Eulers relation er en lighed, der relaterer antallet af hjørner, kanter og flader i konvekse polyedre. Den siger, at antallet af flader plus antallet af hjørner er lig med antallet af kanter plus to.
Euler-relationen er givet ved:
Hvor,
F er antallet af ansigter,
V antallet af hjørner,
DET antallet af kanter.
Vi kan bruge Eulers relation til at bestemme eller bekræfte ukendte værdier af V, F eller A, når polyederet er konveks.
| Polyeder | F | V | DET | F+V | A + 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| terning | 6 | 8 | 12 | 6 + 8 = 14 | 12 + 2 = 14 |
| trekantet pyramide | 4 | 4 | 6 | 4 + 4 = 8 | 6 + 2 = 8 |
| Femkantet basisprisme | 7 | 10 | 15 | 7 + 10 = 17 | 15 + 2 = 17 |
| regulært oktaeder | 8 | 6 | 12 | 8 + 6 = 14 | 12 + 2 = 14 |
Eksempel
Et konveks polyeder har 20 flader og 12 hjørner. Bestem antallet af kanter.
Brug af Eulers relation og isolering af A:
Erstatning af værdierne af F og V:
Ansigter, hjørner og kanter
Polyedre er solide, tredimensionelle geometriske former uden afrundede sider. Disse sider er polyederens flader (F).
Ansigternes møde kalder vi kanter (A).
Hjørner er de punkter, hvor tre eller flere kanter mødes.
konvekse polyedre
Konvekse polyedre er geometriske faste stoffer, der ikke har konkavitet, derfor er der på ingen af deres flader indre vinkler større end 180º.
I dette polyeder er den indre vinkel markeret med blåt mere end 180º, så det er ikke et konveks polyeder.
Se mere vedr polyedre.
Øvelser om Eulers forhold
Øvelse 1
Find antallet af flader i et polyeder med 9 kanter og 6 spidser.
Korrekt svar: 5 ansigter.
Brug af Eulers relation:
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
F = 11 - 6
F = 5
Øvelse 2
Et dodekaeder er et platonisk fast stof med 12 flader. Når du ved, at den har 20 hjørner, skal du bestemme antallet af kanter.
Det rigtige svar:
Brug af Eulers relation:
F + V = A + 2
F + V - 2 = A
12 + 20 - 2 = A
32 - 2 = A
30 = A
Øvelse 3
Hvad hedder polyederet med 4 spidser og 6 kanter i forhold til dets antal flader, hvor fladerne er trekanter?
Svar: Tetraeder.
Vi er nødt til at bestemme antallet af ansigter.
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
F = 8 - 4
F = 4
Et polyeder, der har 4 flader i form af trekanter, kaldes et tetraeder.
Hvem var Leonhard Paul Euler?
Leonhard Paul Euler (1707-1783) var en af de mest dygtige matematikere og fysikere i historien, ligesom han bidrog til astronomistudier. Tysktalende schweizer var han professor i fysik ved St. Petersborgs Videnskabsakademi og senere ved Berlins Akademi. Han har udgivet flere studier om matematik.
Lær også:
- Geometriske faste stoffer
- Rumlig geometri
- Geometriske former
- Prisme - geometrisk figur
- Pyramide
- Belægningssten
- terning
