Deduzione della terza legge di Keplero. La terza legge di Keplero.

Sappiamo che le orbite dei pianeti sono ellittiche, tuttavia, per il deduzione della terza legge di Keplero, consideriamo un'orbita circolare. Sebbene la seguente dimostrazione sia basata su orbite circolari, i risultati sono validi anche per orbite ellittiche.

Nella figura abbiamo un pianeta in orbita attorno al Sole. La forza centripeta (Fc) è una forza di attrazione gravitazionale esercitata dal Sole. Le forze di attrazione esercitate tra pianeti e satelliti sono trascurate, questo è dovuto al fatto che le loro masse sono molto più piccole della massa del Sole.

Come il pianeta della massa (m) orbita attorno al Sole, di moto circolare e con velocità angolare ( ), la forza risultante sul pianeta, detta forza centripeta (Fc), è data da:

F_C=mω² R

Su cosa:

F_C:forza centripeta;
m: massa del pianeta;
ω: velocità angolare del pianeta;
r: raggio dell'orbita del pianeta.

La velocità angolare è data da:

Su cosa:

T: periodo di rivoluzione del pianeta.

Sostituendo l'equazione 2 nell'equazione 1, abbiamo:

Si noti che la forza centripeta è la forza gravitazionale di attrazione tra il Sole e il pianeta. Quindi, considerando la massa del Sole come (M) e il raggio dell'orbita del pianeta come (r), che è la distanza tra il Sole e il Pianeta, la Legge di Gravitazione Universale può essere scritta come segue:

Su cosa:

Uguagliando l'equazione 3 con 4, avremo:

Prossimamente:

Guarda l'equazione 5 e nota che il termine  è costante, poiché le incognite si riferiscono alla costante universale e alla massa del sole, quindi l'equazione può essere riscritta come segue:

T²= kr³

Su cosa:

k: costante di proporzionalità.

L'equazione 6 ci dice che il quadrato del periodo di rivoluzione di un pianeta attorno al Sole è direttamente proporzionale al cubo della distanza tra loro.

Dall'equazione di cui sopra possiamo trarre la conclusione che più il pianeta è lontano dal Sole, più lungo è il suo periodo di rivoluzione.

La Terza Legge di Keplero, che abbiamo appena dedotto, è valida anche in relazione alla Terra per il moto della Luna e dei satelliti artificiali.

Di Nathan Augusto
Laureato in Fisica

Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/fisica/deducao-terceira-lei-kepler.htm