يمكننا تصنيف النظام الخطي بثلاث طرق:
• SPD - تحديد نظام ممكن. هناك مجموعة حل واحدة فقط ؛
• SPI - نظام مستحيل غير محدد. هناك العديد من مجموعات الحلول.
• SI - نظام مستحيل. لا يمكن تحديد مجموعة الحلول.
ومع ذلك ، في كثير من الأحيان لا نتمكن من تصنيف الأنظمة إلا عندما نكون في الأجزاء الأخيرة من حل كل منها ، أو حتى عن طريق حساب المحدد. ومع ذلك ، عندما ننفذ تحجيم النظام الخطي ، فإننا نسير بخطوات كبيرة نحو الحصول على مجموعة الحلول وتصنيف النظام الخطي.
يحدث هذا لأن النظام الخطي المتدرج لديه طريقة سريعة للحصول على قيم المجهول ، لأنه يحاول كتابة كل معادلة بعدد أقل من المجاهيل.
لتصنيف النظام الخطي الذي تم قياسه ، ما عليك سوى تحليل عنصرين.
1.السطر الأخير من النظام الذي تم تحجيمه بالكامل ؛
2.عدد المجهول مقارنة بعدد المعادلات الواردة في النظام.
في ال أول في هذه الحالة ، قد تحدث المواقف التالية:
• معادلة من الدرجة الأولى مع مجهول ، سيكون النظام SPD. مثال: 2x = 4 ؛ 3 ص = 12 ؛ ض = 1
• المساواة بدون مجهول: هناك احتمالان ، مساواة صحيحة (0 = 0 ؛ 1 = 1 ؛ ...) والخطأ يساوي (1 = 0 ؛ 2 = 8). عندما يكون لدينا معادلات حقيقية ، سنصنف نظامنا على أنه SPI ، بينما مع المعادلات الخاطئة سيكون نظامنا مستحيلًا (SI).
• المعادلة ذات المعامل الصفري. في هذه الحالة ، هناك أيضًا احتمالان ، أحدهما يكون فيه المصطلح المستقل لاغياً والآخر لا يكون كذلك.
• عندما يكون لدينا معادلة ذات معاملات فارغة ومصطلح مستقل فارغ ، فسنصنف نظامنا على أنه SPI ، لأنه سيكون لدينا قيم لا نهائية ترضي هذه المعادلة ، تحقق من ذلك: 0.t = 0
أيًا كانت القيمة الموضوعة في المجهول t ، ستكون النتيجة صفرًا ، لأن أي رقم مضروب في صفر يساوي صفرًا. في هذه الحالة ، نقول إن المجهول t هو مجهول حر ، حيث يمكن أن يأخذ أي قيمة ، لذلك ننسب إليه تمثيل أي قيمة ، والذي يتم في الرياضيات من خلال حرف.
• عندما يكون لدينا معادلة معاملات صفرية ومصطلح مستقل يختلف عن الصفر ، سنصنف نظامنا على أنه SI ، لأنه لأي قيمة تفترضها t ، لن تكون مساوية لها أبدًا القيمة المطلوبة. شاهد مثالاً:
0.t = 5
مهما كانت قيمة t ، ستكون النتيجة دائمًا صفرًا ، أي أن هذه المعادلة ستكون دائمًا بالصيغة (0 = 5) ، مهما كانت قيمة المجهول t. لهذا السبب ، نقول إن النظام الذي يحتوي على معادلة بهذه الطريقة هو نظام مستحيل وغير قابل للحل.
في ال ثانيا في هذه الحالة ، عندما يكون عدد المجهول أكبر من عدد المعادلات ، فلن يكون لدينا أبدًا نظام ممكن ومحدد ، ولن يتبقى لنا سوى الاحتمالين الآخرين. يمكن الحصول على هذه الاحتمالات من خلال إجراء المقارنة المذكورة في الموضوعات السابقة. لنلقِ نظرة على مثالين يغطيان هذه الاحتمالات:
لاحظ أنه لم يتم تحجيم أي من الأنظمة.
دعونا نحدد النظام الأول.
بضرب المعادلة الأولى وإضافتها إلى الثانية ، لدينا النظام التالي:
عند تحليل المعادلة الأخيرة ، نرى أنها نظام مستحيل ، حيث لا يمكننا أبدًا العثور على قيمة ترضي المعادلة.
تحجيم النظام الثاني:
بالنظر إلى المعادلة الأخيرة ، فهي نظام محتمل غير محدد.
بقلم غابرييل أليساندرو دي أوليفيرا
تخرج في الرياضيات
فريق مدرسة البرازيل
مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/classificando-as-solucoes-um-sistema-linear-escalonado.htm
