Z | = (ال2 + ب2)

الطريقة الثانية لتمثيل الأعداد المركبة هي من خلال الشكل القطبي أو المثلثي. يستخدم هذا النموذج معامل العدد المركب في دستوره. يمكن تمثيل الرقم المركب Z ، جبريًا Z = a + bi ، بالصيغة القطبية من خلال:

Z = | Z | · (cosθ + icosθ)

من المثير للاهتمام أن نلاحظ أن المستوى الديكارتي يتم تعريفه بواسطة خطين متعامدين ، يُعرفان بالمحور x و y. نحن نعلم أنه يمكن تمثيل الأعداد الحقيقية بخط توضع عليه جميع الأعداد المنطقية. تمتلئ الفراغات المتبقية بالأرقام غير المنطقية. في حين أن الأرقام الحقيقية كلها على السطر المعروف باسم المحور س من المستوى الديكارتي ، ستكون جميع النقاط الأخرى التي تنتمي إلى هذا المستوى هي الفرق بين الأعداد المركبة والأرقام الحقيقية. وبالتالي ، فإن مجموعة الأعداد الحقيقية موجودة في مجموعة الأعداد المركبة.


بقلم لويز باولو موريرا
تخرج في الرياضيات

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm

الهيدريد. الهيدريدات وخصائصها

الهيدريد. الهيدريدات وخصائصها

لا تحظى بعض الوظائف غير العضوية بقدر كبير من الاهتمام في الكتب المدرسية وحتى أثناء فصول بعض المعل...

read more

نادي فاسكو دا جاما سباقات القوارب. تاريخ نادي فاسكو دا جاما

تأسس نادي فاسكو دا جاما ريغاتا ، مثله مثل الآخرين المعاصرين لظهوره ، بسبب الممارسة كانت رياضة الت...

read more

توماس مالتوس. نظرية توماس مالتوس

عالم الاقتصاد الإنجليزي الذي طور نظرية تقول إن عدد السكان سينمو بشكل كبير بحيث يصبح من المستحيل إ...

read more