Teorema Pythagoras: rumus dan latihan

HAI teori Pitagoras menyebutkan panjang sisi segitiga siku-siku. Sosok geometris ini dibentuk oleh sudut internal 90°, yang disebut sudut siku-siku.

Pernyataan teorema ini adalah:

"Jumlah kuadrat kaki Anda sesuai dengan kuadrat sisi miring Anda."

rumus teorema phytagoras

Menurut pernyataan Teorema Pythagoras, rumusnya direpresentasikan sebagai berikut:

Itu² = b² + c²

Makhluk,

Itu: hipotenusa
B: cateto
ç: cateto

ITU sisi miring adalah sisi terpanjang dari segitiga siku-siku dan sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku. Dua sisi lainnya adalah kaki. Sudut yang dibentuk oleh kedua sisi tersebut berukuran sama dengan 90º (sudut siku-siku).

Kami juga mengidentifikasi kaki, menurut sudut referensi. Artinya, sisi itu bisa disebut sisi yang berdekatan atau sisi yang berlawanan.

Ketika kaki dekat dengan sudut referensi, itu disebut a berdekatan, di sisi lain, jika melawan sudut ini, itu disebut seberang.

Di bawah ini adalah tiga contoh penerapan teorema Pythagoras pada hubungan metrik segitiga siku-siku.

Contoh 1: menghitung ukuran sisi miring

Jika sebuah segitiga siku-siku memiliki panjang kaki 3 cm dan 4 cm, berapakah sisi miring dari segitiga tersebut?

Jadi, panjang sisi segitiga siku-siku adalah 3 cm, 4 cm, dan 5 cm.

Contoh 2: hitung ukuran salah satu kaki

Tentukan ukuran kaki yang merupakan bagian dari segitiga siku-siku, yang sisi miringnya 20 cm dan kaki lainnya berukuran 16 cm.

Jadi, panjang sisi-sisi segitiga siku-siku adalah 12 cm, 16 cm, dan 20 cm.

Contoh 3: periksa apakah segitiga adalah persegi panjang

Sebuah segitiga memiliki panjang sisi 5 cm, 12 cm, dan 13 cm. Bagaimana Anda tahu apakah itu segitiga siku-siku?

Untuk membuktikan bahwa segitiga siku-siku benar, pengukuran sisi-sisinya harus mengikuti Teorema Pythagoras.

Karena ukuran yang diberikan memenuhi teorema Pythagoras, yaitu kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki, maka kita dapat mengatakan bahwa segitiga adalah persegi panjang.

Baca juga: Hubungan Metrik dalam Segitiga Persegi Panjang

Segitiga Pythagoras

Ketika mengukur sisi segitiga siku-siku adalah bilangan bulat positif, segitiga tersebut disebut segitiga Pythagoras.

Dalam hal ini, kaki dan sisi miring disebut "setelan Pythagoras" atau "trio Pythagoras". Untuk memeriksa apakah tiga bilangan membentuk trio Pythagoras, kita menggunakan relasi ke² = b² + c².

Trio Pythagoras yang paling terkenal diwakili oleh angka: 3, 4, 5. Sisi miring sama dengan 5, kaki yang lebih besar sama dengan 4 dan kaki yang lebih kecil sama dengan 3.

Perhatikan bahwa luas bujur sangkar yang digambar di setiap sisi segitiga berhubungan seperti Teorema Pythagoras: luas persegi di sisi panjang sesuai dengan jumlah luas dua lainnya kotak.

Menariknya, kelipatan angka-angka ini juga membentuk setelan Pythagoras. Misalnya, jika kita mengalikan trio 3, 4 dan 5 dengan 3, kita mendapatkan angka 9, 12 dan 15 yang juga membentuk setelan Pythagoras.

Selain setelan 3, 4 dan 5, ada banyak setelan lainnya. Sebagai contoh, kita dapat menyebutkan:

• 5, 12 dan 13
• 7, 24, 25
• 20, 21 dan 29
• 12, 35 dan 37

Baca juga: Trigonometri pada Segitiga Persegi Panjang

Siapa itu Pythagoras?

menurut sejarah Pythagoras dari Samos (570. - 495 C.) adalah seorang filsuf dan matematikawan Yunani yang mendirikan Sekolah Pythagoras, yang terletak di Italia selatan. Juga disebut Masyarakat Pythagoras, itu termasuk studi di Matematika, Astronomi dan Musik.

Meskipun hubungan metrik segitiga siku-siku sudah diketahui oleh orang Babilonia, yang hidup jauh sebelum Pythagoras, bukti pertama bahwa teorema ini diterapkan pada setiap segitiga siku-siku diyakini telah dibuat oleh Pythagoras.

Teorema Pythagoras adalah salah satu teorema yang paling terkenal, paling penting dan digunakan dalam matematika. Hal ini penting dalam memecahkan masalah dalam geometri analitik, geometri bidang, geometri spasial dan trigonometri.

