कार्तीय योजना: यह क्या है, इसे कैसे करना है और उदाहरण

कार्तीय तल, जिसे ओर्थोगोनल कार्टेशियन प्रणाली या निर्देशांक तल भी कहा जाता है, है a दो लंबवत अक्षों से युक्त समन्वय प्रणाली. इसका अर्थ यह हुआ कि जिस बिंदु पर ये दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं (प्रतिच्छेद बिंदु), एक 90° कोण (समकोण) बनता है। क्षैतिज अक्ष को भुज (x) अक्ष कहा जाता है। ऊर्ध्वाधर को कोटि (y) अक्ष कहा जाता है।

इस गणितीय उपकरण का नाम इसलिए पड़ा क्योंकि इसके आविष्कारक फ्रांसीसी दार्शनिक और गणितज्ञ थे। रेने डेस्कर्टेस (1596-1650). अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जाता है, दैनिक जीवन में कई उपयोग होने के अलावा, ऑर्थोगोनल सिस्टम ज्यामिति और भूगोल जैसे विषयों में बहुत महत्वपूर्ण है।

कार्तीय योजना तत्व

निर्देशांक अक्ष

के साथ पहचाना गया पत्र y, कोटि अक्ष है लंबवत सीधा कार्टेशियन विमान का। यदि हम बारीकी से देखें, तो हम देखेंगे कि दोनों कुल्हाड़ियाँ संख्यात्मक पैमाने हैं। बिंदु 0 से ऊपर, इस पैमाने पर संख्याएँ धनात्मक होती हैं। नीचे, नकारात्मक।

भुज अक्ष

के साथ पहचाना गया अक्षर x, भुज की धुरी है क्षैतिज सीधा कार्टेशियन विमान का। दाईं ओर, संख्यात्मक पैमाने पर संख्याएँ धनात्मक होती हैं। बाईं ओर, नकारात्मक।

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यह भी देखें: अक्ष की परिभाषा

बिंदु 0

इसे मूल भी कहा जाता है, यह है सटीक बिंदु जहां दो रेखाएं मिलती हैं, एक समकोण बनाती हैं. 0 अंक से ऊपर, संख्याएँ धनात्मक होती हैं। नीचे, नकारात्मक। दाईं ओर, सकारात्मक। बाईं ओर, नकारात्मक।

चतुर्थ भाग

कार्तीय योजना का एक अन्य महत्वपूर्ण तत्व चतुर्थांश है। ध्यान दें कि बिंदु 0 पर प्रतिच्छेद करने वाली दो रेखाएँ किस प्रकार विभाजित छवि उत्पन्न करती हैं चार खंड. इनमें से प्रत्येक खंड को चतुर्थांश कहा जाता है। विमान का कोई भी बिंदु इन चार चतुर्भुजों में से किसी एक के भीतर आएगा।

कार्तीय तल के निर्देशांक क्या हैं?

निर्देशांक वे संख्याएँ हैं जो एक साथ, कार्तीय तल पर एक बिंदु का सटीक स्थान दें.

क्या आपने कभी नौसैनिक युद्ध खेला है? तर्क बिल्कुल वैसा ही है। दुश्मन के जहाजों पर एक शॉट फायर करने के लिए, आपको यह कहना होगा कि निर्देशांक क्या हैं। दूसरे शब्दों में: ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज कुल्हाड़ियों पर क्या मान हैं जो आपकी तोप के लक्ष्य को इंगित करते हैं।

इस प्रकार, विमान पर प्रत्येक बिंदु सूचना के एक जोड़े से निर्धारित होता है। का नाम दें क्रमित युग्म इस सेट में दो वास्तविक संख्याएं होती हैं जो दो अक्षों पर मूल्यों का प्रतिनिधित्व करती हैं और हमें विमान पर एक बिंदु का सटीक स्थान देती हैं। जोड़ी का पहला मान भुज (x) है। दूसरा, कोटि (y).

