عدد جذور المعادلة

حل المعادلات هو نشاط يومي. بشكل حدسي نحل المعادلات في حياتنا اليومية ولا ندركها حتى. بطرح السؤال التالي: "ما هو الوقت الذي يجب أن أستيقظ فيه للذهاب إلى المدرسة حتى لا أفعل كن متأخرا؟" وحصلنا على الإجابة ، لقد حللنا للتو معادلة يكون فيها المجهول هو زمن. لطالما حثت هذه الأسئلة اليومية علماء الرياضيات في جميع الأوقات في البحث عن حلول وطرق لحل المعادلات.
صيغة باسكارا هي إحدى أشهر طرق حل المعادلة. إنها "وصفة" ، نموذج رياضي يوفر ، بشكل شبه فوري ، جذور معادلة من الدرجة الثانية. من المثير للاهتمام ، أنه لا يوجد العديد من الصيغ لحل المعادلات كما قد تعتقد. معادلات الدرجة الثالثة والرابعة معقدة للغاية في الحل ، وهناك حل للصيغ لأبسط حالات هذه الأنواع من المعادلات.
من المثير للاهتمام معرفة أن درجة المعادلة تحدد عدد الجذور. نعلم أن معادلة الدرجة الثانية لها جذرين. لذلك ، سيكون لمعادلة الدرجة الثالثة ثلاثة جذور ، وهكذا. الآن دعونا نلقي نظرة على ما يحدث مع بعض المعادلات.
مثال. حل المعادلات:
فأس² + 3 س - 4 = 0
الحل: بتطبيق معادلة باسكارا لحل معادلة الدرجة الثانية نحصل على:

نعلم أن أ = 1 ، ب = 3 ، ج = - 4. هكذا،

بما أننا حلنا معادلة من الدرجة الثانية ، فلدينا جذرين.

ب) x³ – 8 = 0
الحل: في هذه الحالة ، لدينا معادلة غير مكتملة من الدرجة الثالثة بدقة بسيطة.

الحل: في هذه الحالة ، لدينا معادلة غير مكتملة من الدرجة الرابعة ، تسمى أيضًا معادلة ثنائية المربع. حل هذا النوع من المعادلات بسيط أيضًا. نظرة:
المعادلة x⁴ + 3x² - 4 = 0 يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي:
(x²)² + 3x² – 4 =0
تفعل x² = t والاستبدال في المعادلة أعلاه نحصل عليها:
ر² + 3t - 4 = 0 → وهي معادلة من الدرجة الثانية.
يمكننا حل هذه المعادلة باستخدام صيغة باسكارا.

هذه القيم ليست جذور المعادلة ، حيث أن المجهول هو x وليس t. لكن علينا أن:
x² = ر
ثم،
x² = 1 أو س² = – 4
من x² = 1 ، نحصل على x = 1 أو x = - 1.
من x² = - 4 ، نتوصل إلى أنه لا توجد أعداد حقيقية تحقق المعادلة.
لذلك ، S = {- 1 ، 1}
لاحظ ذلك في البديل ال كان لدينا معادلة من الدرجة الثانية ووجدنا جذرين. في البديل ب نحل معادلة من الدرجة الثالثة ونجد جذرًا واحدًا فقط. ومعادلة البند ç، كانت معادلة من الدرجة الرابعة ووجدنا جذرين فقط.
كما ذكرنا سابقًا ، تحدد درجة المعادلة عدد الجذور التي لها:
الصف 2 → اثنين من الجذور
الصف 3 → ثلاثة جذور
الصف 4 → أربعة جذور
لكن ما حدث للمعادلات البديلة ب و ç?
اتضح أن معادلة الدرجة n 2 يمكن أن يكون لها جذور حقيقية وجذور معقدة. في حالة معادلة الدرجة الثالثة للعنصر ب ، نجد جذرًا حقيقيًا واحدًا فقط ، والجذران الآخران عبارة عن أعداد مركبة. وينطبق الشيء نفسه على المعادلة الواردة في البند ج: نجد جذرين حقيقيين ، والآخران معقدان.
حول الجذور المعقدة ، لدينا النظرية التالية.
إذا كان العدد المركب a + bi ، فإن b 0 هو جذر المعادلة a₀x^لا + ال₁x^{ن -1}+... + ال_{ن -1}x + أ_لا = 0 ، للمعاملات الحقيقية ، لذا فإن مرافقه ، a - bi ، هو أيضًا جذر المعادلة.
نتائج النظرية هي:
• معادلة الدرجة الثانية ذات المعاملات الحقيقية → لها جذور حقيقية فقط أو جذرين مركبين مترافقين.
• معادلة الدرجة الثالثة ذات المعاملات الحقيقية ← لها جذور حقيقية فقط أو جذر حقيقي واحد وجذران مركبان مترافقان.
• معادلة الدرجة الرابعة ذات المعاملات الحقيقية → لها جذور حقيقية فقط أو جذران مترافقان معقدان وجذران مترافقان حقيقيان أو أربعة جذور مترافقة معقدة ، اثنان في اثنين.
• معادلة الدرجة الخامسة ذات المعاملات الحقيقية ← لها جذور حقيقية فقط أو جذرين مركبين مترافق والآخر حقيقي أو جذر حقيقي واحد على الأقل والجذور المعقدة الأخرى ، اثنان في اثنين مترافق.
وينطبق الشيء نفسه على المعادلات ذات الدرجات الأكبر من 5.

بقلم مارسيلو ريجوناتو
متخصص في الإحصاء والنمذجة الرياضية
فريق مدرسة البرازيل

ارقام مركبة - رياضيات - مدرسة البرازيل

مصدر: مدرسة البرازيل - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numero-raizes-uma-equacao.htm