Selain teorema, kontribusi penting lainnya dari Masyarakat Pythagoras untuk Matematika adalah:

• Penemuan bilangan irasional;
• Properti bilangan bulat;
• MMC dan MDC.

Baca juga: Rumus Matematika

Bukti Teorema Pythagoras

Ada beberapa cara untuk membuktikan teorema Pythagoras. Misalnya buku Proposisi Pythagoras, diterbitkan pada tahun 1927, menyajikan 230 cara untuk mendemonstrasikannya, dan edisi lain, yang dirilis pada tahun 1940, meningkat menjadi 370 demonstrasi.

Tonton video di bawah ini dan lihat beberapa demonstrasi Teorema Pythagoras.

Ada berapa cara untuk membuktikan teorema Pythagoras? - Betty Fei

Latihan Komentar pada Teorema Pythagoras

pertanyaan 1

(PUC) Jumlah kuadrat ketiga sisi segitiga siku-siku sama dengan 32. Berapa panjang sisi miring segitiga tersebut?

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6

Lihat jawaban

Alternatif yang benar: b) 4.

Dari informasi dalam pernyataan tersebut, kita mengetahui bahwa² + b² + c² = 32. Di sisi lain, dengan teorema Pythagoras kita harus² = b² + c² .

Mengganti nilai b²+c² oleh² dalam ekspresi pertama, kami menemukan:

Itu² +² =32 ⇒ 2. Itu² = 32 sampai² = 32/2 ke² = 16 a = 16
a=4

Untuk pertanyaan lebih lanjut, lihat: Teorema Pythagoras - Latihan

pertanyaan 2

(Dan lainnya)

Pada gambar di atas, yang merupakan desain tangga dengan 5 anak tangga dengan tinggi yang sama, panjang total pegangan adalah sama dengan:

a) 1,9m
b) 2.1m
c) 2.0m
d) 1,8m
e) 2.2m

Lihat jawaban

Alternatif yang benar: b) 2.1m.

Panjang total pegangan tangan akan sama dengan jumlah dua bagian yang panjangnya sama dengan 30 cm dengan bagian yang tidak kita ketahui ukurannya.

Kita dapat mengamati dari gambar bahwa bagian yang tidak diketahui mewakili sisi miring dari segitiga siku-siku, yang ukuran salah satu kakinya sama dengan 90 cm.

Untuk mencari ukuran kaki yang lain, kita harus menjumlahkan panjang dari 5 langkah. Oleh karena itu, kami memiliki b = 5. 24 = 120cm.

Untuk menghitung sisi miring, mari kita terapkan teorema Pythagoras pada segitiga ini.

Itu² = 90² + 120² untuk² = 8100 + 14 400 ke² = 22.500 a = 22.500 = 150 cm

Perhatikan bahwa kita bisa menggunakan ide setelan Pythagoras untuk menghitung sisi miring, karena kaki (90 dan 120) adalah kelipatan dari setelan 3, 4, dan 5 (kalikan semua suku dengan 30).

Dengan cara ini, ukuran total pegangan adalah:

30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m

Uji pengetahuan Anda dengan Latihan Trigonometri

pertanyaan 3

(UERJ) Millôr Fernandes, dalam penghargaan yang indah untuk Matematika, menulis sebuah puisi dari mana kami mengekstrak fragmen di bawah ini:

Untuk begitu banyak lembar buku Matematika,
a Quotient jatuh cinta suatu hari dengan liar
oleh seorang yang Tidak Diketahui.
Dia menatapnya dengan tatapannya yang tak terhitung banyaknya
dan dia melihatnya dari puncak ke dasar: sosok yang aneh;
mata belah ketupat, mulut trapesium,
tubuh persegi panjang, payudara bulat.
Membuat hidupmu sejajar dengan hidupnya,
sampai mereka bertemu di Infinity.
"Kamu siapa?" - Dia bertanya dalam kecemasan radikal.
“Aku adalah jumlah kuadrat kaki-kakinya.
Tapi kamu bisa memanggilku hipotenusa.”

(Mill Ferr Fernandes. Tiga Puluh Tahun Diriku.)

Incognita salah mengatakan siapa itu. Untuk memenuhi Teorema Pythagoras, berikut ini harus dilakukan:

a) “Saya kuadrat dari jumlah kaki. Tapi panggil aku persegi sisi miring.”
b) “Aku adalah jumlah kaki. Tapi kamu bisa memanggilku hipotenusa.”
c) “Saya kuadrat dari jumlah kaki. Tapi kamu bisa memanggilku hipotenusa.”
d) “Saya adalah jumlah kuadrat kaki. Tapi panggil aku persegi sisi miring.”

Lihat jawaban

Alternatif d) “Saya adalah jumlah kuadrat kaki-kakinya. Tapi panggil aku persegi sisi miring.”

Pelajari lebih lanjut tentang topik ini:

• segitiga sama kaki
• Sinus, Cosinus, dan Tangen
• Matematika di Enem