किसी भी बिंदु में चतुर्थांश 1 (Q1) सकारात्मक निर्देशांक (+,+) होंगे। हे चतुर्थांश 2 (Q2) उन बिंदुओं से बनता है जहां x निर्देशांक धनात्मक है और y ऋणात्मक (-,+) है। हे तीसरा चतुर्थांश (Q3) इसमें ऋणात्मक निर्देशांक (-,-) द्वारा निर्मित बिंदु होते हैं। पहले से ही चौथा चतुर्थांश (Q4) इसका एक धनात्मक x निर्देशांक है और एक ऋणात्मक y (+,-) निर्देशांक है।

उदाहरण

उदाहरण 1

मान लीजिए आप कार्तीय तल पर चार बिंदुओं के निर्देशांक जानना चाहते हैं। मान लीजिए ये बिंदु हैं:

मैं इन बिंदुओं के निर्देशांक कैसे ढूंढ सकता हूं? बस दो रेखाएँ खींचें: उनमें से एक लंबवत, बिंदु से शुरू होकर x अक्ष खोजने तक; एक और क्षैतिज, बिंदु से शुरू होकर y अक्ष खोजने तक।

उदाहरण 2

निर्देशांकों से कार्तीय तल पर एक बिंदु का स्थान ज्ञात करना भी संभव है। बस दो रेखाएँ खींचिए - एक x-अक्ष से शुरू होकर, दूसरी y-अक्ष से। दो पंक्तियों के बीच का मिलन बिंदु है।

हमारे पास निम्नलिखित क्रमित जोड़े हैं: (3,4), (-4.1), (-3,-3) और (2,-3)। ये जोड़े कार्टेशियन तल पर बिंदु निर्धारित करते हैं। लेकिन इन बिंदुओं का सही स्थान क्या है?

ध्यान दें कि उनमें से प्रत्येक चार चतुर्भुजों में से एक के भीतर स्थित है। Q1 में, हमारे पास (3,4) है; अर्थात्, भुज अक्ष (x) पर 3 का समन्वय करें और निर्देशांक अक्ष (y) पर 4 का समन्वय करें। Q2 में, हमारे पास (-4.1) है। Q3 में, (-3, -3)। Q4, (2,-3) में।

कार्टेशियन योजना किसके लिए है?

कार्टेशियन विमान a. के रूप में कार्य करता है संदर्भ प्रणाली ताकि बिंदु विमान या अंतरिक्ष में स्थित हो सकें.

कार्तीय तल उन समीकरणों के हलों को आलेखित करने में बहुत उपयोगी है जिनमें दो चर होते हैं।

द्वितीय-डिग्री के कार्यों को कार्तीय तल में ज्यामितीय रूप से भी दर्शाया जा सकता है - इस मामले में, ज्यामितीय आकृति परवलय है। कार्टेशियन तल में प्रथम-डिग्री के कार्यों को सीधी रेखाओं द्वारा दर्शाया जाता है।

पर व्यावहारिक जीवनकार्टेशियन योजना भी बहुत उपयोगी है। अंतरिक्ष का प्रतिनिधित्व प्रदान करने की क्षमता के लिए, कार्टेशियन प्रणाली मौलिक है, उदाहरण के लिए, वास्तुकला और नागरिक निर्माण में, क्योंकि इसका उपयोग घर की योजना तैयार करने के लिए आधार के रूप में किया जाता है और इमारतें।

हे जीपीएस सिस्टम, आज व्यापक रूप से नेविगेशन, विमानन और यहां तक कि व्यक्तियों के दैनिक आंदोलनों में उपयोग किया जाता है, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली पर आधारित है। किसी भी बिंदु (उपयोगकर्ता) से, इसके भौगोलिक निर्देशांक (अक्षांश, देशांतर और ऊंचाई) को त्रि-आयामी कार्टेशियन सिस्टम (x, y, z) में निर्धारित करना संभव है। इसके लिए सैटेलाइट और ग्राउंड स्टेशन की जरूरत होती है।

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